matlab实验报告三.doc

数学实验报告实验序号： 03 日期：2017年 12 月 20 日班级信息计算科学姓名学号1601114041实验名称求代数方程近似根问题背景描述：求代数方程的根是最常见的数学问题之一，当f（x）是一次多项式时，称f(x)=0为线性方程；否则称之为非线性方程。当f(x)=0是非线性方程时，由于f(x)的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似跟，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求。实验目的：本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间a,b，或给出某根的近似值x0。在实际问题抽象出的数学模型中，x0可以根据物理背景确定；也可根据y=f(x)的草图等方法确定，还可用对分法，迭代法及牛顿切线法大致确定根的分布情况。实验原理与数学模型：对分法函数；functionx=duifen(a,b,tol,f)ifabs(f(a)tol;x=a;elseifabs(f(b)tol&abfprintf(k=%d,a=%f,b=%f,f(x)=%en,k,a,b,fx);iff(a)*fxtol;x=g(x);fx=f(x);k=k+1;fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);end实验所用软件及版本：matlab主要内容（要点）：本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，不动点迭代法及加速方法、牛顿法第一题：选择适当的迭代过程，分别使用（1）普通迭代法（2）与之相应的松弛迭代法和Altken迭代法。求方程x3-3x+1=0在1.4附近的根，精确到4位小数。请注意迭代次数的变化。第二题：分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Alken迭代法、牛顿切线法等五种方法求方程tx=sin(x)的正的近似跟，0ttol; w=1/(1-dgx); x=(1-w)*x+w*gx; k=k+1; fx=f(x);gx=g(x); dgx=dg(x); fprintf(k=%g,x=%f,f(x)=%e,w=%fn,k,x,fx,w);endfprintf(迭代步数k=%d,结果x=%f,k,x)结果：k=1,x=1.400000,f(x)=-4.560000e-01k=2,x=1.558333,f(x)=1.092610e-01,w=-1.041667k=3,x=1.532836,f(x)=3.022685e-03,w=-0.700083k=4,x=1.532090,f(x)=2.562645e-06,w=-0.740968迭代步数k=4,结果x=1.532090 第二题：t=0.5；clear;clc;tol=1e-4;f=(x)0.5*x-sin(x);g=(x)2*sin(x);dg=(x)2*cos(x);x=1;k=1;牛顿法，第二题：clear;clc;tol=1e-4;f=(x)0.5*x-sin(x);df=(x)0.5-cos(x);x=1;k=1;fx=f(x);dfx=df(x);fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);while abs(f(x)tol; x=x-fx/dfx; k=k+1; fx=f(x); dfx=df(x); fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);endfprintf(迭代步数k=%d,结果x=%f,k,x);结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01k=2,x=-7.472741,f(x)=-2.808167e+00k=3,x=14.478521,f(x)=6.296958e+00k=4,x=6.935115,f(x)=2.860836e+00k=5,x=16.635684,f(x)=9.118097e+00k=6,x=8.343938,f(x)=3.289615e+00k=7,x=4.954633,f(x)=3.448119e+00k=8,x=-8.301318,f(x)=-3.249057e+00k=9,x=-4.817320,f(x)=-3.403160e+00k=10,x=3.792574,f(x)=2.502255e+00k=11,x=1.861061,f(x)=-2.763770e-02k=12,x=1.896214,f(x)=5.898963e-04k=13,x=1.895495,f(x)=2.453740e-07迭代步数k=13,结果x=1.895495其他方法：fzero(x3-3*x+1,1.4)结果：1.5321函数运行结果：第一题： f=(x)x3-3*x+1; duifen(1,2,1e-4,f)k=1,a=1.000000,b=2.000000,f(x)=-1.250000e-01k=2,a=1.750000,b=2.000000,f(x)=-1.250000e-01k=3,a=1.625000,b=1.500000,f(x)=-1.250000e-01ans = 1.5000fx=f(x);gx=g(x);dgx=dg(x);fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);while abs(f(x)tol; w=1/(1-dgx); x=(1-w)*x+w*gx; k=k+1; fx=f(x);gx=g(x); dgx=dg(x); fprintf(k=%g,x=%f,f(x)=%e,w=%fn,k,x,fx,w);endfprintf(迭代步数k=%d,结果x=%f,k,x)结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01k=2,x=-7.472741,f(x)=-2.808167e+00,w=-12.406238k=3,x=14.478521,f(x)=6.296958e+00,w=3.908468k=4,x=6.935115,f(x)=2.860836e+00,w=0.598972k=5,x=16.635684,f(x)=9.118097e+00,w=-1.695408k=6,x=8.343938,f(x)=3.289615e+00,w=0.454686k=7,x=4.954633,f(x)=3.448119e+00,w=0.515152k=8,x=-8.301318,f(x)=-3.249057e+00,w=1.922201k=9,x=-4.817320,f(x)=-3.403160e+00,w=0.536155k=10,x=3.792578,f(x)=2.502259e+00,w=1.264986k=11,x=1.861058,f(x)=-2.763992e-02,w=0.385955k=12,x=1.896214,f(x)=5.899952e-04,w=0.635968k=13,x=1.895495,f(x)=2.454563e-07,w=0.609976迭代步数k=13,结果x=1.895495Altken法：第一题：clear;clc;tol=1e-4;f=(x)x3-3*x+1;g=(x)(x3+1)/3;x=1.4;k=1;fx=f(x);gx=g(x);fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);while abs(f(x)tol; y=g(x); z=g(y); x=z-(z-y)2/(z-2*y+x); k=k+1; fx=f(x);gx=g(x); fprintf(k=%g,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);endfprintf(迭代步数k=%d,结果x=%f,k,x)结果：k=1,x=1.400000,f(x)=-4.560000e-01k=2,x=1.601351,f(x)=3.023306e-01k=3,x=1.543068,f(x)=4.493007e-02k=4,x=1.532402,f(x)=1.267174e-03k=5,x=1.532089,f(x)=1.058857e-06迭代步数k=5,结果x=1.532089 第二题：t=0.5clear;clc;tol=1e-4;f=(x)0.5*x-sin(x);g=(x)2*sin(x);x=1;k=1;fx=f(x);gx=g(x);fprintf(k=%d,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);while abs(f(x)tol; y=g(x); z=g(y); x=z-(z-y)2/(z-2*y+x); k=k+1; fx=f(x);gx=g(x); fprintf(k=%g,x=%f,f(x)=%en,k,x,fx);endfprintf(迭代步数k=%d,结果x=%f,k,x)结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01k=2,x=2.232429,f(x)=3.272248e-01k=3,x=1.834532,f(x)=-4.815707e-02k=4,x=1.894225,f(x)=-1.038775e-03k=5,x=1.895494,f(x)=-4.863193e-07迭代步数k=5,结果x=1.895494实验结果报告与实验总结：松弛法具有较好的加速效果,甚至有些不收敛的迭代，加速后也能收敛 缺点：每次迭代需计算导数.Altken算法中不需要计算导数，Altken算法同样具有较好的加速效果。牛顿法优点：至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。是目前求解非线性方程(组) 的主要方法。牛顿法的缺点：对重根收敛速度较慢（线性收敛）。对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解。在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似然后再用牛顿法求解。第一，二题中，根据题目要求，可以画出大致图像：思考与深入：(1)判断使用某种方法求已经知道的方程近似解主要是看题目，观察题目要求给的是区间还是