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如何证明等差数列 设等差数列an=a1+(n-1)d 最大数加最小数除以二即 a1+a1+(n-1)d/2=a1+(n-1)d/2 an的平均数为 Sn/n=na1+n(n-1)d/2/n=a1+(n-1)d/2 得证 1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a c2(a+b)-b2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab) b2(c+a)-a2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab) 因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab) 即c2(a+b)-b2(c+a)=b2(c+a)-a2(b+c) 所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列 等差：an-(an-1)=常数(n2) 等比：an/(an-1=常数(n2) 等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n2) 等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n2). 2 我们推测数列an的通项公式为an=5n-4 下面用数学规纳法来证明： 1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立 2)假设当nk时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(jk) 则Sk=a1+a2+ak=5*(1+2+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2 于是S(k+1)=a(k+1)+Sk 而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8 即：(5k-8)*a(k+1)+Sk-(5k+2)Sk=-20k-8 所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8 即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k2-35k-8=(5k-8)(5k+1) 所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4 即知n=k+1时，推测仍成立。 3 在新的数列中 An=S4n-(4n-4) =a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n) A(n-1)=S4(n-1)-4(n-2) =a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4) =4d+4d+4d+4d+4d =20d(d为原数列公差) 20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。 4 A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2(n-1)两边同时除2(n+1)得A(n+1)/2(n+1)-An/2n=3/4即An/2n的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列 5 那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b 于是它是直角三角形得到 a+(a+b)=(a+2b) 所以a+a+2ab+b=a+4ab+4b 化简得a=2ab+3b 两边同时除以b 解得a/b=3即a=3b 所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b 所以三边之比为3：4：5 6 设等差数列an=a1+(n-1)d 最大数加最小数除以二即