高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《二元一次不等式组与简单的线性规划问题》理 新人教A版.doc

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.考查形式：选择题或填空题2.命题角度：(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值(范围)，如2012年广东t5，新课标全国t14，山东t5等(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如2012年江西t8等(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如2012年陕西t14，福建t9等.归纳知识整合1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式axbyc0表示直线axbyc0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线不等式axbyc0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线(2)对于直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，使得axbyc的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合axbyc0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合axbyc0.(3)可在直线axbyc0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从ax0by0c的符号来判断axbyc0(或axbyc0)所表示的区域(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题探究1.点p1(x1，y1)和p2(x2，y2)位于直线axbyc0的两侧的充要条件是什么？提示：(ax1by1c)(ax2by2c)0.2可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一自测牛刀小试1(教材习题改编)不等式x2y60，代入x2y2得10，即点(1,1)在x2y20的内部，在xy10的内部，故所求二元一次不等式组为4下列各点中，与点(1,2)位于直线xy10的同一侧的是()a(0,0)b(1,1)c(1,3) d(2，3)解析：选c当x1，y2时，xy112120，当x1，y3时，xy113110，故(1,3)与(1,2)位于直线xy10的同侧5(2012广东高考)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()a3 b1c5 d6解析：选c变量x，y满足的不等式组表示的平面区域如图所示，作辅助线l0：x2y0，并平移到过点a(1，2)时，zx2y达到最小，最小值为5.二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(2012福建高考)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()a1b1c. d2自主解答如图所示：约束条件表示的可行域如阴影部分所示当直线xm从如图所示的实线位置运动到过a点的位置时，m取最大值解方程组得a点坐标为(1,2)，故m的最大值是1.答案b二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线axbyc0(b不为0)及点p(x0，y0)，则(1)若b0，ax0by0c0，则点p在直线的上方，此时不等式axbyc0表示直线axbyc0的上方的区域(2)若b0，ax0by0c0，则点p在直线的下方，此时不等式axbyc0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值(2)若b0时，求导得f(x)，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线方程为yx1，画图可知区域d为三角形，三个顶点的坐标分别为，(0，1)，(1,0)，平移直线x2y0，可知在点(0，1)处z取得最大值2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1不等式组所表示的平面区域的面积等于()a.b.c.d.解析：选c平面区域如图解得a(1,1)，易得b(0,4)，c，|bc|4.sabc1.2在平面直角坐标系xoy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：选c|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y轴的两个区域；|x|1表示x1所夹含y轴的带状区域3(2012天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x2y的最小值为()a5 b4 c2 d3解析：选b不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l0：3x2y0，结合图形可知，当直线3x2yz平移到过点(0,2)时，z3x2y的值最小，最小值为4.4若实数x，y满足则的取值范围是()a(0,2) b(0,2c(2，) d2，)解析：选d画出线性约束条件的可行域(如图)的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由得a(1,2)，故kkoa2.2.5(2012辽宁高考)设变量x，y满足则2x3y的最大值为()a20 b35c45 d55解析：选d作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线yx，易知直线经过可行域上的点a(5,15)时，2x3y取得最大值55.6(2013衡水模拟)点p(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点p(2，t)到直线3x4y100距离的最大值为()a2 b4c6 d8解析：选b画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)结合图形可知，点a到直线3x4y100的距离最大由得a点坐标为(2,1)，故所求最大距离为dmax4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_解析：根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得7a24.答案：(7,24)8(2013濮阳模拟)已知点a(2,0)，点p的坐标(x，y)满足则|cosaop(o为坐标原点)的最大值是_解析：|cosaop即为在上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值由可得交点的坐标为(5,2)，此时|cosaop取值最大，|cosaop的最大值为5.答案：59某公司租赁甲、乙两种设备生产a，b两类产品，甲种设备每天能生产a类产品5件和b类产品10件，乙种设备每天能生产a类产品6件和b类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产a类产品50件，b类产品140件，所需租赁费最少为_元解析：设租赁甲设备x台，乙设备y台，则设租赁费用为w，w200x300y.约束条件构成的平面区域如图：解得a(4,5)wmin200430052 300.答案：2 300三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10(2013合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合，xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)11设x，y满足约束条件求z(x1)2y2的最大值解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(x1)2y2可看作点(x，y)到点p(1,0)的距离的平方，由图象可知可行域内的点a到点p(1,0)的距离最大解方程组得a点的坐标为(3,8)，代入z(x1)2y2，得zmax(31)28280.12(2013黄山模拟)若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得a(3,4)，b(0,1)，c(1,0)平移初始直线xy0，过a(3,4)取最小值2，过c(1,0)取最大值1.z