高三数学一轮复习 第十一章 统计、统计案例 第三节 变量间的相关关系、统计案例课件 理.ppt

理数课标版 第三节变量间的相关关系 统计案例 1 两个变量的线性相关 1 正相关在散点图中 点散布在从 左下角到 右上角的区域 对于两个变量的这种相关关系 我们将它称为正相关 2 负相关在散点图中 点散布在从 左上角到 右下角的区域 对于两个变量的这种相关关系 我们将它称为负相关 3 线性相关关系 回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近 就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 教材研读 4 最小二乘法求回归直线 使得样本数据的点到它的 距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法 5 回归方程方程 x 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 的回归方程 其中 是待定参数 2 回归分析 1 回归分析是对具有 相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 2 样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 我们知道 称为样本点的中心 3 相关系数 当r 0时 表明两个变量 正相关 当r 0时 表明两个变量负相关 r的绝对值越接近于1 表明两个变量的线性相关性越强 r的绝对值越接近于0 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系 通常 r 大于或等于0 75时 认为两个变量有很强的线性相关性 3 独立性检验 1 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类别 像这类变量称为分类变量 2 列联表 列出两个分类变量的频数表 称为列联表 假设有两个分类变量x和y 它们的可能取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称为2 2列联表 为 则可构造一个随机变量k2 其中n a b c d为样本容量 3 独立性检验利用独立性假设 随机变量k2来确定是否有一定把握认为 两个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验 1 观察下列各图 其中两个变量x y具有线性相关关系的图是 a b c d 答案c由散点图知 中x y具有线性相关关系 2 四名同学根据各自的样本数据研究变量x y之间的相关关系 并求得回归直线方程 分别得到以下四个结论 y与x负相关且 2 347x 6 423 y与x负相关且 3 476x 5 648 y与x正相关且 5 437x 8 493 y与x正相关且 4 326x 4 578 其中一定不正确的结论的序号是 a b c d 答案d由回归直线方程 x 知当 0时 y与x正相关 当 0时 y与x负相关 一定错误 故选d 3 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中 下列说法正确的是 a 若k2的观测值为k 6 635 我们有99 的把握认为吸烟与患肺病有关系 那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病b 如果由独立性检验可知 有99 的把握认为吸烟与患肺病有关系 那么我们说某人吸烟 他有99 的可能患有肺病c 若从统计量中求出有95 的把握认为吸烟与患肺病有关系 则说明还有5 的可能性使得推断出现错误d 以上三种说法都不正确答案c有95 的把握认为吸烟与患肺病有关系 只能说明这个推断正确的可能性较大 这个推断还有5 的可能性是错误的 4 调查了某地若干户家庭的年收入x 单位 万元 和年饮食支出y 单位 万元 调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系 并由调查数据得到回归直线方程 0 254x 0 321 由回归直线方程可知 家庭年收入每增加1万元 年饮食支出平均增加万元 答案0 254解析由题意知回归直线的斜率为0 254 故家庭年收入每增加1万元 年饮食支出平均增加0 254万元 5 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系 现随机抽取50名学生 得到如下2 2列联表 已知p k2 3 841 0 05 p k2 5 024 0 025 根据表中数据 得到k2的观测值k 4 844 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 答案5 解析k2的观测值k 4 844 这表明小概率事件发生 根据假设检验的基本原理 应该断定 是否选修文科与性别之间有关系 成立 并且这种判断出错的可能性约为5 考点一相关关系的判断 考点突破 典例1某公司的科研人员在7块并排 形状和大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验 得到如下表所示的一组数据 单位 kg 1 画出散点图 2 判断施化肥量x与产量y是否具有相关关系 解析 1 散点图如图所示 2 由散点图知 各组数据对应点大致都在一条直线附近 所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系 方法技巧对两个变量的相关关系的判断有两种方法 一是根据散点图 若具有很强的直观性 则可直接得出两个变量是正相关或负相关 二是计算相关系数 这种方法能比较准确地反映其相关程度 相关系数的绝对值越接近于1 相关性就越强 相关系数就是描述相关性强弱的 1 1某公司在2016年上半年的收入x 单位 万元 与月支出y 单位 万元 的统计资料如下表所示 根据统计资料 则 a 月收入的中位数是15 x与y有正线性相关关系b 月收入的中位数是17 x与y有负线性相关关系c 月收入的中位数是16 x与y有正线性相关关系d 月收入的中位数是16 x与y有负线性相关关系答案c月收入的中位数是 16 收入增加支出增加 故x与y有正线性相关关系 1 2对变量x y有观测数据 xi yi i 1 2 10 得散点图 1 对变量u v有观测数据 ui vi i 1 2 10 得散点图 2 由这两个散点图可以判断 a 变量x与y正相关 u与v正相关b 变量x与y正相关 u与v负相关c 变量x与y负相关 u与v正相关d 变量x与y负相关 u与v负相关答案c由题图 1 可知y随x的增大而减小 各点整体呈下降趋势 故变量x与y负相关 由题图 2 知v随u的增大而增大 各点整体呈上升趋势 故变量v与u正相关 考点二回归方程的求法及回归分析典例2 2016课标全国 18 12分 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合y与t的关系 请用相关系数加以说明 2 建立y关于t的回归方程 系数精确到0 01 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量 附注 参考数据 yi 9 32 tiyi 40 17 0 55 2 646 参考公式 相关系数r 回归方程 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 解析 1 由折线图中数据和附注中参考数据得 4 ti 2 28 0 55 ti yi tiyi yi 40 17 4 9 32 2 89 r 0 99 4分 因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 6分 2 由 1 331及 1 得 0 10 1 331 0 10 4 0 93 所以 y关于t的回归方程为 0 93 0 10t 10分 将2016年对应的t 9代入回归方程得 0 93 0 10 9 1 83 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1 83亿吨 12分 方法技巧 1 回归直线 x 必过样本点的中心 2 正确运用计算 的公式进行准确的计算是求线性回归方程的关键 3 分析两变量的相关关系 可由散点图作出判断 若具有线性相关关系 则可通过线性回归方程预测变量的值 2 1从某居民区随机抽取10个家庭 获得第i个家庭的月收入xi 单位 千元 与月储蓄yi 单位 千元 的数据资料 算得xi 80 yi 20 xiyi 184 720 1 求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y bx a 2 判断变量x与y之间是正相关还是负相关 3 若该居民区某家庭月收入为7千元 预测该家庭的月储蓄 附 线性回归方程y bx a中 其中 为样本平均值 线性回归方程也可写为 x 解析 1 由题意知n 10 xi 8 yi 2 又lxx n 720 10 82 80 lxy xiyi n 184 10 8 2 24 由此得b 0 3 a b 2 0 3 8 0 4 故所求回归方程为y 0 3x 0 4 2 由于变量y的值随x值的增加而增加 b 0 3 0 故x与y正相关 3 将x 7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y 0 3 7 0 4 1 7 千元 考点三独立性检验典例3 2016江西九江模拟 某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关 先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分 采用百分制 剔除平均分在40分以下的学生后 共有男生300名 女生200名 现采用分层抽样的方法 从中抽取了100名学生 按性别分为两组 并将两组学生成绩分为6组 得到如下所示频数分布表 1 估计男 女生各自的平均分 同一组数据用该组区间中点值作代表 从计算结果看 数学成绩与性别是否有关 2 规定80分以上为优分 含80分 请你根据已知条件完成下面的2 2列联表 并判断是否有90 以上的把握认为 数学成绩与性别有关 附表及公式 k2 解析 1 易得两组学生数学成绩频率分布表如下 45 0 05 55 0 15 65 0 3 75 0 25 85 0 1 95 0 15 71 5 45 0 15 55 0 1 65 0 125 75 0 25 85 0 325 95 0 05 71 5 从男 女生各自的平均分来看 不能判断数学成绩与性别有关 2 由频数分布表可知 在抽取的100名学生中 男生组 中的优分有15人 女生组 中的优分有15人 据此可得2 2列联表如下 可得k2 1 79 因为1 79 2 706 所以没有90 以上的把握认为 数学成绩与性别有关 方法技巧 1 独立性检验首先要正确列出2 2列联表 并计算出k2的值 2 要注意观测值的临界值与概率间的对应关系 依据