【备战】高考数学 高频考点归类分析 基本不等式的应用（真题为例）.doc

高频考点分析基本不等式的应用典型例题： 例1. （2012年天津市理5分）设，若直线与圆相切，则的取值范围是【 】（a） （）（）（）【答案】d。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，。又，即。设，则，解得。故选d。例2. （2012年浙江省文5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【 】a. b. c.5 d.6【答案】c。【考点】基本不等式或配方法的应用。【解析】x+3y=5xy，。 。（或由基本不等式得） 5，即的最小值是5。故选c。例3. （2012年湖北省理5分）设是正数，且，则【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】柯西不等式不等式的应用，待定系数法的应用。【解析】由柯西不等式知，而此时恰好满足取等条件。令，则。代入到中得，再将代入得。，。故选c。例4. （2012年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【 】alglgx(x0)bsinx2(xk，k)cx212|x|(x)d.1(x)【答案】c。【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。【解析】对于a，当x时，lglgx，所以a不一定成立；对于b，当sinx0时，不等式才成立，所以b不一定成立；对于c，命题显然正确；对于d，x211，01，所以d不成立.故选c。例5. （2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【 】a. b. = c. d. =【答案】a。【考点】基本不等式及其应用。【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。 又，。 。故选a。例6. （2012年福建省理7分）已知函数f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集为1,1（）求m的值；（）若a，b，cr，且m，求证：a2b3c9.【答案】解：（）因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm。又f(x2)0的解集为1,1，故m1。（）由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得， 当且仅当 时，等号成立。所以a2b3c9。【考点】带绝对值的函数，不等式的证明。【解析】（）由条件可得f(x2)m|x|，f(x2)0，故有|x|m的解集为-1，1，故m=1。（）由（）得1，从而 ，展开后可得，利用基本不等式证明它大于或等于9。例7. （2012年湖北省文5分）设 r，则 “”是“”的【】a.充分条件但不是必要条件b.必要条件但不是充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要的条件【答案】a。【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。【解析】当时，而（当且仅当，且，即时等号成立），。当取,显然有,但。由不可以推得。综上，是的充分不必要条件。故选a。例8. （2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有 _。（写出所有真命题的编号）【答案】。【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。【解析】对于，若，根据 当n=1时，x2=3, 同理x3=。 故正确。对于，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列从第二项开始为2，1，2，1，不成立。故错误。对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整数。对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，不论是偶数还是奇数，有。和都是整数，。又当时，成立。当时，。故正确。对于，当时， ，即。，即，解得。由，。故正确。综上所述，真命题有 。例9. （2012年辽宁省理12分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。 ()求的值。 ()证明：当时，。【答案】解：（i）过（0，0），=0。=1。曲线与直线在（0，0）点相切，。=0。（ii）证明：由（i）知。由均值不等式，当0时，。令。则。 令。则当时，。 在（0，2）内是单调递减函数。又，在（0，2）内，。在（0，2）内，。在（0，2）内是单调递减函数。又，在（0，2）内，。当时，。【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（i）由过（0，0），可求b的值，根据曲线与直线在（0，0）点相切，利用导函