巧用配积法推广一类初中数学竞赛题.pdf

2 0 1 0年第 2期 9 巧用配积法推广一类初 中数学竞赛题 名 炙豪 华南师范大学数学科学学院 2 0 0 7级研究生 5 1 0 6 3 1 华南师范大学数学科学学 院 5 1 0 6 3 1 1 问题原解 中图分类号 0 1 2 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 2一 O 0 O 9 0 3 题 1 已知实数 o b O 令 一 L 鱼 一 l 0I I b l 1 0 b I 则 的最大值与最小值的和是 l 第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初 一 复赛 题 2 已知 8 b c 是非零实数 且 a 面 b 蠢 求 的值 口 题 1原解 按 n b中负数的个数 可 分三种情况 1 口 b均正 则 3 2 口 b一正一负 则 一1 3 n b均负 贝 0 一1 综上 的最大值为 3 最小值为 一1 故所求为 2 收稿 日期 2 0 0 9 0 5 2 2 题 2原解 j 考虑到 中 b c的 地 位平等 知 的值取决于两 个数积的符号 的值取决于三个数积的 I 口DC I 符号 故可按 a b C中正数的个数分类 1 当 n b c 均为正数时 M 7 2 当I 1 6 c 中有两个正数 一个负数时 0 b C I b I 口l l I l CI a b b n z a b c 丽 丽 丽一 l 丽 一 l 从而 M 一1 3 当口 6 c中有 个正数 两个负数时 口 c T T 一l b 1 0 l l I I eI n II b c c n a b c 面 丽 面一 1 面 l 从而 M 一1 4 当 口 b c 全为负数时 M 一1 综上 的值为 一1 或 7 j O C D O A B D C f 垤 1 若 D C A B 易得 ME MF NF 2 若 D C A B 则四边形 A B C D为梯 形 不妨设 D C0 l I 一1 3 元 再用上述的方法求解 其工作量 可想而知 本文介绍一种新 的方法 配积法 先 将原式化简 再进行讨论 进而得到更一般的 结论 2问题新解 2 1 配积 法介绍 注意到 t t Y t 2 t x 令 t 1 则 1 1 1 同理 1 1 1 1 z x y x y z 故 1 1 一1 Y x y z 1 1 y 1 z 一1 称式 所用的方法为配积法 形如 Y十x y Y z 十 x y z 的代数式 称做初等对称多项式的和式 简称 初等对称和式 式 给出的是二元和三元初等对称 和式的配积方法 进而推广到 n元初等对称 和式的配积方法如下 l 2 一 1 I f I i 2 i k 0 b 0 题 2 新 解 令 s 音 则 M x 1 2 3 l 2 3 x 3 x l l 2 3 1 1 1 2 1 3 一l 1 C 一 一1 a b c中至少有一个为负数 1 7 口 0 b 0 c 0 总结 用配积法解此类问题 可以简化 繁杂的分类讨论过程 揭示问题的本质 且更 容易将其推广 3问题推广 现给出与 7 元初等对称和式 l 2 一 一 J 一 I I 1 1 l i 2 i k n 对偶的一个定义 称 1 2 I 1 广 1 i n 为 n元初等对称交替和式 设 g l l X 2 客 I 篙 2 i I l h 吐 吐 n I il g 2 l 2 客 一 一l 1 il 2 1 1 i t Xi 窑 I n I再 一 I 则可得到以下两个对偶命题 2 0 1 0年第2期 命题1 g l l 2 f 1 l 中至 少有一个为 负数 l 2 一 l z I z 均 为 正 数 命题 2 g 2 l 2 f l l 中 至少有 一个为正数 l 2 均 为 负 数 命题 1的证明令 i 1 2 n 贝 g l 茹 l 2 Y l Y 2 一 Y i Y I 1 1 l i 2 i k 1 Y 1 1 y 2 1 一1 f l Y l Y 2 Y 中至 少有一个为一 1 2 一 l y l Y 2 Y n 均 为l f 一 1 2 中 至少有 一个为负数 2 一 l l 2 均 为 正 数 命题 2的证明换元方法如上 则 g 2 l 2 y l Y 2 1 Y i l Y i 2 Y 1 1 I i l f I n l 一 1 一 Y 1 一 Y 2 1 一Y f l y Y 2 中至 少有一个为1 I l 一 2 y l y 均 为一 l f l l 中 至少有 一个为正数 i l 一 2 2 it itX 均 为 负 数 推论式 中的每一个绝对值符号 无论在分子上 还是在分母上 结果一样 证明略 4 应用举例 例 1 设 A 击 备一 一 一 c d a b c 一一4 一上 l l l 6 c l I b dI I c dl I a b c l 一 旦 一 一 求 A的值 解根据命题 2有 一 卜 t 一 一 一 r 1 a b c 中至少有 个是正数 I 一 1 5 a b c d 均为负数 例 2 设 f a r一 一 ab c 丽 丽 丽 丽 丽一 a b d a c d b c d a b c d 一 一 一J 一 I a b dl l a c dl l b c dl f a b c dI 求 的值 解根据命题2 通过观察知 只要将例 1中的 b c 换成 一b 一 c即可 于是 曰 一 卜 一 番 f 1 口 d 6 c 中 至少有一 个是正数 负数 一 1 5 a d 均 为 负 数 且6 c 均 为 正 数 饲 3 已知 a b c 0 设 P 音 十 求 口 P 3 6 P 2 c P 2 0 0 9的值 解由 a b c o 得 一1 且 口 b c 中至少有一个负数 根据推论可以改变绝对 值符号的位置 则 音 十 啬 I 啬 啬 一 0 1 l 0 故 口 P 3