2017届高三数学二轮复习1.4.1等差数列等比数列课时巩固过关练理.docx

课时巩固过关练 十 等差数列、等比数列(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2016太原二模)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a6等于()A.-2B.-4C.0D.2【解析】选D.由题意(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,所以a6=-8+25=2.【加固训练】(2016承德二模)在等比数列an中,若公比q=4,S3=21,则该数列的通项公式an=()A.4n-1B.4nC.3nD.3n-1【解析】选A.设等比数列an的首项为a1,由公比q=4,S3=21得,=21,所以a1=1,则an=4n-1.2.(2016襄阳一模)在等差数列an中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.600【解析】选B.由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87得,a1+a20=30,所以S20=300.3.(2016湛江一模)已知数列an是公比为2的等比数列,数列bn是公差为3且各项均为正整数的等差数列,则数列abn是()A.公差为5的等差数列B.公差为6的等差数列C.公比为6的等比数列D.公比为8的等比数列【解析】选D.由数列an是公比为2的等比数列,可得an=a12n-1.由数列bn是公差为3且各项均为正整数的等差数列,所以bn+1-bn=3,所以数列是公比为8的等比数列.4.(2016福州一模)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题可得所以a0,b0,不妨设ab,所以等比数列为a,-2,b或b,-2,a从而得到ab=4=q,等差数列为a,b,-2或-2,b,a从而得到2b=a-2,两式联立解出a=4,b=1,所以p=a+b=5,所以p+q=5+4=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016衡阳一模)数列an是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列bn的相邻三项.若b2=5,则bn=_.【解析】因为an是公差不为零的等差数列,设公差为d,并且a5,a8,a13是等比数列bn的相邻三项,所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),所以a5=d,所以公比q=,因为b2=5,q=,所以b1=3,所以bn=b1qn-1=3.答案:36.(2016商丘一模)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6=_.【解析】设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:4三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016合肥二模)已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn+1=2Sn+2n+1(nN*),且a1=1.(1)求证:an+2是等比数列.(2)求Sn.【解析】(1)当n2时,因为Sn+1=2Sn+2n+1(nN*),所以an+1=Sn+1-Sn=(2Sn+2n+1)-(2Sn-1+2n-1)=2an+2,所以an+1+2=2(an+2),即=2(n2),因为a1=1,所以a1+a2=2a1+3,所以a2=a1+3=4,所以a1+2=3,a2+2=6,所以=2,所以数列an+2是以3为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知an+2=32n-1,所以an=32n-1-2,所以Sn=3(1+2+22+2n-1)-2n=3-2n=32n-2n-3.8.(2016天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=-，nN*，求证：数列cn是等差数列.(2)设a1=d，Tn=，nN*，求证：.【解题导引】(1)利用等差数列的定义求证.(2)利用bn是an和an+1的等比中项化简并得出Tn的通项公式，然后利用裂项法求证结论.【证明】(1)cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值.所以为等差数列.(2)Tn=(-1)kbk2=c1+c3+c2n-1=nc1+4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2，将c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1)，所以=0,(an+1-Sn)2=Sn+1Sn且a1=2,则an=_.【解题导引】利用(an+1-Sn)2=Sn+1Sn,可得Sn是以2为首项,4为公比的等比数列,求出Sn,再利用n2时,an=Sn-Sn-1,即可得出结论.【解析】因为(an+1-Sn)2=Sn+1Sn,所以(Sn+1-2Sn)2=Sn+1Sn,所以(Sn+1-Sn)(Sn+1-4Sn)=0,因为an0,所以Sn+1-4Sn=0,因为a1=2,所以Sn是以2为首项,4为公比的等比数列,所以Sn=22n-1,n2时,an=Sn-Sn-1=64n-2,因为a1=2,所以an=答案:三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知数列an满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1an-1.(1)证明:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)(an+1-1)(an-1)=3(an-1)-(an+1-1),所以-=,即bn+1-bn=,所以数列bn是等差数列.(2)因为b1=1,所以bn=n+,an-1=,所以an=.8.设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*).(1)求证:Sn-3n是等比数列.(2)若an为递增数列,求a1的取值范围.【解析】(1)因为an+1=Sn+3n(nN*),所以Sn+1=2Sn+3n,所以Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).因为a13,所以数列Sn-3n是公比为2,首项为a1-3的等比数列.(2)由(1)得Sn-3n=(a1-3)2n-1,所以Sn=(a1-3)2n-1+3n,n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1.因为an为递增数列,所以n2时,(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1,所以n2时,2n-20,所以a1-9.因为a2=a1+3a1,所以a1的取值范围是a1-9.【加固训练】已知数列an中,a1=1,an+an+1=2n (nN*),bn=3an.(1)试证明数列是等比数列,并求数列bn的通项公式.(2)在数列bn中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由.(3)试证在数列bn中,一定存在满足条件1r0,4(-1)k-1=-4r1,且s,r为正整数,所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列;若sr+2,在(*)式中,左端2s-