傅里叶级数的数学推导.pdf

1 傅里叶级数展开表达式为 1T为 f t 的周期 011112122 n110n11 1 cos sin cos 2 sin cos sin cos sin nn n f taaw tbwtawtbw t anw tbnw taanw tbnw t 直流分量 01 0 0 1 1 tT t af t dt T 余弦分量的幅度 01 0 1 1 2 cos tT n t anw t f t dt T 正弦分量的幅度 01 0 1 1 2 sin tT n t bnw t f t dt T 2 三角函数的正交性 一个三角函数系 1 cosx sinx cos2x sin2x cosnx sinnx 如果这一堆函数 包括 常数 1 中任何两个不同函数的乘积在区间 上 的积分等于 0 就说三角函数系在区间 上正交 即有如下式子 cos0nxdx n 1 2 3 sin0nxdx n 1 2 3 sincos0kxnxdx n 1 2 3 coscos0kxnxdx n 1 2 3 k n sinsin0kxnxdx n 1 2 3 k n 正交性证明 1 coscos cos cos 2 kxnxkn xkn x 积化和差 当 k n 1 coscos cos cos 2 kxnxdxkn xkn x dx 1 sin sin 1 00 0 22 kn xkn knkn 3 将傅里叶级数的展开式中的同频率项加以合并 可 以写成另一种形式 0n1 1 cos n n f tccnw t 或 0n1 1 d sin n n f tdnw t 4 函数展开成傅里叶级数 0n11 1 cos sin n n f taanw tbnw t 对上式从 t0 t0 T1 积分 得 010101 000 0n11 1 cos sin TTTttt n ttt n f t dta dtanw tbnw t dt 01 0 0010 Tt t a dta T 01 0 0 1 1 Tt t af t dt T 0n11 1 cos sin n n f taanw tbnw t 两边同时乘以 cos kwt 得 101n1111 1 cos cos cos cos sin cos n n kw tf takw tanw tkw tbnw tkw t 两边积分得 01 0 0101 00 1 01n1111 1 cos cos cos cos sin cos T TT t t tt n tt n kwtf t dt akw t dtanw tkwtbnwtkw t dt 010101 000 01n1111 1 cos cos cos sin cos TTTttt n ttt n akw t dtanw tkw t dt bnw tkw t dt 当 k n 时 010101 000 ttt 2 1111 ttt cos cos cos cos TTT nnnwtf t dtanwtkwt dtanwt dt 01 0 t 11 t 1cos2 22 T nnaa nw t dtT 01 0 t