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多项式的除法1 带余除法定理1 （带余除法定理）设与是多项式，且，那么存在惟一的一对多项式与，使得 其中或者。叫做以除所得的商，叫做余式。定义1：在式中，当时，称整除，记为|，也称是的因式，或是的倍式。若，则称不整除。定理2 （余数定理）多项式除以所得余数为。推论1 |推论2 若,与是不同的整数,则|.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式有因式的充要条件是.多项式整除的基本性质:(1) 若|,|,则|(2) 若|,|,则|(3) 若|,则|,为任意多项式.(4) 若|,|,则,其中是不等于零的常数.2 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式,如果在数域内除形如和(为非零数)的因式(称为的平凡因式)外,无其它因式,则称在内不可约.若在内除平凡因式外,还有其它因式,则称在内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式不可约,而是任一多项式,那么,或者,或者|.(2) 如果多项式与的乘积能被不可约多项式整除,那么与中至少有一个被整除.定理4 数域上的次数大于零的多项式,如果不计零次因式的差异,那么可以惟一地分解为以下形式: 其中是的最高次项的系数,是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且是的重因式.【注】其中数域是指,或,或.关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式各项系数的最大公约数等于1,即;则称为本原多项式.引理 设,和都是整系数多项式并且,如果质数整除多项式的所有系数,那么至少有与这两个多项式之一,其所有的系数也都能被整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约.以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3 最大公因式定义4:如果两个多项式与同时被整除,那么叫做与的公因式.如果是与的公因式,并且与的所有公因式都整除,则叫做与的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式与的最大公因式就是惟一的,记为.两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式与的最大公因式为,那么存在多项式与,使以下等式成立: 定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素.显然,与互素.定理7 两个多项式与互素的充要条件是,存在多项式与,使 互素多项式的一些重要性质:(1) 若,则(2) 若|,则|.(3) 若|,|,则|.针对性训练1. 求除以所得的余式.解: |又 | |由此可知, 除以所得余式.这里,于是令,得,即.比较两端的实部和虚部,得.故所求余式为
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