高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 20 导数的综合应用课件 文.ppt

第三章导数及其应用 第20课导数的综合应用 课前热身 激活思维 1 ln3 2 选修11p83习题3改编 若做一个容积为256的方底无盖水箱 为使它的用料最省 全面积最小 则它的高为 4 3 选修22p35例1改编 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻折90 角 再焊接而成 则该容器的高为 cm时 容器的容积最大 解析 设容器的高为xcm 即小正方形的边长为xcm 该容器的容积为v 则v 90 2x 48 2x x 4 x3 69x2 1080 x 00 当10 x 24时 v 0 所以v在 0 10 上是增函数 在 10 24 上是减函数 故当x 10时 v最大 10 4 选修22p27习题15改编 如图 水波的半径以50cm s的速度向外扩张 当半径为250cm时 水波面的圆面积的膨胀率是 cm2 s 解析 设时间t对应的水波面的圆的半径为r 面积为s 则r 50t s r2 2500 t2 当r 250时 t 5 故s 2500 t2 5000 t 25000 cm2 s 第4题 25000 5 选修11p79例2改编 设计一种体积为v0的圆柱形饮料罐 为了使它的用料最省 则它的高为 1 最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表 知识梳理 f x min m f x max m f x max m f x min m f x g x min 0 f x g x max 0 f x min g x max f x min g x min f x max g x max f x max g x min 2 实际应用题 1 解题的一般步骤 理解题意 使用导数方法求解函数模型 根据求解结果回答实际问题 2 注意事项 注意实际问题的 实际问题中的函数多数是单峰函数 即在定义域内只有一个极值点的函数 这样的极值点也是 建立函数模型 定义域 最值点 课堂导学 利用导数研究函数的性质 例1 思维引导 1 条件 x 1为f x 的极大值点 目标 确定函数f x 的单调区间 方法 利用f 1 0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间 2 条件 使用c表达的函数解析式 目标 c的取值范围 方法 讨论函数的单调性和极值点 根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件 1 因为x 1为f x 的极大值点 所以c 1 当00 当1c时 f x 0 所以f x 的单调增区间为 0 1 c 单调减区间为 1 c 图 1 图 2 图 3 精要点评 本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想 在定义域区间端点函数值达到无穷大 有两个极值点的函数类似三次函数 当其中两个极值都大于0或者都小于0时函数只有一个零点 当其中一个极值点等于0时函数有两个零点 当极大值大于0 极小值小于0时有三个零点 如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的 还要结合端点值和极值的情况进行综合比较 2016 苏州期末 已知函数f x ex 2x 1 ax a a r 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间 2 若存在实数x 满足f x 0 求实数a的取值范围 若有且只有唯一整数x0 满足f x0 0 求实数a的取值范围 变式 解答 1 当a 1时 f x ex 2x 1 x 1 f x ex 2x 1 1 令f x 0 则x 0 当x 0 时 ex 1 2x 1 1 所以f x 0 所以函数f x 在 0 上单调递增 当x 0 时 0 ex 1 2x 1 1 所以f x 0 所以函数f x 在 0 上单调递减 故函数f x 的单调增区间为 0 单调减区间为 0 2 由f x 0得ex 2x 1 a x 1 当x 1时 不等式显然不成立 由 知 当aa 又g x 在 0 上单调递增 在 0 1 上单调递减 且g 0 1 a 已知函数f x 2x2 g x alnx a 0 若不等式f x g x 恒成立 求a的取值范围 思维引导 条件 已知函数f x g x 的解析式 目标 在不等式f x g x 恒成立时求参数a的取值范围 方法 构造函数f x f x g x 只要函数f x 在 0 上的最小值大于0即可得参数a的不等式 解此不等式即得所求 导数在研究方程 不等式中的应用 例2 精要点评 含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型 解决这类试题的基本思想是转化思想 即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题 根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式 即得到了参数的取值范围 2016 苏州期中 已知函数f x x2 2ax 1 1 若函数g x loga f x a a 0 a 1 的定义域是r 求实数a的取值范围 变式1 变式2 利用导数解决实际生活中的优化问题 例3 1 求y关于x的函数解析式 并写出x的取值范围 2 求n m的最大值及相应的x的值 思维引导 1 在 aob中 由余弦定理可建立x y的关系式 又由x y 0确定x的取值范围 2 把n m表示成x的函数 再用基本不等式的方法求出函数的最大值 例3 精要点评 本题第 2 问也可使用导数法求最值 2016 扬州一模 某隧道设计为双向四车道 车道总宽20m 要求通行车辆限高4 5m 隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分 建立如图所示的平面直角坐标系xoy 1 若最大拱高h为6m 则隧道设计的拱宽l是多少 备用例题 备用例题 课堂评价 1 2015 启东调研 做一个圆锥形的漏斗 其母线长为20cm 要使其体积最大 则高应为 cm 2 2015 全国卷 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 且当x 0时 xf x f x 0成立的x的取值范围是 1 0 1 第3题 4 已知函数f x x 1 alnx 其中a为参数 1 求函数f x 的单调区间 2 若对任意x 0 都有f x 0恒成立 求实数a的取值集合 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 由题意得 当x 0 时 f x min 0 当a 0时 由 1 知f x 在 0 上是增函数 当x 0时 f x 故不合题意 当a 0时 由 1 知f x min f a a 1 al