八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 （新版）沪科版.doc

二次根式1二次根式的概念(1)一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式(2)对于(a0)的讨论应注意下面的问题：二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等式子只有在条件a0时才叫二次根式即a0是为二次根式的前提条件式子就不是二次根式，但式子是二次根式(a0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果是二次根式，虽然2，但2不是二次根式因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义【例11】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？，.分析：因为a为实数，而|a|0，a20，a210，(a1)20，所以，是二次根式因为a是实数时，并不能保证a10，a21是非负数，即a10，a21可能是负数如当a10时，a100；又如当0a1时，a210，因此，不是二次根式解：，是二次根式【例12】x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x3是非负数，式子有意义解：由二次根式的定义可知被开方式x30，即x3，就是说当x3时，式子在实数范围内有意义2二次根式的性质(1)(a0)是一个非负数(a0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即0(a0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性【例21】若(b2)20，则ab的值是_解析：由题意可知0，(b2)20，所以a30，b20，则a3，b2.所以ab(3)29.答案：9(2)()2a(a0)由于(a0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即()2a(a0)【例22】化简：()2_；()2(x3)_.解析：直接利用公式()2a(a0)，可得()2；因为x3，所以x30，所以由公式()2a(a0)，可得()2x3(x3)答案：x3(3)|a|由算术平方根的定义，可得|a|a(a0)表示非负数a的平方的算术平方根等于a.【例23】计算：(1)；(2)(a3)；(3)(x)解析：错解正解(1)1.5；(2)a3；(3)2x3.(1)|1.5|1.5；(2)|a3|3a(a3)；(3)|2x3|32x(x)错因剖析：本题对性质()2a(a0)与|a|应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a(a0).思路分析：根据|a|，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)()2a的前提条件是a0；而|a|中的a为一切实数(2)(a0)，|a|，a2是三个重要的非负数，即(a0)0，|a|0，a20，在解题时应用较多(3)()2成立的条件是a0，否则不成立(4)()2a(a0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式(5)在利用进行化简时，要先得出|a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方3求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a的取值范围是：a0.即当a0时，有意义，是二次根式；当a0时，无意义，不是二次根式(1)确定形如的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义(a0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式(1)； (2)；(3)； (4).分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可解：(1)因为a，b为任意实数时，都有a2b20，所以当a，b为任意实数时，是二次根式(2)3x0，x0，即当x0时，是二次根式(3)0，且x0，所以x0.当x0时，是二次根式(4)0，故x20且x20，所以x2.当x2时，是二次根式4二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子(a0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：0；a0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数(2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：|a|0；a20；0(a0)【例41】已知x，y都是实数，且满足y3，求xy的值分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x的不等式组解：由题意知x5.当x5时，y33.xy538.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义【例42】已知x，y为实数，且y，则xy_.解析：因为y为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数实际上，若和都有意义，则a0.即依题意得解得x，于是y00.故xy14.答案：14,5式子()2的意义和运用二次根式的一个性质是：()2a(a0)因为2()2，()2，所以上面的性质又可以写成：a()2(a0)可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式二次根式中的2表示2，这与带分数2表示2是不一样的，因此，以后遇到应写成，而不能写成1.【例51】计算：(1)(2)2；(2)(2)2；(3)()2.解：(1)(2)222()212.(2)(2)2(2)2()22.(3)()2(1)2()215.【例52】把多项式n56n39n在实数范围内分解因式分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n56n39n提取公因式，得n(n46n29)，再利用完全平方公式分解，得n(n23)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成()2，再运用平方差公式进行因式分解解：n56n39nn(n46n29)n(n23)2n(n)2(n)2.6二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a|0，0(b0)，c20.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零即：|a|0a0，b0；|a|c20a0，c0；c20b0，c0；|a|c20a0，b0，c0.【例61】若|ab1|与互为相反数，则(ab)2 011_.解析：|ab1|与互为相反数，|ab1|0.而|ab1|0，0，(ab)2 011(21)2 011(3)2 01132 011.答案：32 011【例62】若a24a4，求的值分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a2)20，由二次根式的性质可知0，由完全平方数的意义可知(a2)20，而它们的和为零，则a20，b20，从而可求出a，b的值解：由a24a4，得a24a40，即(a2)20.(a2)20，0且(a2)20，a20，b20，解得a2，b2.2，即的值为2.7二次根式()2a(a0)与|a|的区别、运用()2a(a0)与|a|是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据(1)正确理解()2与的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道0(a0)，即是一个非负数，是非负数a的算术平方根，那么()2就是非负数a的算术平方根的平方，但只有当a0时，才能有意义对于，则表示a2的算术平方根，由于中的被开方数是一个完全平方式，所以a无论取什么值，a2总是非负数，即总是有意义的(2)()2与的区别和联系区别：表示的意义不同()2表示非负实数a的算术平方根的平方；表示实数a的平方的算术平方根运算的顺序不同()2是先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算；而则是先求实数a的平方，再求a2的算术平方根取值范围不同在()2中，a只能取非负实数，即a0；而在中，a可以取一切实数写法不同在()2中，幂指数2在根号的外面；而在中，幂指数2在根号的里面结果不同()2a(a0)，而联系：在运算时，都有平方和开平方的运算两式运算的结果都是非负数，即()20，0.仅当a0时，有()2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论_【例71】已知x2，则化简的结果是()ax2 bx2 cx2 d2x解析：，因为x2,2x0，所以2x.答案：d【例72】化简()2得()a5x b25x cx dx解析：错解正解原式(2x1)(13x)(2x1)25x，故选b.由，知2x10，得x，从而有3x10，所以原式(2x1)(2x1)(3x1)(2x1)x.故选c.错因剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件题目中有意义，说明隐含了条件2x10，即x，可知3x10.思路分析：本题主要应用二次根式的性质：(1)|a|(2)()2a(a0) .正确应用二次根式的性质是解决本题的关键.答案：c【例73】若m满足关系式，试确定m的值分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过