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Matlab 应用实践课程设计 课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名学生姓名 专业班级专业班级 指导教师指导教师 工作单位工作单位 题题 目目 连续时间信号傅里叶级数分析及 MATLAB 实现 初始条件 初始条件 MATLAB 6 5 要求完成的主要任务 要求完成的主要任务 深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识 利用 MATLAB 强大的图 形处理功能 符号运算功能以及数值计算功能 实现连续时间周期信号频域分析 的仿真波形 1 用 MATLAB 实现周期信号的傅里叶级数分解与综合 2 用 MATLAB 实现周期信号的单边频谱及双边频谱 3 用 MATLAB 实现典型周期信号的频谱 4 撰写 MATLAB 应用实践 课程设计说明书 时间安排 时间安排 学习 MATLAB 语言的概况 第 1 天 学习 MATLAB 语言的基本知识 第 2 3 天 学习 MATLAB 语言的应用环境 调试命令 绘图能力 第 4 5 天 课程设计 第 6 9 天 答辩 第 10 天 指导教师签名 指导教师签名 年年 月月 日日 系主任 或责任教师 签名 系主任 或责任教师 签名 年年 月月 日日 Matlab 应用实践课程设计 目目 录录 摘要 I ABSTRACT II 绪论 1 1 MATLAB 简介 2 1 1 MATLAB 语言功能 2 1 2 MATLAB 语言特点 2 2 连续时间周期信号的傅里叶级数 3 2 1 连续时间周期信号的分解 3 2 1 1 三角形式的傅里叶级数 3 2 1 2 指数形式的傅里叶级数 4 2 2 连续时间周期信号的傅里叶综合 4 2 3 吉布斯现象 6 3 连续时间周期信号的频谱分析 7 3 1 单边与双边频谱关系 7 3 2 以单边幅度频谱为例 研究脉冲宽度与频谱的关系 8 3 3 以单边幅度频谱为例 研究脉冲周期与频谱的关系 9 4 典型周期脉冲的频谱 11 4 1 周期方波脉冲频谱的 MATLAB 实现 11 4 1 1 周期方波脉冲双边频谱的 MATLAB 实现 12 4 1 2 周期方波脉冲单边频谱的 MATLAB 实现 13 4 2 周期三角波脉冲频谱的 MATLAB 实现 15 4 2 1 周期三角波双边频谱的 MATLAB 实现 16 4 2 2 周期三角波单边频谱的 MATLAB 实现 17 5 小结即心得体会 19 致谢 20 参考文献 21 附录 22 Matlab 应用实践课程设计 I 摘要 MATLAB 目前已发展成为由 MATLAB 语言 MATLAB 工作环境 MATLAB 图形 处理系统 MATLAB 数学函数库和 MATLAB 应用程序接口五大部分组成的集数值计算 图形处理 程序开发为一体的功能强大的系统 本次课程设计则在深入研究连续时间信 号傅里叶级数分析理论知识的基础上 利用 MATLAB 强大的图形处理功能 符号运算功 能以及数值计算功能 通过 MATLAB 编程进行图形功能仿真 从而实现连续时间周期信 号频域分析的仿真波形 包括以下内容 用 MATLAB 实现周期信号的傅里叶级数分解与 综合的波形 用 MATLAB 实现周期信号的单边频谱及双边频谱的波形与分析 用 MATLAB 实现典型周期信号的频谱的波形 关键词 MATLAB 图形处理 傅里叶级数 周期信号 频谱 Matlab 应用实践课程设计 II Abstract MATLAB now evolved into MATLAB language MATLAB working environment MATLAB graphics processing systems MATLAB math library and the MATLAB application program interface has five major components of the set of numerical computation graphics processing program development as one powerful system The curriculum design in depth study Fourier series analysis of continuous time signal on the basis of theoretical knowledge using MATLAB a powerful graphics processing capabilities symbolic computing and numerical computing capabilities through the functional simulation MATLAB graphical programming in order to achieve continuous time periodic signal frequency domain analysis of the simulation waveforms including the following realization of periodic signals using MATLAB Fourier series decomposition and integration of the waveform periodic signals using MATLAB to achieve unilateral and bilateral spectrum waveform and spectrum analysis using MATLAB to achieve a typical cycle of the signal wave spectrum Keywords MATLAB graphics processing Fourier series periodic signal Spectrum Matlab 应用实践课程设计 1 绪论 在科学技术飞速发展的今天 计算机正逐步将科技人员从繁重的计算工作中解脱出 来 在进行科学研究与工程应用中 往往需要大量的科学计算 一些科技人员曾经尝试 使用传统的高级语言Basic Fortran 及C 语言编写程序 以减轻工作量 但编制程序需要 掌握高级语言的语法 还要对各种算法进行了解 这对大多数科技人员来说是不大现实 的 而且也是没有没有必要的 MATLAB 正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技 应用软件 它具有的顶尖的数值计算功能 强大的图形可视化功能及简洁易学的 科学 便捷式 工作环境和编程语言 从根本上满足了科技人员对工程数学计算的要求 并将 科技人员从繁重的数学运算中解放出来 因而越来越受到广大科技工作者的普遍欢迎 1 MATLAB 是matrix 和laboratory 前三个字母的缩写 意思是 矩阵实验室 是 MathWorks 公司推出的数学类科技应用软件 其Dos 版本 MATLAB 1 0 发行于1984 年 现已推出了Windows 版本 MATLAB 5 3 经过十多年的不断发展与完善 MATLAB 已发展成为由MATLAB 语言 MATLAB 工作环境 MATLAB 图形处理系统 MATLAB 数学函数库和MATLAB 应用程序接口五大部分组成的集数值计算 图形处理 程序开发为一体的功能强大的系统 MATLAB 由 主包 和三十多个扩展功能和应用学 科性的工具箱 Toolboxs 组成 目前 MATLAB已经成为国际上最流行的电子仿真计算机辅助设计的软件工具 现 在的MATLAB已经不仅仅是一个 矩阵实验室 Matrix Laboratory 它已经成为一种 实用的 全新的计算机高级语言 正是由于 MATLAB 在数值计算及符号计算等方面的强大功能 使MATLAB一路领 先 成为数学类科技应用软件中的佼佼者 目前 MATLAB 已成为国际上公认的最优秀 的科技应用软件 MATLAB 的上述特点 使它深受工程技术人员及科技专家的欢迎 并 很快成为应用学科计算机辅助分析 设计 仿真 教学等领域不可缺少的基础软件 Matlab 应用实践课程设计 2 1 MATLAB 简介 1 1 MATLAB 语言功能 MATLAB是一个高精度的科学计算语言 它将计算 可视化编程结合在一个容易使 用的环境中 在这个环境中 用户可以把提出的问题和解决问题的办法用熟悉的数学符 号表示出来 它的典型使用包括 1 数学和计算 2 运算法则 3 建模 仿真 4 数值分析 研究和可视化 5 科学的工程图形 6 应用程序开发 包括创建图形用户接口 1 2 MATLAB 语言特点 MATLAB 是一个交互式系统 他的基本数据单元是数组 这个数组不要求固定的大 小 因此可以让用户解决许多技术上的问题 特别是那些包含矩阵和矢量运算的问题 MATLAB的指令表达与数学 工程中常用的习惯形式相似 与C Fortran 等高级语言相 比 它的语法规则更简单 表达更符合工程习惯 正因为如此 人们用MATLAB语言编 写程序就犹如在便笺上书写公式和求解 因而MATLAB被称为 便笺式 的科学工程语 言 MATLAB的最重要特征使他拥有解决特定应用问题的程序组 也就是TOOLBOX 工 具箱 如信号处理工具箱 控制系统工具箱 神经网络工具箱 模糊逻辑工具箱 通信 工具箱和数据采集工具箱等许多专用工具箱 对大多数用户来说 要想灵活 高效地运 用这些工具箱 通常都需要学习相应的专业知识 此外 开放性也许是MATLA最重要和最受欢迎的特点之一 除内部函数外 所有的 MATLAB主要文件和各工具箱文件都是可读的 可改的源文件 因为工具箱实际上是有 一组复杂的MATLAB函数 M文件 组成 它扩展了MATLAB的功能 用以解决待定的 Matlab 应用实践课程设计 3 问题 因此用户可以通过对源文件进行修改和加入自己编写的文件去构建新的专用工具 箱 Matlab 应用实践课程设计 4 2 连续时间周期信号的傅里叶级数 频域分析法即傅里叶分析法 它是变换域分析法的基石 其中 傅里叶级数是变换 域分析法的理论基础 傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具 具有明确的物理意 义 在不同的领域得到广泛的应用 2 1 连续时间周期信号的分解 以高等数学的知识 任何周期为T的周期函数 在满足狄里赫利条件时 则该周 tf 期信号可以展开成傅里叶级数 傅里叶级数有三角形式和指数形式两种 2 2 1 1 三角形式的傅里叶级数 三角形式的傅里叶级数为 12 3 2 1 sin cos 2 sin sin cos cos cos 2 11 0 21321 0 b ntntn ttttttf n n n nba a baaa a 式中系数 称为傅里叶系数 可由下式求得 n a n b 2 2 2 2 2 2 0 1 2 cos 2 sin T T T T T T n n af t dt T af tn t dt T bf tn t dt T 22 其中 T 2 为基波频率 n 为n次谐波频率 如果将式中同频率的正弦和余弦 2 1 分量合并 则三角形式的傅里叶级数可表示为 0 1 tcos 2 nn n A fAn t 1 2 3 n 23 Matlab 应用实践课程设计 5 上式中 00 22 1 2 arctan nnn n n n Aa Aabn a b 24 00 cos 1 2 sin nnn nnn aA aAn bA 可以看出 傅里叶系数和都是或的函数 其中和是或的偶 n a n bn n n a n An n 函数 即有 而和是或的奇函数 即有 n a n a n b n n n n b n b 2 1 2 指数形式的傅里叶级数 根据欧拉公式 2 1 cos nn tnjtnj n eetn 25 并考虑和奇偶性可将改写为指数形式的傅里叶级数 n A n 23 62 0 1 2 3 jn t n n f tF en 即周期信号可分解为一系列不同频率的虚指数信号之和 式中称为傅里叶复系数 n F 可由下式求得 2 2 1 T T jn t n Ff t edt T 27 2 2 连续时间周期信号的傅里叶综合 任何满足狄里赫里条件的周期信号 可以表示成式或的和式形式 2 1 26 或式常称为连续周期信号的傅里叶级数综合公式 2 1 26 一般来说 傅里叶级数系数有无限个非零值 即任何具有有限个间断点的周期信号 都一定有一个无限项非零系数的傅里叶级数表示 但对数值计算来说 这是无法实现的 在实际的应用中 但我们可以用有限项的傅里叶级数求和来逼近 Matlab 应用实践课程设计 6 为了比较有限项谐波的逼近情况 本次课设编写了程序来绘制波形以给读者一个直观 的感受 调用xiebo m函数文件 即可绘出周期矩形波信号各次谐波的合成波形 如图2 1 所示 505 0 2 0 0 2 0 4 0 6 三 三 505 0 5 0 0 5 1 三 三 2三 三 三 505 0 5 0 0 5 1 1 5 三 三 2三 三 三 3三 三 三 505 0 5 0 0 5 1 1 5 三 三 2三 三 三 3三 三 三 6三 三 三 图2 1 周期矩形脉冲信号的合成 由图2 1可见 当它所包含的谐波分量越多时 合成波形愈接近于原来的矩形波脉冲 由图2 1还可以看到 合成波形所包含的谐波分量愈多时 除间断点附近外 它越接 近于原矩形波脉冲 在间断点附近 随着所含谐波次数的增加 合成波形的尖峰愈接近 间断点 但尖峰幅度并未明显减少 可以证明 即使合成波形所含谐波次数时 在n 间断点处仍有约9 的偏差 这种现象称为吉布斯 Gibbs 现象 在傅里叶级数的项数取 得很大时 间断点处尖峰下的面积非常小以致趋近于零 因而在均方的意义上合成波形 同原波形的真值之间没有区别 4 Matlab 应用实践课程设计 7 2 3 吉布斯现象 上一节中我们提到了吉布斯现象 本节我们将作重点来讨论 我们知道满足狄里赫 利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛 狄里赫利条件如下 1 在任何周期内 x t 必须绝对可积 2 在任一有限区间中 x t 只能取有限个最大值或最小值 3 在任何有限区间上 x t 只能有有限个第一类间断点 所谓的吉布斯现象就是 在 x t 的不可导点上 如果我们只取 x t 等式右边的无穷 级数中的有限项作和 X t 那么 X t 在这些点上会有起伏 1 具体现象如下图所示 以下分别为谐波次数为 N 50 N 100 N 500 合成波的情况 2 1 5 1 0 500 511 52 0 0 5 1 三 三 三 三 N 50三 三 三 三 三 三 2 1 5 1 0 500 511 52 0 0 5 1 三 三 三 三 N 100三 三 三 三 三 三 2 1 5 1 0 500 511 52 0 0 5 1 三 三 三 三 N 500三 三 三 三 三 三 图 2 2 不同时 N 值时的合成波 从上面的图像中可以看出 当 N 500 的时候 合成波与原来的方波拟合得非常好 但是在不可导的点上 即为 x 1 5 x 0 5 x 0 5 x 1 5 这样的点的时候 合成波会有 较大的波动 这就是非常明显的吉布斯现象 Matlab 应用实践课程设计 8 3 连续时间周期信号的频谱分析 3 1 单边与双边频谱关系 如前所述 周期信号可以分解成一系列正弦 余弦 信号或虚指数信号之和 为了 直观地表示出信号所含各分量的振幅或 随频率的变化情况 通常以角频率为横 n A n F 坐标 以各次谐波的振幅或虚指数函数的幅度为纵坐标 画出如图3 1和3 2所示的 n A n F 各谐波的振幅或与角频率的关系图 称为周期信号的幅度 振幅 频谱 简称幅 n A n F 度谱 图中每条竖线代表该频率分量的幅度 称为谱线 各谱线顶点连线的曲线 如图 中原点所示 称为频谱包络线 它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况 图3 1中幅 度谱为单边幅度谱 用绘制的频谱 图3 2中幅度谱为双边幅度谱 用绘制的频 n A n F 谱 类似地 也可画出各谐波初相角与角频率的关系图 如图3 1和3 2中各谐波初相角 n 与角频率的关系图 称为相位频谱 简称相位谱 图3 1中相位谱为单边相位谱 图3 2 n 中相位谱为双边相位谱 如果为实数 那么可用的正负来表示为0或也可把幅度 n F n F n 谱和相位谱画在一张图上 由图可见 周期信号的谱线只出现在频率为等原周期信号频率的整数倍的0 2 离散频率上 即周期信号的频谱是离散谱 20 15 10 505101520 0 0 5 1 050100150 0 0 05 0 1 050100150 5 0 5 Matlab 应用实践课程设计 9 图3 1 周期信号的单边幅度谱和相位谱 20 15 10 505101520 0 0 5 1 150 100 50050100150 0 0 05 0 1 150 100 50050100150 4 2 0 2 4 图3 2 周期信号的双边幅度谱和相位谱 由此可见周期信号频谱具有三个特点 1 离散性 即谱线是离散的 2 谐波性 即谱线只出现在基波频率的整数倍上 3 收敛性 即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小 3 单边频谱和双边频谱的区别就是求值的范围不同 单边频谱求的是频率大于 0 的情况 而双边频谱求的是所有频率的情况 即包括频率小于 0 的情况 这个区别在上面的两张 图中可以非常明显地看出来 3 2 以单边幅度频谱为例 研究脉冲宽度与频谱的关系 首先令方波首期 T 5 改变脉冲宽度 就是在图 3 3 中 T 值不变的情况下 改变的 值的大小 同时 必须小于 T 在 MATLAB 软件里可以比较方便地改变这个值 xsqual x 1 2 x 1 2 1 x 1 2tao 0 2 T a 0 5 if nargin 4 Nf 6 end if nargin 5 Nn 32 end x time fun x t A0 2 int x t a T a T 求傅里叶级数展开式的系数 As int 2 x cos 2 pi n t T T t a T a Bs int 2 x sin 2 pi n t T T t a T a A sym 1 vpa A0 Nn for k 1 Nf Nf 为最高次谐波的次数 A sym k 1 vpa subs As n k Nn B sym k 1 vpa subs Bs n k Nn end if nargout 0 c A sym disp c d B sym disp d t 8 a 0 01 T a f1 2 0 2 2 0 1871 cos 2 pi 1 t 5 0 sin 2 pi 1 t 5 f2 2 0 1514 cos 2 pi 2 t 5 0 sin 2 pi 2 t 5 f3 2 0 1009 cos 2 pi 3 t 5 0 sin 2 pi 3 t 5 f4 2 0 0468 cos 2 pi 4 t 5 0 sin 2 pi 4 t 5 f5 2 0 0312 cos 2 pi 6 t 5 0 sin 2 pi 6 t 5 f6 f1 f2 f7 f6 f3 f8 f7 f4 f5 subplot 2 2 1 plot t f1 hold on title 基波基波 subplot 2 2 2 plot t f6 hold on title 基波基波 2次次谐谐波波 subplot 2 2 3 plot t f7 hold on title 基波基波 2次次谐谐波波 3次次谐谐波波 Matlab 应用实践课程设计 24 subplot 2 2 4 plot t f8 hold on title 基波基波 2次次谐谐波波 3次次谐谐波波 6次次谐谐波波 end function y time fun e 定义矩形脉冲函数 绘图用 a 0 5 T 5 h 1 tao 0 2 T t 8 a 0 01 T a e1 1 2 1 2 sign t tao 2 e2 1 2 1 2 sign t tao 2 y h e1 e2 function x time fun x t 定义矩形脉冲函数 积分用 h 1 x1 sym Heaviside t 0 5 h x x1 sym Heaviside t 0 5 h 源程序二 吉布斯效应 t 2 0 001 2 N input N N为输入要达到的最高次谐波的次数 c0 0 5 fN c0 ones 1 length t for n 1 2 N fN fN cos pi n t sinc n 2 end figure plot t fN axis 2 2 0 2 1 2 源程序三 矩形脉冲的频谱分析 function A sym B sym CTFS2 syms t n y if nargin 3 Nf input pleas Input 所需展开的最高谐波次数 Nf end T input pleas Input 信号的周期T if nargin 5 Nn 32 end y fun in t A0 2 int y t 0 T T As int 2 y cos 2 pi n t T T t 0 T Bs int 2 y sin 2 pi n t T T t 0 T A sym 1 double vpa A0 Nn for k 1 Nf A sym k 1 double vpa subs As n k Nn Matlab 应用实践课程设计 25 B sym k 1 double vpa subs Bs n k Nn end if nargout 0 S1 fliplr A sym S1 1 k 1 A sym 1 S2 fliplr 1 2 S1 S3 fliplr 1 2 B sym S3 1 k 1 0 S4 fliplr S3 S5 S2 i S4 S6 fliplr S5 N Nf 2 pi T k2 N 2 pi T N S7 S6 S5 2 end x fun mc subplot 3 1 2 stem k2 abs S7 axis 150 150 0 0 12 subplot 3 1 3 stem k2 angle S7 axis 150 150 4 4 end function y fun in t syms a a1 T input pleas Input 信号的周期T M input 周期与脉冲宽度之比M A 1 tao T M a tao 2 y1 sym Heaviside t a1 A y y1 sym Heaviside t a1 A y subs y a1 a y simple y function x fun mc T 5 tao T 5 n 4 t n T 0 01 n T x rectpuls t 1 for i 1 n x x rectpuls t i T 1 rectpuls t i T 1 end subplot 3 1 1 plot t x hold on axis 20 20 0 1 2 源程序四 典型周期脉冲的频谱分析 方波 function A sym B sym fangbo Matlab 应用实践课程设计 26 syms t n k y T 10 if nargin 4 Nf input pleas Input 所需展开的最高谐波次数Nf end if nargin 5 Nn 32 end y fangbo 1 A0 2 int y t 0 T T As int 2 y cos 2 pi n t T T t 0 T Bs int 2 y sin 2 pi n t T T t 0 T A sym 1 double vpa A0 Nn for k 1 Nf A sym k 1 double vpa subs As n k Nn B sym k 1 double vpa subs Bs n k Nn end if nargout 0 S1 fliplr A sym S1 1 k 1 A sym 1 S2 fliplr 1 2 S1 S3 fliplr 1 2 B sym S3 1 k 1 0 S4 fliplr S3 S5 S2 i S4 S6 fliplr S5 N Nf 2 pi T k2 N 2 pi T N S7 S6 S5 2 end subplot 2 1 1 x fangbo 2 T 5 t 2 T 0 01 2 T plot t x title T 5 占空比为50 的周期方波脉冲 axis 10 10 1 2 1 2 subplot 2 1 2 stem k2 abs S7 title 连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱 axis 20 20