安徽省中考数学一轮复习 第二部分 热点专题突破 专题8 函数应用课件.ppt

专题八函数应用 初中阶段学习的函数只有三种 一次函数 二次函数和反比例函数 包括有这三种函数组合的分段函数 所谓函数应用 指的是建立这些函数模型解决实际问题 简单地说 解答函数应用问题 就是先分析出实际问题中蕴含的函数模型 从而确定这个函数 再利用函数的有关知识解决问题 其实应用函数解决实际问题在本书前部分已有涉及 这里再设专版复习 其目的是从建立三种函数模型的角度再做强化 这类问题是安徽中考的必考题 经常一年多考 如2015年第10题 第21题 第22题 2016年第9题 第22题 2017年第9题 第22题 2018年第10题 第22题等 值得一提的是一次函数和反比例函数的应用变化较少 而二次函数应用的变化相对灵活 近十年来 考查二次函数的题型多达6个种类 都应研究到位 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 行程问题与一次函数典例1 2016 安徽第9题 一段笔直的公路ac长20千米 途中有一处休息点b ab长15千米 甲 乙两名长跑爱好者同时从点a出发 甲以15千米 时的速度匀速跑至点b 原地休息半小时后 再以10千米 时的速度匀速跑至终点c 乙以12千米 时的速度匀速跑至终点c 下列选项中 能正确反映甲 乙两人出发后2小时内运动路程y 千米 与时间x 时 函数关系的图象是 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 答案 a 名师点拨 本题的解析是在定性分析 还可以定量分析 即通过用待定系数法求出各段线段的函数表达式来解题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 一次方程 不等式 与一次函数典例2甲 乙两家商场进行促销活动 甲商场采用 满200减100 的促销方式 即购买商品的总金额满200元但不足400元 少付100元 满400元但不足600元 少付200元 乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销 1 若顾客在甲商场购买了510元的商品 付款时应付多少钱 2 若顾客在甲商场购买商品的总金额为x 400 x 600 元 优惠后得到商家的优惠率为 写出p与x之间的函数关系式 并说明p随x的变化情况 3 品牌 质量 规格等都相同的某种商品 在甲 乙两商场的标价都是x 200 x 400 元 你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少 请说明理由 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 解析 1 顾客在甲商场消费510元 因为400 510100 即250 x 400时 选乙商场花钱较少 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 命题拓展考向在二次函数中分类讨论本题第 3 题这种类型在安徽中考中已经有几年没出现了 但这种形式完全可以与二次函数相结合 例如 1 农民王大伯销售一种进价为20元 箱的蔬菜 设年销量为x箱 若直接销售 销售价y 元 箱 与x的函数关系式为y x 150 且无论销售多少 每年还需上缴各种管理费共62500元 年利润为w1 元 年利润 年销售额 成本 管理费 若做净菜处理后再销售 成本 含进价 为a元 箱 a为常数 30 a 40 销售价为150元 箱 每年不用缴管理费 但需缴纳x2元的附加费 年利润为w2 元 年利润 年销售额 成本 附加费 1 分别求出w1 w2与x之间的函数关系式 不必写x的取值范围 2 如果明年要将5000箱产品全部销售完 请你帮王大伯分析应采用哪种形式销售 才能使获得的年利润较多 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 2 当x 5000时 w1 337500 w2 5000a 500000 当w1w2时 则a 32 5 所以 当30 a 32 5时 应选择做净菜处理后再销售 所获得的年利润较多 当a 32 5时 直接销售和做净菜处理后再销售所获得的年利润一样 当32 5 a 40时 应选择直接销售 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 几何图形与反比例函数典例3如图 矩形abcd中 ab 3 bc 4 动点p从a点出发 按a b c的方向在ab和bc上移动 记pa x 点d到直线pa的距离为y 则y关于x的函数图象大致是 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 答案 b 名师点拨 1 本题的关键在于当点p在bc边上移动时 pad的面积始终等于矩形abcd面积的一半 从而得到反比例函数 3 x 5 的图象 其实通过矩形中两个直角三角形相似 得到比例线段 从而也能得到反比例函数 3 x 5 的图象 同样可解 2 几何图形运动不仅可以得到反比例函数 还可以得到一次函数和二次函数 这类问题在本书 专题二用 数 解 形 中已有详细解读 这里不再赘述 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 反比例函数图象与一次 二次 函数图象结合典例4 2016 安徽第20题 如图 一次函数y kx b的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点a 4 3 与y轴的负半轴交于点b 且oa ob 1 求函数y kx b和的表达式 2 已知点c 0 5 试在该一次函数图象上确定一点m 使得mb mc 求此时点m的坐标 解析 1 利用待定系数法即可解答 2 分析可知点m在线段bc的中垂线上 即在x轴上 又由题知点m在一次函数的图象上 即可求解 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 命题拓展考向反比例函数图象与二次函数图象结合反比例函数图象不仅可以与一次函数图象相结合 还可以与二次函数图象乃至与另一个反比例函数图象相结合 如 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 2 2017 安徽第9题 已知抛物线y ax2 bx c与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点 其横坐标为1 则一次函数y bx ac的图象可能是 b 解析 由题意得b 0 a b c b a c 0 ac 0 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 最大利润与二次函数典例5 2017 安徽第22题 某超市销售一种商品 成本为每千克40元 规定每千克售价不低于成本 且不高于80元 经市场调查 每天的销售量y 千克 与每千克售价x 元 满足一次函数关系 部分数据如下表 1 求y与x之间的函数表达式 2 设商品每天的总利润为w 元 求w与x之间的函数表达式 利润 收入 成本 3 试说明 2 中总利润w随售价x的变化而变化的情况 并指出每千克售价为多少元时获得最大利润 最大利润是多少 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 解析 1 先根据题意设y与x之间的函数关系式为y kx b 然后从表格中任取两组数据代入 求出k与b的值 即可求得y与x之间的函数表达式 2 根据总利润 每件利润 件数 即可写出w与x之间的函数表达式 3 根据 2 中的函数解析式 将其化为顶点式 结合40 x 80 即可求解 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 答案 1 设y与x之间的函数关系式为y kx b 即y与x之间的函数表达式是y 2x 200 2 由题意可得 w x 40 2x 200 2x2 280 x 8000 即w与x之间的函数表达式是w 2x2 280 x 8000 3 w 2x2 280 x 8000 2 x 70 2 1800 40 x 80 当40 x 70时 w随x的增大而增大 当70 x 80时 w随x的增大而减小 当x 70时 w取得最大值 此时w 1800 答 当40 x 70时 w随x的增大而增大 当70 x 80时 w随x的增大而减小 每千克售价为70元时获得最大利润 最大利润是1800元 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 名师点拨 最大利润与二次函数这类问题变式较多 近10年安徽省中考数学考查的也较多 它的规律就在于从实际意义考虑 就是总利润 销售量 单位销售利润 从算式考虑 就是总利润 两个代数式的乘积 得到二次项 对应这两个关系可得二次函数模型 从而用二次函数知识解答 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 命题拓展考向一次函数中的最值问题其实应用一次函数的增减性也能求出实际问题中的最大值或最小值问题 注意两者的区别 例如 3 某蓝莓种植生产基地产销两旺 采摘的蓝莓部分加工销售 部分直接销售 且当天都能销售完 直接销售是40元 斤 加工销售是130元 斤 不计损耗 已知基地雇佣20名工人 每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作 每人每天可以采摘70斤或加工35斤 设安排x名工人采摘蓝莓 剩下的工人加工蓝莓 1 若基地一天的总销售收入为y元 求y与x的函数关系式 2 试求如何分配工人 才能使一天的销售收入最大 并求出最大值 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 答案 1 根据题意得y 40 70 x 35 20 x 130 35 20 x 350 x 63000 2 因为采摘量不小于加工量 所以70 x 35 20 x 解得x 又因为x为正整数 且x 20 所以7 x 20 且x为正整数 因为 350 0 所以y随x的增大而减小 所以当x 7时 收入取最大值 最大值为 350 7 63000 60550 即安排7名工人进行采摘 13名工人进行加工 才能使一天的收入最大 最大收入为60550元 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 图形面积与二次函数典例6 2016 安徽第22题 如图 二次函数y ax2 bx的图象经过点a 2 4 与b 6 0 1 求a b的值 2 点c是该二次函数图象上a b两点之间的一动点 横坐标为x 2 x 6 写出四边形oacb的面积s关于点c的横坐标x的函数表达式 并求s的最大值 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 解析 1 把点a与点b的坐标代入二次函数解析式 求出a与b的值即可 2 过点a作x轴的垂线 垂足为d 连接cd 过点c作ce ad cf x轴 垂足分别为e f 分别表示出 oad acd以及 bcd的面积 它们的面积之和即为s 确定出s关于x的函数解析式 并求出x的范围 利用二次函数性质即可确定出s的最大值以及此时x的值 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 命题拓展考向建立二次函数模型解答面积问题4 2015 安徽第22题 为了节省材料 某水产养殖户利用水库的岸堤 岸堤足够长 为一边 用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的 三块矩形区域 而且这三块矩形区域面积相等 设bc的长度是x米 矩形区域abcd的面积为y平方米 1 求y与x之间的函数关系式 并注明自变量x的取值范围 2 x为何值时 y有最大值 最大值是多少 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 抛物线型与二次函数典例7 2012 安徽第23题 如图 排球运动员站在点o处练习发球 将球从o点正上方2m的a处发出 把球看成点 其运行的高度y m 与运行的水平距离x m 满足关系式y a x 6 2 h 已知球网与o点的水平距离为9m 高度为2 43m 球场的边界距o点的水平距离为18m 1 当h 2 6时 求y与x的关系式 不要求写出自变量x的取值范围 2 当h 2 6时 球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由 3 若球一定能越过球网 又不出边界 求h的取值范围 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 名师点拨 1 这种类型考查二次函数的应用 主要是求范围的问题 可以利用临界点法求出自变量的值 再根据题意确定范围 2 此类试题变化较少 已经有6年没有在安徽中考中出现了 但我们也要适当关注 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 阅读理解与二次函数典例8 2014 安徽第22题 若两个二次函数图象的顶点 开口方向都相同 则称这两个二次函数为 同簇二次函数 1 请写出两个为 同簇二次函数 的函数 2 已知关于x的二次函数y1 2x2 4mx 2m2 1和y2 ax2 bx 5 其中y1的图象经过点a 1 1 若y1 y2与y1为 同簇二次函数 求函数y2的表达式 并求出当0 x 3时 y2的最大值 解析 本题是新定义题型 先新定义函数 再运用这个定义解决问题 新定义题型的本质是化归 把新知识转化为已掌握的知识 此题难点是要把y1 y2看成一个整体 利用 同簇二次函数 的定义 通过待定系数法确定y2的函数解析式 并求出最值 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 答案 1 本题开放题 答案不唯一 符合题意即可 如 y1 2x2 y2 x2 2 函数y1的图象经过点a 1 1 则2 4m 2m2 1 1 解得m 1 y1 2x2 4x 3 2 x 1 2 1 解法一 y1 y2与y1为 同簇二次函数 可设y1 y2 k x 1 2 1 k 0 则y2 k x 1 2 1 y1 k 2 x 1 2 由题可知函数y2的图象经过点 0 5 则 k 2 12 5 k 2 5 y2 5 x 1 2 5x2 10 x 5 当0 x 3时 根据函数y2的图象可知 y2的最大值为5 3 1 2 20 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 类型7 类型8 解法二 y1 y2与y1是 同簇二次函数 则y1 y2 a 2 x2 b 4 x 8 a 2 0 解得a 5 b 10 y2 5x2 10 x 5 当0 x 3时 根据函数y2的图象可知 y2的最大值为5 32 10 3 5 20 名师点拨 1 本题最为主要的是对新定义 如本题的 同簇二次函数 的理解 同时注意分类讨论 其他方面都是常规考查二次函数的顶点 解析式及增减性等问题 2 这类试题变化较少 也已经有4年没有在安徽中考中出现了 我们只要适当关注 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 周末爸爸步行到公司加班 途中发现重要文件忘带 立即往家打电话 儿子接到电话后带上文件马上去追爸爸 爸爸也同时返回迎儿子 两人相遇后 爸爸立即赶往公司 花了18分钟 儿子立即回家花了15分钟 假设家和公司之间的路线是唯一的 且爸爸的步行速度一直是100米 分钟 爸爸和儿子之间的距离y 米 与爸爸打完电话后的步行时间x 分钟 之间的函数关系如图所示 观察图象 下列结论不正确的是 a 打电话时 爸爸和儿子相距1250米b 打电话后经过23分钟爸爸到达公司c 相遇后儿子回家的速度是150米 分钟d 家和公司之间的路程是2550米 解析 根据函数图象 知a b说法正确 相遇时儿子离家为1250 5 100 750米 750 15 50米 分钟 c不正确 儿子到家时两人相距2250米 爸爸又步行了23 20 3分钟 3 100 300米 所以家和公司之间的路程是2550米 d正确 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2018 山东聊城 春季是传染病多发的季节 积极预防传染病是学校高度重视的一项工作 为此 某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒 在对某宿舍进行消毒的过程中 先经过5min的集中药物喷洒 再封闭宿舍10min 然后打开门窗进行通风 室内每立方米空气中含药量y mg m3 与药物在空气中的持续时间x min 之间的函数关系 在打开门窗通风前分别满足两个一次函数 在通风后又成反比例 如图所示 下面四个选项中错误的是 a 经过5min集中喷洒药物 室内空气中的含药量最高达到10mg m3b 室内空气中的含药量不低于8mg m3的持续时间达到了11minc 当室内空气中的含药量不低于5mg m3且持续时间不低于35分钟 才能有效杀灭某种传染病毒 此次消毒完全有效d 当室内空气中的含药量低于2mg m3时 对人体才是安全的 所以从室内空气中的含药量达到2mg m3开始 需经过59min后 学生才能进入室内 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2018 湖南永州 在同一平面直角坐标系中 反比例函数 b 0 与二次函数y ax2 bx a 0 的图象大致是 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2018 湖南娄底 如图 在平面直角坐标系中 o为坐标原点 点p是反比例函数图象上的一点 pa x轴于点a 则 poa的面积为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 某商场购进一批单价为20元的日用商品 如果以单价30元销售 那么半月内可销售出400件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的减少 即销售单价每提高1元 销售量相应减少20件 当销售单价是元时 才能在半月内获得最大利润 解析 半月内获得利润w 400 20 x 30 x 20 20 x2 1400 x 20000 即w 20 x 35 2 4500 故当x 35时 w最大 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 某商户在网上投资销售a b两种商品 已知 销售a种商品可获得的利润y1 万元 是该商品投资额的40 销售b种商品可获得的利润y2 万元 与该商品投资额x 万元 满足一次函数关系 部分数据如下表 1 分别求销售a b两种商品获利y1 万元 y2 万元 与该商品的投资额x 万元 的函数关系式 2 若只选择一种商品投资销售 销售哪种商品获利更高 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 根据题意 得y1 0 4x 因为y2与x满足一次函数关系 所以设y2 kx b 把x 1 y 0 5 x 2 y 0 7分别代入y2 kx b中 得k 0 2 b 0 3 所以y2 0 2x 0 3 2 令y1 y2 得x 1 5 令y1 y2 得x 1 5 令y1 y2 得x 1 5 故当投资额小于1 5万元时 销售b种商品获利大 当投资额等于1 5万元时 销售两种商品获利一样大 当投资额大于1 5万元时 销售a种商品获利大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 某旅行社推出一条旅游线路 根据往年的经验 这条旅游线路的游客人数y 人 月 与报价x 元 人 之间的关系如图所示 已知这条旅游线路的成本价为500元 人 旅游主管部门规定该旅游线路的报价不低于800元 人 且不高于1500元 人 1 要将这条旅游线路每月的游客人数控制在200人以内 求该旅游线路报价的取值范围 2 当这条旅游线路的报价为多少时 每月可获得最大利润 最大利润是多少 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 由题意可得 y与x之间的函数关系式为 当 x 13001100 故要将这条旅游线路每月的游客人数控制在200人以内 该旅游线路报价的取值范围为1100100000 所以当这条旅游线路的旅游报价为900元 人时 每月可获得最大利润 最大利润是160000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 如图 现有一块钢板余料abced 它是矩形缺了一角 a b d 90 ab 6dm ad 10dm bc 4dm ed 2dm 王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形afpq p为线段ce上一动点 设af x 矩形afpq的面积为y 1 求y与x之间的函数关系式 并注明x的取值范围 2 x为何值时 y取最大值 最大值是多少 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 某大型农贸市场现有100个摊位 平均每个摊位每月可收税款600元 现在为了解决外来务工人员就业问题 须在这个农贸市场中增加摊位 且每增加一个摊位 平均每个摊位每月少收税款5元 设在该农贸市场中增加x个摊位 请解决下列问题 1 写出增加摊位后 平均每个摊位每月所收税款y 元 与x 个 之间的函数关系式 2 该农贸市场增加多少个摊位时 每月可收总税款最多 最多为多少 解 1 由题意 得y 600 5x 2 w 100 x 600 5x 5x2 100 x 60000 5 x 10 2 60500 故该农贸市场增加10个摊位时 每月可收总税款最多 最多为60500元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 如图 抛物线y ax2 bx c的顶点坐标为点c 1 4 交x轴于点a 3 0 交y轴于点b 1 求抛物线y ax2 bx c和直线ab的函数表达式 2 点p是该抛物线 在第一象限内 上一动点 写出 pab的面积s关于点p的横坐标x的函数表达式 并求s的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 1 抛物线的顶点坐标为 1 4 可设抛物线的函数表达式为y a x 1 2 4 抛物线交x轴于点 3 0 0 a 3 1 2 4 解得a 1 y x 1 2 4 x2 2x 3 令x 0 得y 3 即b 0 3 设直线ab的函数表达式为y mx n 根据a 3 0 b 0 3 可得m 1 n 3 直线ab的函数表达式为y x 3 2 设p点坐标为 x y 连接op 则s s oap s obp s aob 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 若两个二次函数y1 a1x2 b1x c1 y2 a2x2 b2x c2中的a1 a2 c1 c2 b1 b2 则称y1和y2是 同位二次函数 1 若y 是二次函数y x2 2x 3的一个 同位二次函数 y 的最小值为 5 求y 的函数表达式 2 若y 也是y x2 2x 3的一个 同位二次函数 y y的图象的顶点分别为a b 当ab x轴 且ab 2时 求y 的函数表达式 1 2 3