【中考十年】江苏省无锡市2003中考数学试题分类解析汇编专题9 四边形.doc

2003-2012年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编专题9：四边形1、 选择题1. （江苏省无锡市2008年3分）如图，e，f，g，h分别为正方形abcd的边ab，bc，cd，da上的点，且ae=bf=cg=dh=ab，则图中阴影部分的面积与正方形abcd的面积之比为【 】【答案】a。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a，利用勾股定理求出ch、dm、hm的长，即可得到mn的长，也就是阴影部分的边长，面积也就求出了，再求比值即可：设ch与de、bg分别相交于点m、n，正方形的边长为3a，dh=cg=a，由正方形的中心对称性知，阴影部分为正方形，且adedch。从而可得dmch。在rtcdh中，由勾股定理得ch=，由面积公式得，得dm=。在rtdmh中由勾股定理得mh= ，则mn=chmhcn=。阴影部分的面积：正方形abcd的面积=。故选a。2. ( 江苏省无锡市2011年3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是【 】 a对角线互相垂直 b对角线相等 c对角线互相平分 d对角互补【答案】a。【考点】菱形和矩形的性质。【分析】区分菱形和矩形的性质，直接得出结果： a对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，选项正确； b对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误；c对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，选项错误； d对角互补是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误。故选a。3. （2012江苏无锡3分）如图，梯形abcd中，adbc，ad=3，ab=5，bc=9，cd的垂直平分线交bc于e，连接de，则四边形abed的周长等于【 】a17b18c19d20【答案】a。【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。【分析】由cd的垂直平分线交bc于e，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得de=ce，即可由已知ad=3，ab=5，bc=9求得四边形abed的周长为：ab+bc+ad=5+9+3=17。故选a。二、填空题1. （江苏省无锡市2004年3分）已知梯形的中位线长为6，高为4，则此梯形的面积为 2.【答案】24。【考点】梯形中位线定理。【分析】根据梯形的中位线定理及梯形的面积公式即可求得其面积：梯形的中位线长为（上底+下底）=6cm，梯形的面积为（上底+下底）4=64=24cm2。2. （江苏省无锡市2004年3分）如图，abcd中，ae、cf分别是bad和bcd的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形aecf为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）.【答案】acef（答案不唯一）。【考点】平行四边形的性质，菱形的判定。【分析】菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形。因此，根据平行四边形的判定可得四边形aecf是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当acef时，四边形aecf是菱形，则添加的一个条件可以是：acef。3. （江苏省无锡市2005年2分）若梯形的面积为62，高为2，则此梯形地中位线长为 .【答案】3。【考点】梯形中位线定理【分析】根据题意可求得其两底和，从而根据中位线定理不难求得其中位线的长：梯形的面积为62，高为2，梯形的中位线=梯形的两底和的一半=面积高=3cm。4. （江苏省无锡市2007年2分）如图1是一种带有黑白双色、边长是的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为元和元，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 元（取，结果精确到元）图1图2【答案】。【考点】正方形的性质，扇形面积的计算，二次函数的最值。【分析】由图可知：每块正方形瓷砖的黑色部分都是由两个全等的直角三角形和一个扇形组成，可设扇形的半径为xcm，则直角三角形的短直角边长为（20x）cm，即可表示出正方形瓷砖黑色部分的面积，从而表示出白色部分的面积，然后算出各种材料费之和，根据函数的最值问题得解即可：设圆的半径为xcm，则三角形的短直角边为（20x）cm，则小方砖黑部分的面积为，白色部分的面积为：。一块小方砖的小成本。5. （江苏省2009年3分）如图，已知是梯形abcd的中位线，def的面积为，则梯形abcd的面积为 cm2【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知def的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，ef是梯形abcd的中位线，def的高为 。def的面积为，。梯形abcd的面积为。6. ( 江苏省无锡市2010年2分)如图，梯形abcd中，adbc，ef是梯形的中位线，对角线ac交ef于g，若bc=10cm，ef=8cm，则gf的长等于 cm【答案】3。【考点】梯形中位线定理， 相似三角形的判定和性质。【分析】梯形、三角形的中位线，一方面可以得到位置关系（梯形中位线平行两底，三角形中位线平行第三边），另一方面可以得到数量关系（梯形中位线等于两底和的一半，三角形中位线等于第三边的一半）。ef是梯形的中位线，ef (ad+bc)，ad=2ef bc=6cm。fgad，cfgcda。gf=3（cm）。三、解答题1. （江苏省无锡市2003年10分）已知：如图，四边形abcd为正方形，以ab为直径的半圆o1和以o1c为直径的o2交于点f，连cf并延长交ad于点h，feab于点e，bgch于点g. 求证：bcaebg；连af，当正方形abcd的边长为6时，求四边形abgf的面积.【答案】解：（1）证明：连o1f、bf，o1c为o2的直径，o1fch。cf为o1的切线。abc=90，bc为o1的切线。cb=cf。bfc=fbc。efab，efbc。efb=fbc=bfc。又bgf=bef=90，bf=bf，bgfbef（aas）。bg=be。ae+bg= ae +be =ab。正方形abcd，bc=ab= ae +bg。（2）正方形abcd的边长为6，bc=6，ao1=bo1=3。又bc、cf为o1的切线，bc=cf，bco1=fco1。co1bf。o1bc=90，o1bf=o1cb。o1bc=afb=90，o1bcafb。在rtafb中，ab=6，解得。在rtafb中，efab，aefafb。，即，解得ae=，ef=。be=6=。【考点】圆周角定理，切线的判定，切线长定理，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积。 【分析】（1）连o1f、bf，利用全等三角形的判定方法可得到，bgfbef，再根据全等三角形的性质得到bg=be从而可得到所求的结论。（2）连o1h，根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质及平行线的性质求得ae等线段的值，再根据三角形的面积公式即可求得四边形abgf的面积。2. （江苏省无锡市2004年10分）将正方形abcd折叠，使顶点a与cd边上的点m重合，折痕交ad于e，交bc于f，边ab折叠后与bc边交于点g（如图）.（1）如果m为cd边的中点，求证：dedmem=345；（2）如果m为cd边上的任意一点，设ab=2a，问cmg的周长是否与点m的位置有关？若有关，请把cmg的周长用含dm的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.【答案】解：（1）证明：设正方形边长为a，de为x，则dm=，em=ea=ax在rtdem中，d=90，de2+dm2=em2，即x2+（）2=（ax）2，解得，。em= ax=。de：dm：em=。（2）cmg的周长与点m的位置无关。理由如下；设cm=x，de=y，ab=2a，dm=2ax，em=2ay。emg=90，dme+cmg=900。dme+dem=90，dem=cmg。又d=c=90，demcmg。即。在rtdem中，dm2+de2=em2，即（2ax）2y2=（2ay）2，整理得4axx2=4ay。cmg的周长为cm+mg+cg=。所以cmg的周长为4a，与点m的位置无关。【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】（1）设正方形边长为a，de为x，则根据折叠知道dm=，em=ea=ax，然后在rtdem中就可以求出x，这样用a表示了de，dn，em，即可求出它们的比值。（2）cmg的周长与点m的位置无关。设cm=x，de=y，则dm=2ax，em=2ay。根据正方形的性质和折叠可以证明demcmg，利用相似三角形的对应边成比例可以把cg，mg分别用x，y分别表示，cmg的周长也用x，y表示，然后在rtdem中根据勾股定理可以得到4axx2=4ay，结合cmg的周长，就可以判断cmg的周长与点m的位置无关。3. （江苏省无锡市2005年10分）如图，已知矩形abcd的边长ab=2，bc=3，点p是ad边上的一动点（p异于a、d），q是bc边上的任意一点. 连aq、dq，过p作pedq交aq于e，作pfaq交dq于f.（1）求证：apeadq；（2）设ap的长为x，试求pef的面积spef关于x的函数关系式，并求当p在何处时，spef取得最大值？最大值为多少？（3）当q在何处时，adq的周长最小？（须给出确定q在何处的过程或方法，不必给出证明）【答案】解：（1）证明：pedq，ape=adq，aep=aqd。 apeadq。（2）作adq中dq边点的高ah。 ahdq，ahd=900。 四边形abcd是矩形，dcq=acd=900。 adh=900qdc=dqc。 adhadq。 dc=ab=2，ad=bc=3，即。 。 apeadq，ap=x，即。 又pfaq，pedq，pae=dpf，ape=d。apepdf。 。 又pd=3x，即。 又pfaq，pedq，四边形peqf是平行四边形。 。 又， 当，即p是ad的中点时，spef取得最大值。（3）作a关于直线bc的对称点a，连da交bc于q，则这个点q就是使adq周长最小的点，此时q是bc的中点。【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）由pedq即可得ape=adq，aep=aqd，从而apeadq得证。（2）注意到adhadq、apeadq和apepdf，及，由相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，即可得到spef=，当，即p是ad的中点时，spef取得最大值。（3）如图，根据三角形两边之和大于第三边的，对bc上任一点q，总有aqdqad。由轴对称的性质，得aq=aq，aq= aq，所以aqdqaqqd，即adaqdqadaqqd。所以adq的周长大于adq的周长，即点q就是使adq周长最小的点。4. （江苏省无锡市2006年7分）已知：如图，abcd中，bcd的平分线交ab于e，交da的延长线于f。求证：aeaf。【答案】证明：在abcd中，ab/dc，d/bc，aef=dce，f=bce。ce平分dcb，dce=bce。f=aef。ae=af。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。【分析】由平行四边形的性质可以推出abdc，adbc，然后利用它们得到角的关系，再由角平分线的性质经过等量代换即可得f=aef，从而根据等腰三角形等角对等边的判定证明题目结论。5. （江苏省无锡市2006年9分）如图，在等腰梯形abcd中，abdc，ab8cm，cd2cm，ad6cm。点p从点a出发，以2cm/s的速度沿ab向终点b运动；点q从点c出发，以1cm/s的速度沿cd、da向终点a运动（p、q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）设p、q同时出发并运动了t秒。（1）当pq将梯形abcd分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形pbcq的面积是梯形abcd面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过d作deab于e，过c作cfab于f，如图1。abcd是等腰梯形，四边形cdef是矩形。de=cf。又ad=bc，rtadertbcf。ae=bf。 又cd=2cm，ab=8cm，ef=cd=2cm。若四边形apqd是直角梯形，则四边形depq为矩形。cq=t，dq=ep=2t。ap=aeep，解得。（2）存在。理由如下：在rtade中，。当s四边形pbcq时， 如图2，若点q在cd上，即0t2，则cq=t，bp=82ts四边形pbcq，解得t=3（不合点q在cd的条件，舍去）。如图3，若点q在ad上，即2t4。过点q作hgab于g，交cd的延长线于h，由图1知，则a=60。在rtaqg中，aq=8t，qg=aqsin60，在rtqdh中，qdh=60，dq=t2，。由题意知，s四边形pbcq，即，解之得（不合题意，舍去），。存在，使四边形pbcq的面积是梯形abcd面积的一半。【考点】动点问题，等腰梯形和直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解方程，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）通过构造全等三角形rtadertbcf证明ae=bf。，建立等量关系求解即可。 （2）分点q在cd上和在ad上两种情况讨论即可。6. （江苏省无锡市2008年7分）如图，四边形中，平分，交于（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由【答案】解：（1）证明：，即，又，四边形是平行四边形。平分，。又，。四边形是菱形。（2）是直角三角形。理由如下：是中点，。又，。，。，即。是直角三角形。【考点】菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定。【分析】（1）由已知，知四边形是平行四边形，从而根据菱形的判定只要一组邻边相等即可，由平分和即可证得，从而根据等腰三角形等角对等边的判定即可证得。因此得证。（2）要证是直角三角形，只要证，即即可。由是中点和（1）可得，根据等腰三角形等边对等角的性质得。从而由三角形内角和定理即可证得。从而得证。7. （江苏省无锡市2008年8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）【答案】解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求。（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，。由，得，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求。或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求。要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形所以，至少要安装