高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题课件 理 苏教版.ppt

高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2015 课标全国 改编 已知a b为双曲线e的左 右顶点 点m在e上 abm为等腰三角形 且顶角为120 则e的离心率为 答案 解析 则ab 2a 由双曲线的对称性 可设点m x1 y1 在第一象限内 过m作mn x轴于点n x1 0 abm为等腰三角形 且 abm 120 bm ab 2a mbn 60 答案 解析 2 如图 已知椭圆c的中心为原点o f 0 为c的左焦点 p为c上一点 满足op of 且pf 4 则椭圆c的方程为 右焦点为f 连结pf 如图所示 由op of of 知 fpf 90 即fp pf 在rt pff 中 由勾股定理 由椭圆定义 得pf pf 2a 4 8 12 3 2017 山西质量监测 已知a b分别为椭圆 1 a b 0 的右顶点和上顶点 直线y kx k 0 与椭圆交于c d两点 若四边形acbd的面积的最大值为2c2 则椭圆的离心率为 答案 解析 设c x1 y1 x1 0 d x2 y2 将y kx代入椭圆方程可解得 即2c4 a2b2 a2 a2 c2 a4 a2c2 2c4 a2c2 a4 0 2e4 e2 1 0 4 2016 北京 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线为正方形oabc的边oa oc所在的直线 点b为该双曲线的焦点 若正方形oabc的边长为2 则a 答案 解析 2 设b为双曲线的右焦点 如图所示 四边形oabc为正方形且边长为2 又a2 b2 c2 8 a 2 答案 解析 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 和椭圆 1有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 题型分类深度剖析 例1已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点p到两焦点的距离分别为 过p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 则椭圆的方程为 题型一求圆锥曲线的标准方程 答案 解析 由pf1 pf2知 pf2垂直于长轴 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型 主要利用圆锥曲线的定义 几何性质 解得标准方程中的参数 从而求得方程 思维升华 跟踪训练1 2015 天津改编 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点为f 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 答案 解析 则a2 b2 4 例2 1 2015 湖南改编 若双曲线 1的一条渐近线经过点 3 4 则此双曲线的离心率为 题型二圆锥曲线的几何性质 答案 解析 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 答案 解析 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点 求离心率 准线 双曲线渐近线 是常考题型 解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义 及相关参数间的联系 掌握一些常用的结论及变形技巧 有助于提高运算能力 思维升华 跟踪训练2已知椭圆 1 a b 0 与抛物线y2 2px p 0 有相同的焦点f p q是椭圆与抛物线的交点 若pq经过焦点f 则椭圆 1 a b 0 的离心率为 答案 解析 pf p ef p 题型三最值 范围问题 例3设椭圆m 1 a b 0 的离心率与双曲线x2 y2 1的离心率互为倒数 且椭圆的长轴长为4 1 求椭圆m的方程 解答 几何画板展示 2 若直线y x m交椭圆m于a b两点 p 1 为椭圆m上一点 求 pab面积的最大值 解答 圆锥曲线中的最值 范围问题解决方法一般分两种 一是代数法 从代数的角度考虑 通过建立函数 不等式等模型 利用二次函数法和基本不等式法 换元法 导数法等方法求最值 二是几何法 从圆锥曲线的几何性质的角度考虑 根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 思维升华 跟踪训练3 2016 盐城一模 如图 曲线 由两个椭圆t1 1 a b 0 和椭圆t2 1 b c 0 组成 当a b c成等比数列时 称曲线 为 猫眼 1 若 猫眼曲线 过点m 0 且a b c的公比为 求 猫眼曲线 的方程 解答 a 2 c 1 几何画板展示 2 对于 1 中的 猫眼曲线 任作斜率为k k 0 且不过原点的直线与该曲线相交 交椭圆t1所得弦的中点为m 交椭圆t2所得弦的中点为n 求证 为与k无关的定值 证明 设斜率为k的直线交椭圆t1于点c x1 y1 d x2 y2 线段cd的中点为m x0 y0 k存在且k 0 x1 x2且x0 0 3 若斜率为的直线l为椭圆t2的切线 且交椭圆t1于点a b n为椭圆t1上的任意一点 点n与点a b不重合 求 abn面积的最大值 解答 由 0 化简得m2 b2 2c2 由 0 得m2 b2 2a2 题型四定值 定点问题 例4 2016 全国乙卷 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为a 直线l过点b 1 0 且与x轴不重合 l交圆a于c d两点 过b作ac的平行线交ad于点e 1 证明ea eb为定值 并写出点e的轨迹方程 解答 几何画板展示 因为ad ac eb ac 故 ebd acd adc 所以eb ed 故ea eb ea ed ad 又圆a的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而ad 4 所以ea eb 4 由题设得a 1 0 b 1 0 ab 2 2 设点e的轨迹为曲线c1 直线l交c1于m n两点 过b且与l垂直的直线与圆a交于p q两点 求四边形mpnq面积的取值范围 解答 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 m x1 y1 n x2 y2 故四边形mpnq的面积 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 mn 3 pq 8 四边形mpnq的面积为12 求定点及定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 思维升华 跟踪训练4 2016 北京 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为 a a 0 b 0 b o 0 0 oab的面积为1 1 求椭圆c的方程 解答 几何画板展示 2 设p是椭圆c上一点 直线pa与y轴交于点m 直线pb与x轴交于点n 求证 an bm为定值 证明 由 1 知 a 2 0 b 0 1 当x0 0时 y0 1 bm 2 an 2 an bm 4 故an bm为定值 题型五探索性问题 例5 2015 广东 已知过原点的动直线l与圆c1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点a b 1 求圆c1的圆心坐标 解答 圆c1 x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 圆c1的圆心坐标为 3 0 几何画板展示 2 求线段ab的中点m的轨迹c的方程 解答 设m x y a b为过原点的直线l与圆c1的交点 且m为ab的中点 由圆的性质知mc1 mo 由向量的数量积公式得x2 3x y2 0 易知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y mx 把相切时直线l的方程代入圆c1的方程 当直线l经过圆c1的圆心时 m的坐标为 3 0 又 直线l与圆c1交于a b两点 m为ab的中点 3 是否存在实数k 使得直线l y k x 4 与曲线c只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解答 由题意知直线l表示过定点 4 0 斜率为k的直线 若直线l与曲线c只有一个交点 令f x 0 当 0时 若x 3是方程的解 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 思维升华 跟踪训练5 2016 苏州 无锡 常州 镇江二模 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c a b 0 的离心率为 且过点 1 过椭圆的左顶点a作直线l x轴 点m为直线l上的动点 点m与点a不重合 点b为椭圆的右顶点 直线bm交椭圆c于点p 1 求椭圆c的方程 解答 几何画板展示 所以a2 2c2 所以a2 2b2 2 求证 ap om 证明 设直线bm的斜率为k 则直线bm的方程为y k x 2 设p x1 y1 化简得 2k2 1 x2 8k2x 8k2 4 0 令x 2 得y 4k 所以ap om 解答 课时作业 解答 1 求椭圆e的方程 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 经过点 1 1 且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p q 均异于点a 证明 直线ap与aq的斜率之和为2 证明 1 2 3 4 5 由题设知 直线pq的方程为y k x 1 1 k 2 代入 y2 1 得 1 2k2 x2 4k k 1 x 2k k 2 0 由已知 0 设p x1 y1 q x2 y2 x1x2 0 1 2 3 4 5 2 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的焦距为3 其中一条渐近线的方程为x y 0 以双曲线c的实轴为长轴 虚轴为短轴的椭圆记为e 过原点o的动直线与椭圆e交于a b两点 1 求椭圆e的方程 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 设a x1 y1 则b x1 y1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 已知椭圆 1的左顶点为a 右焦点为f 过点f的直线交椭圆于b c两点 1 求该椭圆的离心率 解答 1 2 3 4 5 2 设直线ab和ac分别与直线x 4交于点m n 问 x轴上是否存在定点p使得mp np 若存在 求出点p的坐标 若不存在 说明理由 解答 1 2 3 4 5 依题意 直线bc的斜率不为0 设其方程为x ty 1 b x1 y1 c x2 y2 假设x轴上存在定点p p 0 使得mp np 1 2 3 4 5 将x1 ty1 1 x2 ty2 1代入上式 整理得 即 p 4 2 9 0 解得p 1或p 7 所以x轴上存在定点p 1 0 或p 7 0 使得mp np 1 2 3 4 5 4 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且经过点p 1 过它的左 右焦点f1 f2分别作直线l1与l2 l1交椭圆于a b两点 l2交椭圆于c d两点 且l1 l2 解答 1 求椭圆的标准方程 将点p的坐标代入椭圆方程得c2 1 1 2 3 4 5 解答 2 求四边形acbd的面积s的取值范围 1 2 3 4 5 若l1与l2中有一条直线的斜率不存在 则另一条直线的斜率为0 此时四边形的面积s 6 若l1与l2的斜率都存在 设l1的斜率为k 则直线l1的方程为y k x 1 设a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 消去y并整理得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 注意到方程 的结构特征和图形的对称性 1 2 3 4 5 令k2 t 0 1 2 3 4 5 5 2016 盐城三模 如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c 1 a b 0 的离心率为 直线l与x轴交于点e 与椭圆c交于a b两点 当直线l垂直于x轴且点e为椭圆c的右焦点时 弦ab的长为 解答 1 求椭圆c的方程 1 2 3