带势估计的概率假设密度滤波的物理空间意义.pdf

物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n Vo 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 带势估计的概率假设密度滤波的物理空间意义冰 翟岱亮十 雷虎民 李海宁 张旭 李炯 ( 空军工程大学防空反导学院， 西安 7 1 0 0 5 1 ) ( 2 0 1 4年 6月 1 8日收到 ； 2 0 1 4年 7 月 2日收到修改稿 ) 为了便于人们深入理解带势估计的概率假设密度滤波， 本文在 Oz g u r E r d i n对随机集做 的物理空间假设 的基础上， 采用 B a y e s 公式和全概率公式对带势估计的概率假设密度滤波的迭代过程进行了推导 推导过程 详细明了， 推导结果与文献一致 这为带势估计的概率假设密度滤波在 目 标跟踪中的应用及性能改进提供 了 理论基础 关键词： 随机集， 概率假设密度滤波， 多目标跟踪 P AC S ： 0 2 5 0 E y ， 4 2 5 0 E x DOI ： 1 0 7 4 9 8 a p s 6 3 2 2 0 2 0 4 1 引 言 在 多 目标环境 中、由于 目标运 动、 出现、 消失 及衍生等过程 的存在，致使 目标 的状态和 数 目都 是随时间变化 的此外、由漏检、 虚警及量测误差 等 问题带 来 的量测信 息的不 确定 性也 给 目标 跟 踪带来很大 困难因此处理 多 目标跟踪 问题 的一 般 步骤是：首先， 对 量测信 息和 目标源进 行数据 关联 主要 的关联方法有最近邻方法 】 、 概率数据 关联及其改进算法 2 - 3 】 和 多假设跟踪及其改进算 法 (0 】 等； 然后， 采用单 目标跟踪算法对相 关联的量 测和 目标源进行滤波跟踪， 主要的滤波算法有卡尔 曼滤波及其扩 展算法 4 1 5 和粒子滤波及其扩展算 法 6 ， 等但 是，这些数据 关联算法 计算量 庞大， 缺乏实时性由Ma h l e r提 出的基于随机有限集理 论的概率假设密度 ( p r o b a b i l i t y h y p o t h e s i s d e n s i t y , P HD1 滤波采用 多 目标随机集概率分 布的一阶矩 ( 即P HD) 进行迭代运算， 将 复杂的多 目标状态 空 间问题转换为单 目标状态空间问题 I s 】 它有效避免 了数据关联 问题 在保证跟踪精度 的基础上， 极大 提高了算法实时性 航空科学基金( 批准号： 2 0 1 3 0 1 9 6 0 0 4 ) 资助的课题 十通讯作者E ma i l ： q u i e t z d l 1 2 6 t o m 2 0 1 4中国物理学会 Ch i n e s e Ph y s i c a l S o c i e t y 根据文献 f9 1 1 ， 由于在P H D滤波过程中需 要对 目标数 目进行泊松分布假设， 致使 P HD滤波 在 没 有 目标被 检测 到 时存在 目标漏 检 问题 为 此， Ma h l e r 1 2 】 提 出 了带 势估计 的PHD ( c a r d i n a l i z e d p r o b a b i l i t y h y p o t h e s i s d e n s i t y , CP HD 1 滤 波 算法， 它通过联合估计 目标随机集的 P HD和 目标 数 的概率 密度 函数， 放松 了对 目标数 目的泊松假 设， 改善 了跟踪性能但是 Ma h l e r 对 CP HD的推 导需要用到较 为复杂的点过程理论 、 集合论及泛 函 分析等， 不易理解 而在V _o 等解决了P H D C P H D 滤波 算法 的实现 问题后， 人们对它 的研 究大 多集 中在算法 的应用问题上 1 3 - 1 6 】 为了便于人们理解 C P HD滤波的原理 本文在 Oz g u r E r d i n c 所做工作 的基础上对 C P HD滤波进行了详细推导 2 理论基础 在多 目标跟踪系统中， 随机集是指集合中每个 目标的状态矢量( 即集合元素) 和目标数目( 即集合 维数1 均在变化的集合令 多 目标状态随机集表示 为 k= ，1 ， ， z ， )F( ) ( ) ， 其中， 免 ，i 表 示 南时刻第 i 个 目标的状态矢量： Nk 表示 k时刻状 2 202 04 1 t p ： w u l i x b i p h y a c c n 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 态随机集中的目标数 目； 多 目标观测随机集表示为 Z k= z k ，1 ， ， ， M )F( ) ， 其中， Z k ，J 表示 时刻第 J 个 目标的观测矢量， 考虑到虚警情况， Z k J 可能是来 自杂波的观测； 表示 k时刻观测到的 目标数 目； F( X ) 和F( ) 分别表示目标状态空间) ( 和观测空间砂上所有有限子集的集合 根 据 Oz g u r E r d i n对随机集 的物理 空间假设， 目标的存在区域 可 由无限个互不相交、 体积足够 小 的区域 V i 的并表示 9 , 1 0 】 这里假 设仇足够 小 以 至于每个 V 内最 多只能包含一个假 设为质点 的 目 标，目标 的状态值为 ； 一个 目标最多只能产生一 个量测值 定义指示 函数： 0 V 在 l， t中 目标不存 在 根据文献 1 1 ，当1V t I- 4 -0 时，区域V i 内的 P HD可定义为 D( x i ) 全 l i m ( 2 ) 满足 D ( ) = D ( x i ) 6 ( ) ， ( 3 ) i 式中， 6 为中心在 t 的Di r a c d e l t a函数 进而可得， P HD滤波过程可一致表示如下 预测：在不考虑衍生 目标的情况下， P HD滤波 的预测方程可 以表示为 r D k lk 一 1 ( z ) = 6 ( t ) +， ( z i I7 ) P s ( 1 ) J V X D k i lk 一 1 ( v ) d v ， ( 4 ) 式中， b ( x i ) 表示新生 目标的强度函数； ， ( t l ) 为 目标状态转移概 率密度 函数：目标 的存活概率为 P s ( t ) 更新：在 内来 自真实 目标 的观测 目标数 目 服从泊松分布假设 的条件下， P HD滤波更新方程 可 以表示为 D k lk (X i) ： (，(1 一 P D ( ) + 一、) D k ， = ( (1 一 P D ( ) + 一) ( t)， s = 1 c ( z ) +厂 ( Iy ) P D ( ) D k lk 一 1 ( ， y ) d 7 式中，目标的检测概率均为P D ( i ) ； f ( z I t ) 为似 然函数； c ( z ) 表示杂波点密度； 表示假设服从泊 松分布 的杂波数 目的均值 3 P H D滤波的目标漏检问题 根据文献 f l 1 ， 在 P HD滤波的更新 过程 中， 由 于量测 目标数 目受泊松分布假设约束， 导致 目标漏 检问题 即从 ( 5 ) 式可以看出， 当k时刻小区域 V t 内 的 目标没有被检测到时， 它的存在概率可表示为 P( ( ) =1 Iz ) ( 1 一P D ( ) ) JF ) ( ( ) =1 1z 一 ) ， ( 6 ) 而 时刻区域 V t 内的 目标真实存在概率为 P ( u k ( ) =1 I ) ( I P D ( t ) ) JF ) ( ( ) =l Iz ) 1 一P D ( t ) P( ( ) =1 Iz ) 比较( 6 ) 式和 ( 7 ) 式可知， P( ( ) ：l lglk ) P ( ( t ) ：l lZ ) ， 所以当没有目 标被检测到时， P HD滤波存在 目标漏检 问题 ( 5 ) 4 C P HD滤波的物理空间意义 根据文献， CP HD滤波的基本思想是联合估计 目标随机集 的P HD和 目标数 目的概率密度 函数， 考虑到 Oz g u r E r d i n对随机集 的物理空间假设， 即 根据 B a y e s 理论估计 目标存在情况 和 目标个数 帆 的联合后验概率 u k ： U ( ) ( 8 ) i 而联合后验概率P ( G， Iz ) 可以 表示为 P( u k ， 帆 Iz ) =P ( ， N k I ， z ) =P ( GIN k ， ， z _ 。 ) P ( N k lZ k ， z t ) ( 9 ) 所以， 在滤波过程中可 以对 和 帆 的后验概率分 别进行估计 4 1 预 测 这里， k时刻小区域 仇 内的预测 P HD与PH D 滤波过程中的预测P H D相同， 如 ( 4 ) 式所示 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n 。 V o 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 P k lk l ( n 1 可以表示为 P k lk - 1 ( n ) 全P ( N k =n l z f 一 ) =i p(b = n - i)( )I i=O n =t “ 一 P k - l lk - 1 (n f) (1 一 P s ) ) ， ( 1 0 ) 式 中， i 表示存活 目标个数； 6 表示 时刻新生 目标 个数； n 表示 一1 时刻 的 目标个数； P s 表示 目标 的平均存活概率， 它可 以表示为 P s ( j )p k - 1 l ( ) 式中， P k 一 1 一 1 ( ) 全P( U k 一 1 ( i ) ：1 I z ) ( 1 2 ) 4 2 更 新 我们知道， k时刻小区域 V 内被检测的 目标可 能来 自V i 内真实存在 的目标， 也可 能来 自杂波， 这 里首先定义 全 1 仇 中 的 目 标 被 检 测 到 ( 1 3 ) l 0 ， 中的 目标没有被检测到 根据B a y e s 公式， 由( 1 2 ) 式的定义方式可得 P k l k ( U ) ( P k lk - 1 ( = _ 1 ) ) P k lk - 1 ( ) =( (1 - + 坼 ) P k lk - 1 ( (14 ) 式中， ， ( ) ， ( Iz 一 ) ， 下同 同理， 根据 ( 1 0 ) 式的 定义方式可得 P k lk ( n ) ：p I 一 1 ( 礼 I ) = H ( 1 5 ) 假设 目标 的检测情况 与 目标 的个数 n及虚警 个数 c 相互独立， 虚警个数与 z 相互独立则根 据全概率公式可得 厂 ( l ， =0 ) = f ( Z k ， n , c l u ， = 0 ) c =On= O m oo =f ( Z lU i ， n ) c ， = 0 ) c =On=O P k ik 一 1 ( 几 ， c I ， =0 ) = f ( Z k iU ， n ) c ， = 0 ) P k l k 一 1 ( 几 ， C ， ) 一P k l k 一 1 ( ) =( f ( Z k lU i ， ， ： 0 ) 1 ) p (c )j ， p k Ik 一 ( 一 式中， m表示量测个数 由于虚警个数与 目标个数相互独立， 则 P k lk 一 1 ( J佗 ， C ) =p l 一 1 ( l佗 ) = 1 - P k lk - l ( U i )一( 1 7 ) 由 于 l i m P k I - I ( U i ) ( 1 8 ) 所以当lV i I _ 0 ， 将( 1 7 ) 式展开， 并忽略二阶以上高 次方项可得 p ( c ) n p k lk - 1 ( U i )( 1 9 ) 把( 1 9 ) 式代入 ( 1 6 ) 式可得 f ( Z k l ， ：0 ) =( ， ( l ， n 7 c ) = 0 ) n，P k l kl -一 ( n ) ，p ( c ) ( 2 。 ) ，p c u 物 理 学 报Ac t a Pl a y s S i n Vo 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 I ， n ， c ， =1 ) 1 p ( c ) ， (2 1 ) P k lk-l( U j ) p c ， ， ( ) =( f ( Z ln ) c ) ( n ) )p ( c ) ， ( 2 2 ) f ( Z k ln ) = f ( z k l ， c ) p ( c ) ( 2 3 ) 来 自目标的量测集概率 L z和来 自虚警的量测 集概率 分别表示为 式中， c 为量测来 自虚警的概率； L 为量测来 自目 标的概率， 可表示为 丽 P k Lk - I ( U ) ( 2 5 ) 、 假设 k 时刻 m个量测中有J 个量测来 自目标， mJ 个量测来 自虚警， 则 ( )蒹 ( 1 Lz cs cz 、z cs ：(，n _ 、 7 zk ( s ) ( 1 一P D ) 一卜 ， ， ( I ， 礼 ， C =m 】 ， n 二， ( ) l m 商 一 ( 1 一尸 D ) 一 ) 一 ( 一 ， ( 2 8 ) 式中， z ： =z 名 ) ； ， ( I t ) 为量测 来自目 标 的概率 f ( Z k lc =m) 一C z ( 2 9 ) 为简化表达式， 使 ( 1 4 ) 和( 1 5 ) 式中分式的分子 分母同除以f ( Z Ic =m) 得M 式； 把 ( 2 7 ) ， ( 2 8 ) 和 ( 2 6 ) 式分别代入 ( 2 0 ) ， ( 2 1 ) 和( 2 2 ) ， ( 2 3 ) 式得式； 然后再把 式代入 M 式可得 P k I ( U i ) ：( ( 一 脚 塑 + 1) ) ) = P k la - ( 其 中 式中， Z k ( S ) 表示 个来自目 标的量测集， 其选择概 测到的可能情况的数 目； 这里假设所有 目标 的检测 器 ( 量 ， (z 加 c ) ) p (c) ( ， ( )p 一 (n ) ) p (c) c - - 0n=0 一 Cz k =薹 (薹 ( ) 7 7 2 、 ( S ( k Z k Z S ( k Z 一 、 、 一m J 一 ， ， 。 。 一一 r -、 脚 L I I = 一 一 m ， 潮 n = ： Z Z 、l，、l ，l 、 I， r 1 物 理 学 报A c t a Ph y s S i n V o 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 I Z (s) I f 1 Lz (s)Cz z(s) C z P (1 - )n - Jp kfk_ l(n )、)p cc = =p ( c J ：O 式中， f ， 厶 、n= 2 ( P D C 1 C m P D )州 ) ( 3 2 ) a j (y l ， ， y m ) ： Y il Y i 。 Y iJ 1 t 1 i 2 i j m ( 3 3 ) 根据定义( 2 ) 和 ( 3 ) 式， 则 时刻的预测目标数 的平均值可表示为 fik l k -1 l i m。E P k lk - 1 ( ) 于是可得 = l i m = d ： - l ( 1 l i m P I ) I ， I 斗0 l i m 。 ) ： 三 二 三 而 l 一1 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 对( 3 2 ) 式取极限， 然后把 ( 3 4 ) 和 ( 3 5 ) 式代入上 述极限表达式可得 L ( Z ) 全1 li m F ( Z k )1 9 I I ： m ( c = m- j ) = ( ) j =o (， 壹 _ 凡= ( n ) ! f， C 1 同理可得 2 20 204 5 p 一 (扎 ) ( 1 一 P D ) 一 J 、) L ( Z k ln ) 全Il iI m。r( Z k ln )V l I U = ： ： 仇刊 = p ( c = 仇一 ) j ：O j ( 。 c 1 ( 3 6 ) ( 3 7 ) L ( z I ， =0 ) 全 l i m一十。 ( z l ， ：0 ) f ( Z k l ， =0 ) I m 0 = p ( c =m-j ) i =o ( P k lk 一 1 ( n ) nkl k-1 ， 1 一 ) ( 3 8 ) L ( Z ： ) 全 l im 。r ( z k ：1 ) f ( g k l ， =1 ) I = m p ( c = m J ：1 (， 壹 n= J 几 ! P k l k 一 1 ( n ) ( n一歹 ) ! I七 一 1 f l z Z z 。 一 ，1 ： 。 + C s一 1 C s+ 1 由( 3 0 ) ， ( 3 6 ) ， ( 3 8 ) 和 ( 3 9 ) 式可得 。 k t ) = l i m 。 P- _ Tk lk ( U ) =l i m l” t l O +P D ( w i ) P D ( t ) ) r( z k l ， r( z l ， ：o ) F( Z k ) 型 、 ， ( ) 。 V i l 口 小 o l l ( 3 9 ) 、 、 ， m 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n Vo 1 6 3 ， No 2 2( 2 0 1 4 ) 2 2 0 2 0 4 =( (1 - 嘶 +P D ( 同理可得，当IV l -y 0 时，由 可得 、) 。 一 ( z t ) ， (4 。 ) ( 3 1 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式 p 岛 l ( n ) = l i m +。面r ( Z k ln ) P k k-l( n ) =l 。 P k k - l ( ( 4 1 ) 可以看出， ( 4 ) 和 ( 1 0 ) 式为C P H D滤波的预测 方程， ( 4 0 ) 和 ( 4 1 ) 式为C P H D滤波的更新方程， 与 文献结果一致 5 C P HD滤波的 目标漏检 问题 从 ( 1 4 ) 式可以看出， 当k时刻小 区域 V t 内的目 标没有被检测到时， 它的存在概率可表示为 ) =( 1 -嘶 ) ) 丛 P k lk 一 1 ( ) ( 4 2 ) 根据文献 f l 7 1 ， 在无虚警情况下， 对 小区域 V 内目 标单独采用 CP HD滤波， 即n= 1 ， m =0时， ) = 鬻 (4 3 ) 可 以看 出，( 4 3 ) 式为 目标 的真实存 在概率， 所 以， CP HD滤波能有效改善P HD滤波 的目标漏检 问题 另外， 从 ( 4 1 ) 式看出， C P HD滤波的势估计不 受漏 检 目标 的影 响，根据 文 献 f l 7 1 ，这 是 由于 在 CP HD 滤波 过程中，当某个 小区域 V t 内 目标没有 被检 测 到时，它 的 P HD会 按 照 一定 比例 分 配给 其他小 区域 内的 目标，导致其他 小区域 内的 目标 PHD增加， 从而使整个 区域 内的 目标数估计是 准确 的 6 结 论 本文在 Oz g u r E r d i n 对随机集的物理空间假设 的基础上， 对 C P HD滤波进行 了系统 的推 导， 推 导 过程 中不 需要对 目标数 目进行泊松假设可以发 现， 在推导过程 中仅用到 B a y e s 公式和全概率公式， 易于理解为深入理解 C P HD滤波 的算法本质 从 而更好地解决多目标跟踪 问题提供 了理论基础 参考文献 22 02 04 6 Ya ng P，Hou W ，Zhi R 2 0 09 A c t a Phy s S i n58 2 0 97 ( i n C h i n e s e ) 萍， 侯威， 支蓉 2 0 0 9物理学报 5 8 2 0 9 7 J i a n g X，Ha r i s h a n K，Th a r ma r a s a R，Ki r u b a r a j a n T， Th ay a pa r a n T 2 01 4 Si g na l Pr o c e s s 9 4 2 41 Ch e n X，Pe l l e t i e r M ，Ki r ub a r a n T 2 01 3 I EEE Tr a ns Ae r o s pEl e c t r o nS y s t 49 3 9 5 S h e n g Z 2 0 1 1 A c t s P h y s S i n 6 0 1 1 9 3 0 1( i n C h i n e s e ) 盛峥 2 0 1 1物理学报 6 0 1 1 9 3 0 1 】 W u X D，W a ng Y N，Li u W T，Zh u Z Y 2 01 1 C 饥 Ph ys B 2 0 0 69 2 01 L e n g H Z ， S o n g J Q 2 0 1 3 C h i n P h y s B 2 2 0 3 0 5 0 5 Bi J Gu a n W Qi L T 2 0 1 2 Ch i n Ph y s B 2 1 0 6 8 9 0 1 M a hl e r R 2 0 03 I EEE n nu s Ae r o s pEl e c t r o nSy s t 39 11 5 2 Er di nc O W i l l e t t P Bar - Sh al o m Y 20 0 6 Si g na l and Da t a Pr o c e s s i n g o f S ma l l T a r g e t s 2 0 0 6 Ki s s i mme e ， F L Re - pu bl i c A p r i l 1 8 2 0，2 0 06 p62 3 61 9 Er di nc O ，W i l l e t t P，Ba r Sh al o m Y 2 0 0 9 I EEE Tr a ns Si g na l Pr o c e s s 57 42