高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学案 新人教B版必修4.doc

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算 学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式知识链接1初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的那么1的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的做为1的角；它的大小与它所在圆的大小无关2用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l，s.预习导引1弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.2角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0130456090120135150180270360弧度023.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长llr扇形的面积sslrr2要点一角度制与弧度制的换算例1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)105.(4)396.规律方法(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系式 rad180.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值跟踪演练1(1)把11230化成弧度；(2)把化成度解(1)11230.(2)75.要点二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k (02，kz)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500；(2)；(3)4.解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角规律方法用弧度制表示终边相同的角2k(kz)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪演练2设1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200范围内找出与它们终边相同的所有角解(1)180 rad，157022，275022.1的终边在第二象限，2的终边在第一象限(2)1108，设108k360(kz)，则由7200，即720108k3600，得k2，或k1.故在7200范围内，与1终边相同的角是612和252.260，设60k360(kz)，则由72060k360，则解得，.4把表示成2k(kz)的形式，使|最小的值是_答案解析22(1).1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集r之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式度数与弧度数的换算可借助“计算器”中学数学用表进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度一、基础达标1300化为弧度是()a b c d答案b2集合a与集合b的关系是()aab bab cba d以上都不对答案a3已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()a2 bsin 2 c. d2sin 1答案c解析r，l|r.4下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()a2k45(kz) bk360(kz)ck360315(kz) dk(kz)答案c5已知是第二象限角，且|2|4，则的集合是_答案(1.5，)(0.5，2解析是第二象限角，2k2k，kz，|2|4，62，当k1时，1.5，当k0时，0.52，当k为其它整数时，满足条件的角不存在6如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的_答案解析由于slr，若ll，rr，则slrlrs.7用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解(1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|2k2k，kz(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合|kk，kz二、能力提升8扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()a13 b23 c43 d49答案b解析设扇形的半径为r，扇形内切圆半径为r，则rrr2r3r.s内切r2.s扇形r2r29r2r2.s内切s扇形23.9下列表示中不正确的是()a终边在x轴上的角的集合是|k，kzb终边在y轴上的角的集合是|k，kzc终边在坐标轴上的角的集合是|k，kzd终边在直线yx上的角的集合是|2k，kz答案d解析终边在直线yx上的角的集合应是|k，kz10已知集合ax|2kx2k，kz，集合bx|4x4，则ab_.答案4，0，解析如图所示，ab4，0，11用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，面积为s，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而slr(302r)rr215r2.当半径r cm时，l30215 (cm)，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.当扇形的圆心角为2 rad，半径为cm时，面积最大，为 cm2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点p从点a(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知p点在1 s内转过的角度为 (0)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点a处，求.解因为0，且2k22k(kz)，则必有k0，于是，又142n(nz)，所以，从而，即n0)，当为多少弧