高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题六 解析几何 1.6.3 定点、定值、存在性问题课件 理 新人教版.ppt

第三讲定点 定值 存在性问题 知识回顾 1 定点 定值 存在性问题的解读 1 定点问题 在解析几何中 有些含有参数的直线或曲线的方程 不论参数如何变化 其都过某定点 这类问题称为定点问题 2 定值问题 在解析几何中 有些几何量 如斜率 距离 面积 比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 这类问题统称为定值问题 3 存在性问题的解题步骤 先假设存在 引入参变量 根据题目条件列出关于参变量的方程 组 或不等式 组 解此方程 组 或不等式 组 若有解则存在 若无解则不存在 得出结论 2 几个重要结论 1 直线与圆锥曲线相交的问题 牢记 联立方程 根与系数的关系 定范围 运算推理 2 有关弦长问题 牢记弦长公式 ab x1 x2 y1 y2 及根与系数的关系 设而不求 有关焦点弦长问题 要牢记圆锥曲线定义的运用 以简化运算 3 涉及弦中点的问题 牢记 点差法 是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法 4 求参数范围的问题 牢记 先找不等式 有时需要找出两个量之间的关系 然后消去另一个量 保留要求的量 不等式的来源可以是 0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 易错提醒 1 对概念理解不准确致误 直线与双曲线 抛物线相交于一点时 不一定相切 反之 直线与双曲线 抛物线相切时 只有一个交点 2 忽略直线斜率不存在的情况致误 过定点的直线 若需设直线方程 应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解 3 混淆点的坐标与线段长度致误 在表示三角形面积时 用顶点到坐标轴的距离表示三角形边长的距离要注意符号 考题回访 1 2016 北京高考 已知椭圆c a b 0 的离心率为 a a 0 b 0 b o 0 0 oab的面积为1 1 求椭圆c的方程 2 设p是椭圆c上一点 直线pa与y轴交于点m 直线pb与x轴交于点n 求证 an bm 为定值 解析 1 离心率e 所以a 2b oab的面积为ab 1 所以a 2 b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 设p x0 y0 当直线bp的斜率存在时 直线ap方程为y x 2 直线bp方程为y x 1 所以所以所以 an bm 因为点p在椭圆c上 所以代入上式得 an bm 当bp的斜率不存在时 n 0 0 m 0 1 an bm 4 因此 an bm 为定值4 2 2015 全国卷 在直角坐标系xoy中 曲线c y 与直线y kx a a 0 交于m n两点 1 当k 0时 分别求c在点m和n处的切线方程 2 y轴上是否存在点p 使得当k变动时 总有 opm opn 说明理由 解析 1 由题设可得m 2 a n 2 a 或m 2 a n 2 a 又y 故y 在x 2处的导数值为 曲线c在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 y 在x 2处的导数值为 曲线c在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 2 存在符合题意的点p 证明如下 设p 0 b 为符合题意的点 m x1 y1 n x2 y2 直线pm pn的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入c的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 从而当b a时 有k1 k2 0 则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补 故 opm opn 所以点p 0 a 符合题意 热点考向一圆锥曲线中的定点问题命题解读 主要考查直线 曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上 以解答题为主 典例1 已知p m 0 抛物线e x2 2py上一点m m 2 到抛物线焦点f的距离为 1 求p和m的值 2 如图所示 过f作抛物线e的两条弦ac和bd 点a b在第一象限 若kab 4kcd 0 求证 直线ab经过一个定点 解题导引 1 依据点m到抛物线焦点f的距离及抛物线的定义求p 进而求出抛物线方程 然后代入m点的坐标求得m 2 设出直线ab ac的方程及点a b c d的坐标 根据kab 4kcd 0找出四点横坐标之间的关系 从而可求出经过的定点 规范解答 1 由点m m 2 到抛物线焦点f的距离为 结合抛物线的定义得 即p 1 所以抛物线的方程为x2 2y 把点m m 2 的坐标代入 可解得m 2 2 显然直线ab ac的斜率都存在 分别设ab ac的方程为y k1x b y k2x 联立得x2 2k1x 2b 0 联立得x2 2k2x 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 d x4 y4 则x1x2 2b x1x3 1 同理 x2x4 1 故kab 4kcd 注意到点a b在第一象限 x1 x2 0 所以 0故得x1x2 4 2b 4 所以b 2 即直线恒经过点 0 2 一题多解 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 d x4 y4 显然直线ac bd的斜率都存在 设ac的方程为y kx 联立得x2 2kx 1 0 所以x1x3 1 同理 x2x4 1 故kab 4kcd 注意到点a b在第一象限 x1 x2 0 所以故得x1x2 4 直线ab的方程为化简得即直线ab恒经过点 0 2 规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法 1 动直线l过定点问题 解法 设动直线方程 斜率存在 为y kx t 由题设条件将t用k表示为t mk 得y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线c过定点问题 解法 引入参变量建立曲线c的方程 再根据其对参变量恒成立 令其系数等于零 得出定点 变式训练 2016 合肥二模 已知椭圆e a b 0 经过点 2 2 且离心率为 f1 f2是椭圆e的左 右焦点 1 求椭圆e的方程 2 若点a b是椭圆e上关于y轴对称的两点 a b不是长轴的端点 点p是椭圆e上异于a b的一点 且直线pa pb分别交y轴于点m n 求证 直线mf1与直线nf2的交点g在定圆上 解析 1 由条件得a 4 b c 2 所以椭圆e的方程为 2 设b x0 y0 p x1 y1 则a x0 y0 直线pa的方程为y y1 x x1 令x 0 得y 故同理可得 所以 所以 f1m f2n 所以直线f1m与直线f2n的交点g在以f1f2为直径的圆上 加固训练 已知椭圆c a b 0 的离心率e 短轴长为2 1 求椭圆c的标准方程 2 如图 椭圆左顶点为a 过原点o的直线 与坐标轴不重合 与椭圆c交于p q两点 直线pa qa分别与y轴交于m n两点 试问以mn为直径的圆是否经过定点 与直线pq的斜率无关 请证明你的结论 解析 1 由短轴长为2 得b 由e 得a2 4 b2 2 所以椭圆c的标准方程为 1 2 以mn为直径的圆过定点f 0 证明如下 设p x0 y0 则q x0 y0 且 即因为a 2 0 所以直线pa方程为 y x 2 所以m 0 直线qa方程为 y x 2 所以n 0 以mn为直径的圆为 x 0 x 0 y y 0 即x2 y2 因为x02 4 2y02 所以x2 y2 2y 2 0 令y 0 则x2 2 0 解得x 所以以mn为直径的圆过定点f 0 热点考向二圆锥曲线中的定值问题命题解读 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 考查转化与化归思想以解答题为主 和对定值问题的处理能力 常涉及式子 面积的定值问题 典例2 2015 全国卷 已知椭圆c 9x2 y2 m2 m 0 直线l不过原点o且不平行于坐标轴 l与c有两个交点a b 线段ab的中点为m 1 证明 直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值 2 若l过点延长线段om与c交于点p 四边形oapb能否为平行四边形 若能 求此时l的斜率 若不能 说明理由 解题导引 1 将直线y kx b k 0 b 0 与椭圆c 9x2 y2 m2 m 0 联立 结合根与系数的关系及中点坐标公式证明 2 由四边形oapb为平行四边形当且仅当线段ab与线段op互相平分求解证明 解析 1 设直线l y kx b k 0 b 0 a x1 y1 b x2 y2 m xm ym 将y kx b代入9x2 y2 m2得 k2 9 x2 2kbx b2 m2 0 故于是直线om的斜率即kom k 9 所以直线om的斜率与l的斜率的积是定值 2 四边形oapb能为平行四边形 因为直线l过点所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k 0 k 3 由 1 得om的方程为y 设点p的横坐标为xp 将点的坐标代入l的方程得四边形oapb为平行四边形 当且仅当线段ab与线段op互相平分 即xp 2xm 于是解得因为ki 0 ki 3 i 1 2 所以当l的斜率为4 或4 时 四边形oapb为平行四边形 规律方法 求解定值问题的两大途径 1 首先由特例得出一个值 此值一般就是定值 然后证明定值 即将问题转化为证明待证式与参数 某些变量 无关 2 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示 再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子 分母约分得定值 变式训练 2016 中原名校联盟二模 已知椭圆c a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 点b 0 为短轴的一个端点 of2b 60 1 求椭圆c的方程 2 如图 过右焦点f2 且斜率为k k 0 的直线l与椭圆c相交于d e两点 a为椭圆的右顶点 直线ae ad分别交直线x 3于点m n 线段mn的中点为p 记直线pf2的斜率为k 试问k k 是否为定值 若为定值 求出该定值 若不为定值 请说明理由 解析 1 由条件可知a 2 b 故所求椭圆方程为 2 设过点f2 1 0 的直线l方程为 y k x 1 由可得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0因为点f2 1 0 在椭圆内 所以直线l和椭圆都相交 即 0恒成立 设点e x1 y1 d x2 y2 则因为直线ae的方程为 y x 2 直线ad的方程为 y x 2 令x 3 可得所以点p的坐标直线pf2的斜率为k 所以k k 为定值 加固训练 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 设椭圆e 1 a b 0 其中b a 过椭圆e内一点p 1 1 的两条直线分别与椭圆交于点a c和b d 且满足其中 为正常数 当点c恰为椭圆的右顶点时 对应的 1 求椭圆e的离心率 2 求a与b的值 3 当 变化时 kab是否为定值 若是 请求出此定值 若不是 请说明理由 解题导引 1 由b a求离心率 2 由时 c为椭圆的右顶点 求点a坐标 代入椭圆方程 求a b 3 设出点a b c d的坐标 利用点差法求kab与kcd 再根据kab kcd求解 解析 1 因为b a 所以b2 a2 得a2 c2 a2 所以e2 e 2 因为c a 0 所以由得将它代入到椭圆方程中 得解得a 2 负值舍去 所以a 2 b 3 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 d x4 y4 由得同理将a b坐标代入椭圆方程得两式相减得3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 即3 x1 x2 4 y1 y2 kab 0 同理 3 x3 x4 4 y3 y4 kcd 0 而kab kcd 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kab 0 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kab 0 所以3 x1 x3 x2 x4 4 y1 y3 y2 y4 kab 0 即6 1 8 1 kab 0 所以kab 为定值 热点考向三圆锥曲线中的存在性问题命题解读 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 考查学生分析问题和解决问题的能力 命题角度一点 线的存在性问题 典例3 2016 临汾二模 已知椭圆c a b 0 的离心率为 以原点o为圆心 椭圆c的长半轴长为半径的圆与直线2x y 6 0相切 1 求椭圆c的标准方程 2 已知点a b为动直线y k x 2 k 0 与椭圆c的两个交点 问 在x轴上是否存在定点e 使得为定值 若存在 试求出点e的坐标和定值 若不存在 请说明理由 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成两个小题 假设存在定点e m 0 把用k m表示 寻找满足定值需要的条件 规范解答 1 由e 得即c a 又以原点o为圆心 椭圆c的长半轴长为半径的圆为x2 y2 a2且与直线2x y 6 0相切 所以a 代入 得c 2 所以b2 a2 c2 2 所以椭圆c的标准方程为 2 由得 1 3k2 x2 12k2x 12k2 6 0 设a x1 y1 b x2 y2 所以根据题意 假设x轴上存在定点e m 0 使得为定值 则 x1 m y1 x2 m y2 x1 m x2 m y1y2 k2 1 x1x2 2k2 m x1 x2 4k2 m2 要使上式为定值 即与k无关 3m2 12m 10 3 m2 6 得m 此时 所以在x轴上存在定点e使得为定值 值为 命题角度二字母参数值的存在性问题 典例4 2016 长沙二模 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知f1 f2分别是椭圆e a b 0 的左 右焦点 a b分别是椭圆e的左 右顶点 d 1 0 为线段of2的中点 且 1 求椭圆e的方程 2 若m为椭圆e上的动点 异于点a b 连接mf1并延长交椭圆e于点n 连接md nd并分别延长交椭圆e于点p q 连接pq 设直线mn pq的斜率存在且分别为k1 k2 试问是否存在常数 使得k1 k2 0恒成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 解题导引 1 根据条件d 1 0 为线段of2的中点 且以及a2 b2 c2 即可求解 2 将直线md的方程与椭圆方程联立 利用根与系数的关系即可建立k1 k2所满足的一个关系式 从而可探究 的存在性 规范解答 1 因为 所以因为a c 5 a c 化简得2a 3c 点d 1 0 为线段of2的中点 所以c 2 从而a 3 b 左焦点f1 2 0 故椭圆e的方程为 2 存在满足条件的常数 设m x1 y1 n x2 y2 p x3 y3 q x4 y4 则直线md的方程为x 代入椭圆方程整理得 所以y1