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具有圆形流动通道的平板热交换器中的共轭传热及其最佳结构的分析H. M. Soliman M. M. Rahman摘要 本文建立了一种对于具有循环嵌入式通道的平板热交换器的共轭热传导的分析方法，该法是在设定的圆管和不均匀的管边界热流的条件下完成的，其结果适用于直径为50m或者直径大于50m的具有大的长径比的冷凝管。这种热交换器的热力学特性已经经过了大范围的相关独立参数的验证，并提出了对三组结束条件的优化设计，结果发现：随着管与加热表面以及管与管之间距离的增大，其热阻也逐渐增强。在已知管长度和管与管之间的距离的情况下，我们可以计算出一个确定的管直径，在这个直径下，其热阻值是最小的。符号列表An, Bn, Cn, Dn 级数解系数，n = 0,1, 2, 3,., NB0, C0 级数解系数Cp 比热，J/kg KF 摩擦系数H 管离上表面的深度，mH* 无尺寸的管深度k 导热系数，W/m KL 板厚度，m 板长度，mM 管子数mT 总质量流率,kg/sN 系列中的条款数P 压力，PaPT 泵功率，Wq 上表面的输入热通量，W/m2qi 固-热界面的热通量，W/m2R 无量纲的纵向坐标r 径向坐标，mr0 管的半径，mr*0 无量纲的管半径Re 雷诺数T 温度，KU 液体的无量纲轴向速度u 液体的轴向速度，m/sum 液体的平均轴向速度，m/sW 管与管之间中心距离的一半，mW* 管与管之间的无量纲距离WT 板的总宽度，mX,Y,Z 无量纲（笛卡尔）坐标x,y,z 笛卡尔坐标，m希腊字母 总的热阻，K/W 依赖于几何的热阻部分，K/W* 无量纲热阻 无量纲温度 动态粘滞度，N s/m2 流体密度，kg/m3 角坐标，rad下标1 区域12 区域23 区域3ave 平均值b 体积f 流体i 固-液界面in 热交换器的输入量out 热交换器的输出量s 固体引言 为了满足电子设备中集成电路的快速发展，我们需要不断地研究热量排出的方法，然而，更快的电路循环和容量的增加必然导致每条电路功率损耗的增加和单位体积电路数量的增加，其结果就是增加了组装时芯片，组件和系统的功率密度。因为固态组件的预期寿命和可靠性在很大程度上依赖于它的运行温度，因此就需要一个有效的制冷系统维持其在限制温度范围之内，虽然很多技术都可以提供充分的降温，但是镶嵌在固体底板中的微孔道或微管由于其简便和相对更低的热阻而具有很好的应用前景。由Tuckerman 和 Pease首先提出的硅衬底的主要部分是一个小型的水冷式的散热器，Philips用磷化铟作为基底用同样的散热器报道了更多实验数据，许多其他研究也证实了微孔散热器的应用。Wang和Peng报道了在长方形的微孔道中进行水或甲醇的单向强制对流的实验数据，这些孔道的水力直径在311747m之间，当雷诺数在10001500之间时，其间发生的是湍流对流，这种对流主要取决于液体温度，流速和孔道大小。在后面的两项研究中，Peng和Peterson做了进一步的测定来描述热物理学特性和几何参数对它的影响。Tso和Makulikar研究了微孔道热传导对流中的层流-湍流过度，并用布林克曼数和雷诺数描述了得到的实验数据。Browers和Mudawar的研究表明，在微孔道中用相变的方法可以得到很高的传热速率。然而，该系统在运行的时候接近其临界热通量，这就导致其具有不稳定性，因为不能用于工程中。除了实验测定以外，还做了许多理论研究以供我们了解微孔道长方形横截面的共轭热传导的基本原理，Weisberg et al.研究了整合在硅基板中的冷凝管的热阻，为了保证管道尺寸的选择与运行条件相一致，他们设计了一种平板热交换器，该交换器包括一个组装有硅片并由硼硅酸玻璃包裹着的长方形微孔道。Ambantipudi和Rahman提出了一种应用于长方形微孔道共轭热传导中的三维数值模拟模型，并做了准数变化趋势和雷诺数，比表面积以及邻近管道之间距离的研究。Fisser和Torrance用数字研究了具有凸横截面和普通制冷通道的实体中的共轭热传导，对通道边界曲率对总热传导的影响进行了量化，并且确定了在给定的压力差和泵条件下的最优通道结构。Fedorov和Viskanta在数学上解决了传统的长方形微孔道散热器固壁上共轭热传导的斯托克斯能量方程，并证实了他们的理论结果和Kawano et al.对于水力直径大约为87m的具有长方形横截面的硅底板微孔道热交换器的压力差和传热的实验结果能够很好地吻合。关于圆形微管中液体流动和热交换的研究也有很多报导，Yu et al. 为了确定雷诺数大于2500，直径分别为19,52和102m的微孔的对流热传导特性而做了一项试验研究 ，结果发现，在低值情况下，准数跟大管的相关系数比较吻合，但是准数和雷诺数的增长速率比相关系数预测的更大。Adams et al.对直径为760m和1090m的微管中湍流对流热传导进行了试验研究，该研究用水作为测试液体，基于实验数据，在微管热传导中提出了一种新的相关系数。Adams et al.又将该研究扩展到非圆形管中，结果发现标准的湍流单相准数相关性只适用于水力直径大于1020m的管道。Mala和Li报道了直径在50254m之间的微管中水层流时的压力差的数据结果，在试验中，他们用的是石英玻璃和不锈钢管。就石英玻璃而言，在管径为101m或更大直至其雷诺数达到2000的时候，测定的压力梯度跟泊肃叶流理论相一致；不锈钢管的直径为152m或更大直至其雷诺数达到2000时，其压力梯度和标准理论很相符。本研究主要集中于对具有圆形流动通道的平板热交换器中共轭热传导的分析，这种热交换器在电子产品的制冷和道路融雪系统方面都有很广泛的应用。以前对平板散热器的研究绝大多数主要集中在长方形通道上面，只有有限的一部分研究是针对于圆形通道的，因此，对具有圆形通道的平板散热器的详细的理论研究对于我们理解其传热特性，验证其几何和性能参数对其运作的影响以及在不同条件下确定其最佳的几何形状是必要的。由文献中的信息可知，传统的动量和能量方程适用于直径在50m或50m以上的管道，但是，如果我们限定其流动方式为层流，该方程将适用于任意尺寸的管道，那这个方程也就会有更为广泛的应用，但是在该假设条件下，需要流动管道具有较大的长径比。2 分析假设平板热交换器具有圆形的长的液体流动管道，如图1所示，在板的上表面有均衡的热通量，而其下表面是隔热的，板的宽度为WT,厚度为L,长度（在液体流动方向）为,一块板中有M个尺寸相同的管道，管道半径为r0。图1 热转换器的示意图由于其对称性，我们只分析热交换器的一个截面，如图2所示，管离加热表面的高度为H,截面的宽度为W,以管轴为中心建立圆柱形坐标系来分析其对流热传导；以截面底部左角为中心建立笛卡尔坐标系来分析热交换器固体壁内的热传导，如图2所示，z为液流方向的坐标。由于其对称性，除了上表面具有均衡的热通量，管壁具有均衡的对流之外，其它外表面都是绝热的。横截面的几何外形可以由三个无量纲的量进行定义，它们分别是H*(=H/L),W*(=W/L)和r0*(=r0/W)。图2 用于分析的热转换器的横截面2.1 流体域为了简化分析中的问题，我们作了一下假设：（1）恒定的流体和固体性质；（2）管中液体的流动为层流；（3）忽略基底和流体之间的轴向传导。无量纲形式的动量方程如下所示：其中，R=r/r0，U=u/um, f =r0 (-dP/dz) / (um2)，Re=2umr0 /。在方程（1）中，压力梯度（dP/dz）在设定条件下假设是恒定的，方程（1）的解为将代入到质量方程中，我们可以得到f Re=16，因此，该方程变为能量方程的无量纲形式可表示如下：其中，=（T-Tb）/(q L/kf)，在公式（4）中，假设 ，那公式（4）的解如下所示：当=0和= 时，公式（5）中的解满足对称条件 ，当R=0时，f也是一定的，代入如下条件：我们得到，最终，我们得到2.2 固体域固体的能量方程如下：其中，X=x/L, Y=y/L, 为了得到完全符合能量方程和临界条件的解，我们将固体域分成三个区域，如图2所示。在区域1中，其解为 其中，Y1=1-H*,方程（8）满足方程（7）的解和以下临界条件：，X=0和X=W*；，Y=1。在区域3中，其解可以写成如下形式：其中，Y2=1-H*-2 r0*W*, 这个解满足方程（7）及以下临界条件：，X=0和X=W*；，Y=0。对于区域2，只有一个固定的临界条件，即，X=0。在其它三个边界条件下，该方程必须满足连续的温度和热通量，该区域中关于温度分布的一个可能的解可以表示如下： 方程（10）满足方程（7）的解和当X=0时上述的临界条件。另外，方程（10）保证了区域1.区域2和区域3各界面之间温度的连续，比如，当Y=Y1时，s,2 =s,1 ,当Y=Y2时，s,2=s,3 。方程（8）-（10）中的未知系数B0，C0，An,Bn,Cn 和Dn (总共（4N +2）个系数)，都由当Y=Y1 和Y=Y2 时热通量的连续性，以及固-液界面温度和热通量的连续性所决定。2.3 系数的估算方程（8）-（10）给出的温度分布必须满足以下条件：- 当Y=Y1 时连续的热通量：- 当Y=Y2时连续的热通量：- 固-液界面连续的温度：其中，固-液界面（管表面）定义为- 固-液界面连续的热通量，可以表示为：方程（11）-（13）和（15）当中，每个都适用于沿各自界面的一系列大小相同的点，NP。由此可以得出当4NP (4N+2)时，4NP对于(4N+2)个未知系数的线性代数方程，线性方程是用著名的最小二乘法得出的。一旦确定了未知的系数，方程中的就很容易确定，该方程需要的输入参数有H*,W* ，r0*和kf / ks，对于kf / ks =0的特殊情况，当An=Bn=Cn=Dn，B0=C0=11W*/(24)，且通过固体的温度恒定时，方程（11）-（15）满足其解。我们对不同组合的独立参数研究了N和NP对结果精确性的影响，对精确性的评估取决于B0和C0的值。注意，当Y =0时，平均温度是s,3 = C0，当Y =1时，s,1 = B0+kf / ks，我们可以看出这两个系数对于温度场的精确度具有非常大的作用。另外，从后面的介绍我们可以看出，B0是在计算散热器的热阻时唯一用到的系数，表1总结了不同几何形状（H*，W*，r0*）和不同材料特性（ks / kf）的管中N和NP 对B0和C0 的影响。这些结果表明这些级数解的收敛速度非常快，当N =10时，我们可以得到合理精确的解，为了确保结果有大于0.5%的精确度，所有的计算都是在N =20，NP =400时进行的。表1 不同几何形状（H*，W*，r0*）和不同材料特性（ks / kf）的管中N和NP 对B0和C0 的影响3 结果和讨论在三组不同的ks / kf 值即 ks / kf =243（表示硅-水），ks / kf =24.6（表示不锈钢-水），ks / kf =2.3（表示混凝土-水）下产生的结果。这些ks / kf 的值以及它们所代表的材质覆盖了热转换器在电子产品的制冷，工艺设备中的热传导和混凝土路面的温度控制方面的典型应用。另外，这些数值在热-电导比中提供了两个不同的数量级。3.1 温度分布两种不同尺寸热转换器的计算区域内等温线如图3和4所示，两种尺寸都符合ks / kf =24.6，两个等温图中相同等温线的值和连续的两条等温线之间的的值都是相等的，这些结果表明加热上表面附近在X方向的温度变化很小；然而，在流通管道周围的区域其等温线偏离了平滑的形状，同时，我们也可以看出通道上面的平板中温度变化幅度高于通道下面的温度变化幅度。固相中温度梯度的方向表明热量可以从顶部和底部进入到流体管道，因此，从表面输入的部分热量直接流入到管道的上部，而剩余的一部分热量通过旁路再返回到管道的下面。流体的等温线稍微偏离圆形，这种偏离在管道的外半径附近显得更为明显。图3 H*=0.3，W*=0.5，r0*=0.4，ks / kf =24.6的管道等温线图4 H*=0.1，W*=0.2，r0*=0.5，ks / kf =24.6的管道等温线另外我们发现，图3中平板的值大于图4中平板的值，固定板的厚度L值（这样温度就跟成比例），对应于相应的H*，W*，r0*，图3和图4的结果表明含大量小直径管道的平板的温度比含少量大直径管道的平板更低。不同几何形状和材质特性的管道的固-液界面的温度分布如图5-7所示，图5中，在保持其他参数（H*，r0*，ks / kf）不变的情况下，我们研究了W* 对其温度分布的影响，同时，我们还保持L不变，以保证（Ti-Tb）和i 之间成比例，从结果可以看出，在相同的r0*下，W* 的减小相当于管道直径和管道间距离的减小。因为热源位于热转换器的上表面，我们预计当管的圆周从=0到=180时，i 逐渐减小（如图5）。在该区域的两端，由于其对称性，其斜率为零，随着W* 的增大，i 的值显著增大，这跟图3和4中的结果是一致的，即热转换器中近距离的小直径管道的温度较低。从方程（6）可以看出，平均界面温度可以进行如下估算：，图5的结果跟这个值是一致的，我们还可以看到，在=0到=之间，i 的值随着W*的增大而增大。这是因为随着W*的增大，管道的阻碍能力也就越大。图5 H*=0.1， r0*=0.4，ks / kf =24.6时，不同W* 下i 的变化图6 H*=0.1，W*=0.1， ks / kf =24.6时，不同r0* 下i 的变化图7 H*=0.1，W*=0.5，r0*=0.5 时，不同ks / kf 下i 的变化图6表示的是在其它参数不变的情况下，i 随着r0* 的变化而变化的趋势，这些结果探究了在保持相同的管与管中心之间的距离的情况下，管道直径对i 的影响。图6表明随着管道半径与角度的增大，温度变化也随着增大，但是，平均界面温度不会随着r0* 的变化而变化，这个图表明，当管数固定时，更小的管道半径会在固-液界面引起更多的等温条件。图7代表的是i 随着ks / kf 的变化趋势，固定kf 以使（Ti-Tb）和i 之间成比例，图7的结果表明，由于固体中具有更小的热阻，随着固相热传导的增大，界面温度变得更均匀。对于为计算机芯片而设计的硅-水系统来说，热转换器沿着管的圆周都有恒定的温度，当热导率减小时，沿着管道圆周的界面温度有显著的变化，因此，在更小的热电导下，为了达到热转换器给定的热负载，就需要有较大的温度梯度。我们也研究了H* 对i 的影响，结果发现与其它参数相比，其影响很小。3.2 固-液界面的热通量固-液界面的局部热通量（qi）可以表示成如下的无量纲形式：其中，表示固-液界面的平均热通量，qi 的结果如图8-10所示，图8表示的是W* 对qi 的影响，当=0时，qi 的值达到最大，当=时，qi有最小，最大值和最小值之间的差别并不是很大，液也就是说，W* 对qi 的值没有明显的影响。图9表示的是在固定的管间距下，管半径对qi 的影响，qi 的圆周值随着管半径的减小而降低，在r0* 等于0.9的情况下，对应于具有小的管间距的大直径管道，与小管径的管道相比，qi 的角剖面图偏离了光滑的形状，而且在=0和=时，qi 的值相差较大。ks / kf 对qi 的影响如图10所示，如我们所料，固相中的热导率越大，其热通量的分布越均匀，因为此时固相中有更好的温度均一性。图8 H*=0.1， r0*=0.4，ks / kf =24.6,时，W*=对qi 的影响图9 H*=0.1，W*=0.1，ks / kf =24.6时，r0*对qi 的影响图10 H*=0.1，W*=0.5，r0*=0.5 时，ks / kf 对qi 的影响3.3 总热阻假设热交换器的长度为，那么它的总热阻通常定义如下：其中，bar表示x的平均值，=常数，那么我们可以将表示为其中，取决于其几何形状，取决于流量。我们主要看取决于几何形状的部分，定义如下：因此，我们可以用无量纲的热阻*进行计算并对几何参数进行优化，*的定义为利用公式（8），我们可以将*定义为在kf / ks =0的特殊情况下，平板的温度是均匀的，假设B0=11 W*/(24)，根据公式（21），热阻的最小值可以表示为*min=0.1459 W*。在ks / kf 的三个不同值下，*的值和大量的几何参数如图11-16所示，从图11我们可以看出，在ks / kf =2.3的情况下，对于所有的W*，*随着H* 单调递增，随着加热表面和管道上沿之间距离的增大，其热传递的传导途径会变大，其热阻就会随之增大。另外，含有大量小直径管的平板与含有少量大直径管的平板相比，其热阻较小，这个趋势和前面温度分布的结果是一致的。图12表示的是在ks / kf =2.3的情况下，对于不同的W*，*随着r0* 的变化，对于一个固定的管间距，随着管半径的增大，* 首先减小到一个最小值，然后随着管半径的进一步增加而增大，* 的最小值在r0* =0.3 时得到，随着管半径的增大，热交换器的固相区域被液相区域所取代，因此，热源和热接收器之间的传导距离减小，但是，固相区域内没有更多的空间允许温度的再分配。这两种作用的净结果是如图12所示，如我们所料，热阻的增大幅度随着管间距的增大而增加。图11 ks / kf =2.3，r0* =0.3时，* 随着H* 和W* 的变化趋势图12 ks / kf =2.3，H* =0.1时，* 随着r0* 和W* 的变化趋势ks / kf =24.6时，* 的值如图13和14所示，它们的趋势和图11和12中的趋势很相似，必须指出的是，随着ks / kf 的增大，* 对H* 的直线的斜率降低，* 随着的r0* 变化越来越不明显。图15和16表示当ks / kf =243时，H* 和r0* 的变化对* 基本上没有影响，而W* 的变化对其的影响依然很显著。我们可以看出，图11-16中W* 对* 的影响与前面所述的W* 对s 和i 的影响完全一致。图13 ks / kf =24.6，r0* =0.3时，* 随着H* 和W* 的变化趋势图14 ks / kf =24.6，H* =0.1时，* 随着r0* 和W* 的变化趋势图15 ks / kf =243，r0* =0.3时，* 随着H* 和W* 的变化趋势图16 ks / kf =243，H* =0.1时，* 随着r0* 和W* 的变化趋势3.4 最优结构不同的设计取决于所需要优化的物体的功能以及和它特殊应用相关的限制条件。本节内容中，我们将要描述如何将目前的分析运用到三种不同的设计模式中。在第一种情形中，假设我们的平板具有给定的尺寸（）和已知的固，液材料特性，我们的目的是在固定的管道数目的情况下，来确定一个r0值使* 最小，在这种情况下，我们可以直接利用图11-16中的结果来达到上述目的。比如，我们有一块混凝土板，其WT =1m，=5m，L =20cm，管道数目为10 ，其中的流体为水。在这种情况下，W= WT /2M=5cm，W* = W/ L =0.25，为了使热阻最小，假设H* =0.1；因为H*再小的话可能会引起结构上的问题。现在我们就探索在ks / kf =2.3，以及上述H* 和W* 值的条件下，能够使得* 具有最小值的r0* 的值。直接利用前面的分析结果可得r0* =0.28. r0 =1.4cm，* =0.1184。在第二种情形中，假设平板具有已知的几何形状和固液材料特性，那我们的目标是在固定的总热阻的条件下，确定M 和r0 的值以使泵功率PT最小。泵功率的公式表示如下：其中，P表示热转换器的压力差，它（在当前的层流条件下）可以表示为我们知道，用公式(20)中给出的* 的定义，我们可以写成将公式（23）和（24）代到公式（22）中，我们可以得到其中，。从下面的例子中我们可以看到整个过程：假设一个不锈钢的平板（WT =10cm，=50cm，L =2cm），在它上表面的热通量是均匀的，管道中用水冷却，我们希望得到的总热阻为=0.05K/W，要求我们确定管道的规格（M, r0 ）以使泵功率PT最小。利用300K时水的特性，我们得到ks / kf =24.6，H* 的值假设为0.1，需要一个求结过程。选定一个M值，这样我们就可以确定W 和W* 的值，确定了M值以后，利用前面的分析，对于每一个H*，W*，r0* 和ks / kf 的组合，用不同的r0* 的值来确定* 。和PT很容易从公式（25）中确定，这个研究过程在不同M值下进行，其中一个例子的结果如图17所示，当M=14，r0* =0.88时，PT值达到最小。图17 优化泵功率