高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课件 理.ppt

第9节函数模型及其应用 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 函数模型应用常见的有哪三种情形 提示 1 利用给定的函数模型解决实际问题 2 建立确定性函数模型解决实际问题 3 建立拟合函数模型解决实际问题 2 应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些 提示 1 审题 2 建模 3 求模 4 还原 知识梳理 1 三种函数模型性质比较 递增 递增 递增 快 慢 2 几种常见的函数模型 ax b ax2 bx c 3 解函数应用问题的步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 拓展提升 1 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 2 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 3 总会存在一个x0 使得当x x0时 有logax xn ax 对点自测 b 1 若一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 则燃烧剩下的高度h cm 与燃烧时间t 小时 的函数关系用图象表示为 解析 根据题意得解析式为h 20 5t 0 t 4 其图象为b 2 某工厂生产a b两种成本不同的产品 由于市场发生变化 a产品连续两次提价20 b产品连续两次降价20 结果都以23 04元出售 若此时厂家同时出售a b产品各一件 则相对于没有调价时的盈亏情况是 a 不亏不赚 b 赚5 92元 c 赚28 96元 d 亏5 92元 d 3 导学号18702090已知函数t 144lg 1 的图象可表示打字任务的 学习曲线 其中t表示达到打字水平n 字 min 所需的学习时间 min n表示打字速度 字 min 则按此曲线要达到90字 min的水平 所需的学习时间是 a 144min b 90min c 60min d 40min a 4 某市出租车的计价标准是4km以内 含4km 10元 超过4km且不超过18km的部分1 2元 km 超过18km的部分1 8元 km 不计等待时间的费用 如果某人乘车行驶了10km 他要付车费元 解析 设行驶路程为xkm 应付车费y元 由于4 x 18时 y 10 1 2 x 4 1 2x 5 2 因此当x 10时 y 17 2 答案 17 2 5 某自来水公司为净化水质 向一个游泳池加入某种化学药品 加药后池水中该药品的浓度c 单位 mg l 随时间t 单位 h 的变化关系为c 则经过h后池水中药品的浓度达到最大 答案 2 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 一次 二次函数模型 例1 导学号18702091某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段 已知跳水板ab长为2m 跳水板距水面cd的高bc为3m 为安全和空中姿态优美 训练时跳水曲线应在离起跳点a处水平距hm h 1 时达到距水面最大高度4m 规定 以cd为横轴 bc为纵轴建立直角坐标系 1 当h 1时 求跳水曲线所在的抛物线方程 2 若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到比较好的训练效果 求此时h的取值范围 解 由题意 最高点为 2 h 4 h 1 设抛物线方程为y a x 2 h 2 4 1 当h 1时 最高点为 3 4 方程为y a x 3 2 4 将点a 2 3 代入 式得a 1 即所求抛物线的方程为y x2 6x 5 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数 这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来 同时注意实际问题的函数定义域 指定的 根据实际意义的 一般不是由求出的函数解析式确定的 反思归纳 即时训练 导学号18702092如图 大海中的两艘船 甲船在a处 乙船在a处正东50km的b处 现在甲船从a处以20km h的速度向正北方向航行 同时乙船从b处以10km h的速度向正西方向航行 则经过h后 两船相距最近 答案 1 考点二 指 对数函数模型 解 1 设投资人购买的股票价格为m 经历一个涨停后价格为m 1 10 1 1m 又经历一个跌停后价格为1 1m 1 10 0 99m m 所以投资人有一定的亏损 例2 证券交易所规定 股票交易价格每日的涨跌幅均不得超过前一日收盘价的10 当日涨幅达到10 称为涨停 跌幅达到10 称为跌停 1 某投资人购买的股票先经历了一个涨停 又经历了一个跌停 分析该投资人盈亏情况 2 如果他希望自己的股票在资金上翻番 至少要等多少个交易日以后 lg1 1 0 0414 lg2 0 3010 一般地 涉及增长率问题 利息问题 细胞分裂问题等 都可以考虑用指数函数模型求解 求解时注意指数式与对数式的互化 指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 反思归纳 即时训练 2016 四川卷 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年 b 2019年 c 2020年 d 2021年 解析 经过n年资金开始超过200万元 则130 1 12 n 200 得n 3 8 即到2019年 故选b 例3 2016 辽宁沈阳东北育才学校高三上二模 某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间 上市初期价格呈现上涨态势 中期价格开始下降 后期价格在原有价格基础之上继续下跌 现有三种价格变化的模拟函数可供选择 f x p qx f x px2 qx 7 f x logq x p 其中p q均为常数且q 1 注 x表示上市时间 f x 表示价格 记x 0表示4月1号 x 1表示5月1号 以此类推x 0 5 1 在上述三个价格模拟函数中 哪一个更能体现该种水果的价格变化态势 请你选择 并简要说明理由 考点三 函数模型的选择 解 1 根据题意 该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减 基本符合开口向下的二次函数变化趋势 故应该选择 f x px2 qx 7 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 1 若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象 可结合图象特征选择 2 当研究的问题呈现先增长后减少的特点时 可以选用二次函数模型y ax2 bx c a b c均为常数 a0 3 对数函数 底数大于1时 增长越来越慢 而指数函数 底数大于1时 增长越来越快 反思归纳 即时训练 某商场为了解商品的销售情况 对某种电器今年一至五月份的月销售量q x 台 进行统计 得数据如下 根据表中的数据 你认为能较好地描述月销售量q x 台 与时间x 月份 变化关系的模拟函数是 a q x ax b a 0 b q x a x 4 b a 0 c q x a x 3 2 b a 0 d q x a bx a 0 b 0 且b 1 解析 观察数据可知 当x增大时 q x 的值先增大后减小 且大约是关于q 3 对称 故月销售量q x 台 与时间x 月份 变化关系的模拟函数的图象是关于x 3对称的 显然只有选项c满足题意 故选c 备选例题 例1 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多长时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 例2 某单位有员工1000名 平均每人每年创造利润10万元 为了增加企业竞争力 决定优化产业结构 调整出x x n 名员工从事第三产业 调整后他们平均每人每年创造利润为10 a 万元 a 0 剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0 2x 1 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润 则最多调整出多少名员工从事第三产业 解 1 由题意得10 1000 x 1 0 2x 10 1000 即x2 500 x 0