【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）新人教A版 (1).doc

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1直线4kx4yk0与抛物线y2x交于a，b两点，若|ab|4，则弦ab的中点到直线x0的距离等于()a. b2 c. d4解析直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x24，故x1x2，则弦ab的中点的横坐标是，弦ab的中点到直线x0的距离是.答案c2设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()a. b. c. d.解析由于直线与椭圆的两交点a，b在x轴上的射影分别为左、右焦点f1，f2，故|af1|bf2|，设直线与x轴交于c点，又直线倾斜角的正切值为，结合图形易得tan ，故|cf1|cf2|f1f2|2c，整理并化简得b2(a2c2)ac，即(1e2)e，解得e.答案c3抛物线y22px与直线2xya0交于a，b两点，其中点a的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为f，则|fa|fb|的值等于()a7 b3 c6 d5解析点a(1,2)在抛物线y22px和直线2xya0上，则p2，a4，f(1,0)，则b(4，4)，故|fa|fb|7.答案a4设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e，过f2的直线与双曲线的右支交于a，b两点，若f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，则e2()a12 b42c52 d32解析如图，设|af1|m，则|bf1|m，|af2|m2a，|bf2|m2a，|ab|af2|bf2|m2am2am，得m2a，又由|af1|2|af2|2|f1f2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252，故应选c.答案c5已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x交于a，b两点，f为抛物线c的焦点，若|af|2|bf|，则k的值是()a. b. c2 d.解析法一据题意画图，作aa1l，bb1l，bdaa1.设直线l的倾斜角为，|af|2|bf|2r，则|aa1|2|bb1|2|ad|2r，所以有|ab|3r，|ad|r，则|bd|2r，ktan tanbad2.法二直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点f(2,0)，由可得ky28y16k0，因为|fa|2|fb|，所以ya2yb.则yayb2ybyb，所以yb，yayb16，所以2y16，即yb2.又k0，故k2.答案c6过双曲线1(a0)的右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是()a(，5) b(，) c(1，) d(5,5)解析令b，c，则双曲线的离心率为e，双曲线的渐近线的斜率为.据题意，23，如图所示，23，5e210，eb0)，f(，0)为其右焦点，过f垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆c的方程为_解析由题意，得解得椭圆c的方程为1.答案19过椭圆1(ab0)的左顶点a且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为m，与y轴的交点为b，若|am|mb|，则该椭圆的离心率为_解析由题意知a点的坐标为(a,0)，l的方程为yxa，b点的坐标为(0，a)，故m点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2，c22b2，e.答案10已知曲线1(ab0，且ab)与直线xy10相交于p，q两点，且0(o为原点)，则的值为_解析将y1x代入1，得(ba)x22ax(aab)0.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10，即2a2ab2aab0，即ba2ab，所以2.答案2三、解答题11在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的a，b两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点(1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点12给出双曲线x21.(1)求以a(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点a(2,1)的直线l与所给双曲线交于p1，p2两点，求线段p1p2的中点p的轨迹方程；(3)过点b(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点q1，q2，且b是q1q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由解(1)设弦的两端点为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设p(x，y)，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于p1，p2，p，a四点共线，得，由可得，整理得2x2y24xy0，检验当x1x2时，x2，y0也满足方程，故p1p2的中点p的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的13在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2y21.(1)过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积(2)设斜率为1的直线l交c1于p、q两点若l与圆x2y21相切，求证：opoq.(3)设椭圆c2：4x2y21.若m、n分别是c1、c2上的动点，且omon，求证：o到直线mn的距离是定值(1)解双曲线c1：y21，左顶点a，渐近线方程：yx.不妨取过点a与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为s|oa|y|.(2)证明设直线pq的方程是yxb.因为直线pq与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设p(x1，y1)、q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故opoq.(3)证明当直线on垂直于x轴时，|on|1，|om|，则o到直线mn的距离为.当直线on不垂直于x轴时，设直线on的方程为ykx，则直线om的方程为yx.由得所以|on|2.同理|om|2.设o到直线mn的距离为d，因为(|om|2|on|2)d2|om|2|on|2，所以3，即d.综上，o到直线mn的距离是定值14在圆x2y24上任取一点p，过点p作x轴的垂线段，d为垂足，点m在线段pd上，且|dp|dm|，点p在圆上运动(1)求点m的轨迹方程；(2)过定点c(1,0)的直线与点m的轨迹交于a，b两点，在x轴上是否存在点n，使为常数，若存在，求出点n的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设p(x0，y0)，m(x，y)，则x0x，y0y.p(x0，y0)在x2y24上，xy4.x22y24，即1.点m的轨迹方程为1(x2)(2)假设存在当直线ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)