辽宁省庄河市高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（4）课件 新人教B版必修5.ppt

等比数列的前n项和 1 熟练掌握等差 等比数列的前n项和公式以及正整数的平方和公式 立方和公式等进行求和 在历年高考要求中 等差数列与等比数列的有限和总是有公式可求 2 掌握非等差 等比数列求和的几种常见方法 有些特殊数列的求和可采用分部法转化为等差或等比数列的求和 能利用等差 等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和 或用裂项法 错位相减法 分项和并项求和法 逆序相加法 分组组合法等求和 高考要求 1 公式法 直接应用等差数列 等比数列的前n项和公式 以及正整数的平方和公式 立方和公式等进行求和 1 等差数列的前n项和 2 等比数列的前n项和 sn n2 n2 n 数列求和第一课时 公式法的数列求和例1 1 求和1 3 5 7 9 2n 1 2 求和22 23 24 2n 3 解 1 这是一个以1为首项 2为公差的等差数列的求和问题 其项数为n 1 1 3 5 7 9 2n 1 2 这是一个以4为首项 2为公比的等比数列的求和问题 其项数为 n 3 2 1 n 2 裂项相消法求和 2 2 已知an sn 则数列 an 的前n项和 裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项 使数列中的项出现有规律的抵消项 进而达到求和的目的 即 把数列的通项拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前n项和变成首尾若干项之和 1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 常见的拆项方法有 1 2 3 错位相减法求和 例3 sn 1 3x 5x2 7x3 2n 1 xn 1 x 0 1 解 因为x 1 sn 1 3x 5x2 7x3 2n 1 xn 1 xsn x 3x2 5x3 7x4 2n 1 xn 3 1 已知数列 an 的前n项和为sn且an n 2n 则sn 2n 1 2 n 2n 1 1 n 2n 1 2 sn 2n 1 n 1 2 答案 n 1 2n 1 2 即 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成 此时可把式子sn a1 a2 an两边同乘以公比q 得到qsn a1q a2q anq 两式错位相减整理即可求出sn 用乘公比错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 1 2 22 2 1 求和1 4 7 10 3n 4 3n 7 2 已知an 1 n 1 1 则数列 an 的前n 项和sn 答案 b 答案 b 方法规律小结 数列求和需掌握以下基本常用解法 1 公式法 直接由等差 等比数列的求和公式求和 注意等比数列的公比q与1的讨论 2 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 3 裂项相消法 把数列的每一项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 将数列相邻的两项 或若干项 并成一项 或一组 得到一个新数列 容易求和 五 并项求和 奇偶分析法 例5求和sn 1 2 3 4 5 6 1 n 1 n 数列求和第二课时 四 倒序相加法 将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到n个 例如等差数列求和公式的推导 例4函数f x 满足若x1 x2 1 则f x1 f x2 1 求f 0 f f f f 若数列的通项可转化为的形式 且数列可求出前n项和则 例6 求下列数列的前n项和 六 分组求和法 1 解 1 该数列的通项公式为 1 规律概括 如果一个数列的通项可分成两项之和 或三项之和 则可用分组求和法 在本章我们主要遇到如下两种形式的数列 其一 通项公式为 其二 通项公式为 本课小结 数列求和的一般步骤 等差 等比数列直接应用求和公式求和 非等差 等比的数列 通过通项化归的思想设法转化为等差 等比数列 常用方法有倒序相加法 错位相减法 拆项并组法不能转化为等差 等比的数列 往往通过裂项相消法求和 5 已知递增的等比数列 an 前3项之积为512 且这三项分别减去1 3 9后又成等差数列 求数列 的前n项和 an n 6 已知数列 an 中 a1 1 2n 1 an 2n 3 an 1 n 2 n n 求数列 an 的前n项和sn 作业 谢谢 欢迎你的提问 课本第53 55页能力培养 再见 解 设等比数列 an 的公比为q 依题意得 a1a2a3 512 a23 512 a2 8 前三项分别减去1 3 9后又成等差数列 an a2qn 2 8 2n 2 2n 1 6 已知数列 an 中 a1 1 2n 1 an 2n 3 an 1 n 2 n n 求数列 an 的前n项和sn sn a1 a2 an 解 2n 1 an 2n 3 an 1 1 证 由已知s1 a1 a sn aqn 1 当n 2时 an sn sn 1 aqn 1 aqn 2 a q 1