【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第六章数列6.5数列的综合应用教学案 理.doc

6.5数列的综合应用1能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题2了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系1数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常数)(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项(第2项起)与它的前一项(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题1(2012北京高考)已知an为等比数列，下面结论中正确的是()aa1a32a2baa2ac若a1a3，则a1a2d若a3a1，则a4a22已知an，bn均为等差数列，且a28，a616，b24，b6a6，则由an，bn的公共项组成的新数列cn的通项公式cn()a3n4 b6n2c6n4 d2n23现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为()a9根 b10根 c19根 d21根4在数列an中，对任意自然数nn*恒有a1a2an2n1，则a1aaa_.5一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂一、等差、等比数列的综合问题【例1】已知等差数列an的前四项的和a460，第二项与第四项的和为34，等比数列bn的前四项的和b4120，第二项与第四项的和为90.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnanbn，且cn的前n项和为sn，求sn.方法提炼1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解请做演练巩固提升1二、数列在实际问题中的应用【例2】有一种零存整取的储蓄项目，在每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到期可以提出全部本金和利息，这是整取它的本利和公式如下：本利和每期存入的金额存期存期(存期1)利率(1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1%，到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1%，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少？方法提炼1解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力2等比数列中处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系特别强调：银行储蓄单利公式及复利公式分别是：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差模型复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比模型请做演练巩固提升3三、数列与解析几何、不等式的综合应用【例3】已知函数f(x)在(1,1)上有定义，f1，且满足x，y(1,1)时，f(x)f(y)f.(1)证明f(x)在(1,1)上为奇函数；(2)设数列xn中，x1，xn1，求用n表示f(xn)的表达式；(3)求证：当nn*时，恒成立方法提炼数列、函数、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选请做演练巩固提升4构造新数列解答数列问题【典例】 (12分)已知数列an的前n项和为sn，且满足a1，an2snsn1(n2)求证：sss.规范解答：an2snsn1(n2)，snsn12snsn1.两边同除以snsn1，得2(n2)，(2分)数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列(n1)d22(n1)2n.sn.(4分)将sn代入an2snsn1，得an(7分)s(n2)，s，当n2时，sss；(10分)当n1时，s.综上，sss.(12分)答题指导：1在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形2本题首先构造新数列，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决事实上：，也可以看成一个新构造：bn.1已知等差数列an的公差d0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数若a1d，b1d2，且是正整数，则q等于()a bc d2(2012北京高考)某棵果树前n年的总产量sn与n之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()a5 b7 c9 d113一辆邮政车自a城驶往b城，沿途有n个车站(包括起点站a和终点站b)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak(k1,2,3，n)(1)求a1，a2，a3；(2)邮政车从第k站出发时，车内邮袋共有多少个？4(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)参考答案基础梳理自测基础自测1b2c解析：设an的公差为d1，bn的公差为d2，则d12，d23.ana2(n2)22n4，bnb2(n2)33n2.数列an为6,8,10,12,14,16,18,20,22，数列bn为1,4,7,10,13,16,19,22，.cn是以10为首项，以6为公差的等差数列cn10(n1)66n4.3b解析：设堆成x层，得123x200，即求使得x(x1)400成立的最大正整数x，应为19.20010.42n13解析：a1a2an2n1，当n2时，a1a2an12(n1)1，两式作差得an2(n2)，当n1时，a11，a1a22a33ann122232n12n13.5243解析：第一天12只，第二天有a23a19只，第三天a33a227，故第n天为an3n，则a535243.考点探究突破【例1】 解：(1)由题意知，对数列an，可得：2d8.d4，a19.an4n5(nn*)由题意知，对数列bn，可得q3，则b13，bn33n13n(nn*)(2)由cnanbn(4n5)3n，sn9313321733(4n5)3n.两边同乘以3，得3sn93213331734(4n1)3n(4n5)3n1.两式相减，得2sn9343243343n(4n5)3n1274(4n5)3n12723n118(4n5)3n1，sn(4n3)3n19【例2】 解：(1)设每期存入的金额为a，每期利率为p，存期为n，则各期的利息之和为nap(n1)ap2apap，所以本利和为naa(元)(2)到第12个月底的本利和为1001 597.8(元)(3)设每月初应存入x元，则有x2 000，解得x125.2.所以每月初应存入125.2元【例3】 解：(1)证明：令xy0，得2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，得f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函数(2)f(x1)f1，f(xn1)fff(xn)f(xn)2f(xn)，数列f(xn)是以1为首项，以2为公比的等比数列f(xn)2n1.(3)证明：22，而22，当nn*时，恒成立演练巩固提升1c解析：因为q是小于1的正有理数，所以首先排除选项a，d.又，则将b，c选项中公比q的值逐一代入检验知，只有当q时，才是正整数，所以q.2c解析：结合sn与n的关系图象可知，前2年产量均为0，显然0为最小，在第3年第9年期间，sn的增长呈现持续稳定性但在第9年之后，sn的增长骤然降低，因为当n9时，的值为最大，故m的值为9.3解：(1)由题意得a1n1，a2(n1)(n2)12n4，a3(n1)(n2)(n3)123n9.(2)在第k站出发时，放上的邮袋共(n1)(n2)(nk)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共123(k1)个，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)knk(k1)k(k1)knk2(k1,2，n)，即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋个数为k