高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

第二章推理与证明 2 3数学归纳法 1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点数学归纳法 问题导学新知探究点点落实 答案 对于一个与正整数有关的等式n n 1 n 2 n 50 0 思考1验证n 1 n 2 n 50时等式成立吗 答成立 思考2能否通过以上归纳出n 51时等式也成立 为什么 答不能 上面的等式只对n取1至50的正整数成立 1 数学归纳法的定义一般地 证明一个与n有关的命题 可按下列步骤进行 正整数 n k 1 答案 答案 返回 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 2 数学归纳法的框图表示 n n0 从n0开始所 n k n k 1 有的正整数 题型探究重点难点个个击破 类型一用数学归纳法证明等式 例1 1 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 从k到k 1 左端增乘的代数式为 2 2k 1 答案 反思与感悟 解析答案 左边 右边 等式成立 假设当n k k n k 1 时 等式成立 反思与感悟 解析答案 当n k 1时 等式成立 由 可知 对一切n n 等式成立 反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点 1 验证是基础 找准起点 奠基要稳 有些问题中验证的初始值不一定是1 2 递推是关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程中 要正确分析式子项数的变化 关键是弄清等式两边的构成规律 弄清由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 3 利用假设是核心 在第二步证明n k 1成立时 一定要利用归纳假设 即必须把归纳假设 n k时命题成立 作为条件来导出 n k 1 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 这是数学归纳法的核心 不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 反思与感悟 解析答案 左边 右边 所以当n 1时等式成立 假设当n k k n 时等式成立 即 解析答案 则当n k 1时 左边 当n k 1时等式成立 由 知 对一切n n 等式成立 类型二利用数学归纳法证明不等式 解析答案 反思与感悟 2 假设当n k时 不等式成立 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 所以当n k 1时不等式成立 由 1 2 知 不等式对一切n n 都成立 反思与感悟 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键 1 验证第一个n的值时 要注意n0不一定为1 若n k k为正整数 则n0 k 1 2 证明不等式的第二步中 从n k到n k 1的推导过程中 一定要用到归纳假设 不应用归纳假设的证明不是数学归纳法 因为缺少归纳假设 3 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 反思与感悟 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 4 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有比较法 分析法 综合法 放缩法等 解析答案 2 假设当n k k n k 1 时 不等式成立 解析答案 当n k 1时 不等式成立 由 1 2 知对于任意正整数n 不等式成立 类型三归纳 猜想 证明 解析答案 1 求a2 a3 解析答案 反思与感悟 2 猜想数列 an 的通项公式 并证明 解析答案 证明 当n 1时 由 1 可知等式成立 反思与感悟 sk 1 k 1 2k 1 ak 1 这就证明了当n k 1时命题成立 由 可知命题对任何n n 都成立 反思与感悟 反思与感悟 1 归纳 猜想 证明 的解题步骤 2 归纳法的作用归纳法是一种推理方法 数学归纳法是一种证明方法 归纳法帮助我们提出猜想 而数学归纳法的作用是证明猜想 观察 猜想 证明 是解答与自然数有关命题的有效途径 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 解析答案 解当n 1时 2 证明通项公式的正确性 解析答案 返回 证明 由 1 知 当n 1 2 3时 通项公式成立 假设当n k k 3 k n 时 通项公式成立 解析答案 返回 即当n k 1时 通项公式也成立 达标检测 1 2 3 4 1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 a n 1b n 2c n 3d n 4 c 解析由题意知 n的最小值为3 所以第一步验证n 3是否成立 解析答案 1 2 3 4 2 用数学归纳法证明 1 a a2 a2n 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得项为 a 1 ab 1 a a2c 1 a a2 a3d 1 a a2 a3 a4 c 解析答案 解析将n 1代入a2n 1得a3 故选c 1 2 3 4 3 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程如下 1 当n 1时 左边 1 右边 21 1 1 等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 则当n k 1时 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 所以当n k 1时等式也成立 由此可知对于任何n n 等式都成立 上述证明的错误是 解析答案 1 2 3 4 解析本题在由n k成立 证n k 1成立时 应用了等比数列的求和公式 而未用上假设条件 这与数学归纳法的要求不符 答案未用归纳假设 1 2 3 4 4 请观察以下三个式子 归纳出一般的结论 并用数学归纳法证明之 解析答案 1 2 3 4 证明 当n 1时 左边 3 右边 3 所以左边 右边 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 则当n k 1时 1 3 2 4 k k 2 k 1 k 3 解析答案 1 2 3 4 所以当n k 1时命题成立 由 知 命题成立 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点 1 验证是基础 找准起点 奠基要稳 有些