高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.5 数学归纳法课件.ppt

6 5数学归纳法 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 第一个值n0 n k 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 考点自测 答案 解析 答案 解析 a n k 1时等式成立b n k 2时等式成立c n 2k 2时等式成立d n 2 k 2 时等式成立 答案 解析 答案 3 4 5 n 1 题型分类深度剖析 题型一用数学归纳法证明等式 证明 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 思维升华 证明 题型二用数学归纳法证明不等式例2 2016 烟台模拟 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 解答 证明 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 1 适用范围 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 关键 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 思维升华 跟踪训练2若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴的交点的横坐标 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 证明 题型三归纳 猜想 证明命题点1与函数有关的证明问题 解答 命题点2与数列有关的证明问题例4在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n n 0 1 求a2 a3 a4 解答 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 解答 命题点3存在性问题的证明 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 解答 所以当n k 1时结论成立 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n n 成立 证明你的结论 解答 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 思维升华 跟踪训练3 2015 江苏 已知集合x 1 2 3 yn 1 2 3 n n n 设sn a b a整除b或b整除a a x b yn 令f n 表示集合sn所含元素的个数 1 写出f 6 的值 解答 2 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 解答 典例 14分 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 证明 1 中的猜想 归纳 猜想 证明问题 答题模板系列5 1 由s1 a1算出a1 由an sn sn 1算出a2 a3 a4 观察所得数值的特征猜出通项公式 2 用数学归纳法证明 思维点拨 规范解答 答题模板 返回 返回 课时训练 1 如果命题p n 对n k k n 成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2也成立 则下列结论正确的是a p n 对所有正整数n都成立b p n 对所有正偶数n都成立c p n 对所有正奇数n都成立d p n 对所有自然数n都成立 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证法是a 假设n k k n 证明n k 1时命题成立b 假设n k k是正奇数 证明n k 1时命题成立c 假设n 2k 1 k n 证明n k 1时命题成立d 假设n k k是正奇数 证明n k 2时命题成立 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2016 淄博质检 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k 1成立时 总能推出f k 1 k 2成立 那么下列命题总成立的是a 若f 1 2成立 则f 10 11成立b 若f 3 4成立 则当k 1时 均有f k k 1成立c 若f 2 3成立 则f 1 2成立d 若f 4 5成立 则当k 4时 均有f k k 1成立 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 设数列 an 的前n项和为sn 且对任意的自然数n都有 sn 1 2 ansn 通过计算s1 s2 s3 猜想sn 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 设s1 12 s2 12 22 12 sn 12 22 32 n 1 2 n2 n 1 2 22 12 用数学归纳法证明sn 时 第二步从 k 到 k 1 应添加的项为 答案 解析 k 1 2 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 答案 解析 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1