【备战】高考数学 高频考点归类分析 关于空间距离和空间角的问题（真题为例）.doc

关于空间距离和空间角的问题典型例题： 例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为【 】a2 b c d1【答案】d。【考点】正四棱柱的性质，点到面的距离，线面平行的距离，勾股定理。【解析】连接，和交于点，则在中， 是正方形， 又为的中点，。 则点到平面的距离等于到平面的距离。 过点作于点，则即为所求。 是正方形，根据勾股定理，得。 为的中点，。在中，利用等面积法得，即。故选d。例2. （2012年四川省理5分）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为【 】a、 b、 c、 d、【答案】a。【考点】球面距离及相关计算，向量和反三角函数的运用。【解析】要求、两点间的球面距离，由于，故只要求得即可。从而可求出即可求（比较繁）或用向量求解：如图，以o为原点，分别以在平面上的射影、所在直线为轴。过点作（即面）的垂线，分别过点作轴的垂线。，。面与平面的角为，即，。 。故选a。例3. （2012年陕西省理5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为【 】a. b. c. d. 【答案】a。【考点】异面直线间的角的求法，特殊元素法的应用。【解析】设，则，。又直线与直线夹角为锐角，余弦值为。选a。例4. （2012年全国大纲卷理5分）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为 。【答案】。【考点】斜棱柱中异面直线的角的求解。【解析】用空间向量进行求解即可：设该三棱柱的边长为1，依题意有， 则， ，而。 。例5. （2012年全国大纲卷文5分）一直正方体中，、分别为、的中点，那么一面直线与所成角的余弦值为 .【答案】。【考点】异面直线的角的求解。【解析】用空间向量进行求解即可：设该直正方体的边长为1，依题意有， 则，而 。例6. （2012年四川省理4分）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是 。【答案】90。【考点】异面直线夹角问题。【解析】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.设正方体边长为2，则（0,0,0），n（0,2,1），m（0,1,0）a1（2,0,2）。cos = 0。，即异面直线与所成角为90。例7. （2012年辽宁省理5分）已知正三棱锥abc，点p，a，b，c都在半径为的求面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为 。【答案】。【考点】组合体的线线，线面，面面位置关系，转化思想的应用。【解析】在正三棱锥abc中，pa，pb，pc两两互相垂直，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径ep，球心为正方体对角线的中点o，且ep平面abc，ep与平面abc上的高相交于点f。球o到截面abc的距离of为球的半径op减去正三棱锥abc在面abc上的高fp。球的半径为，设正方体的棱长为，则由勾股定理得。解得正方体的棱长=2，每个面的对角线长。截面abc的高为， 。在rtbfp中，由勾股定理得，正三棱锥abc在面abc上的高。所以球心到截面abc的距离为。例8. （2012年全国大纲卷理12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（1）证明：平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系。 则由底面得。设。（1）证明：由得，。 ，。，。又，平面。（2）设平面的法向量为，又，由得。设平面的法向量为。又，由，得。二面角为，解得。，平面的法向量为。与平面所成角的正弦值为。与平面所成角为。【考点】四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。【解析】从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。例9. （2012年全国课标卷理12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明： （2）求二面角的大小。来源:z*xx*k.com【答案】解：（1）证明：，是棱的中点，。在中，。 同理，。 。又，且，面。 （2），面。 。都是等腰直角三角形。 取的中点，连接。设，则。 在中，应用勾股定理，得 。 。是直角三角形。 又，是二面角的平面角。 是等腰直角三角形，点是斜边的中点，。 在中， ，。 。二面角的大小为。【考点】直三棱柱的性质，空间两直线的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，二面角，勾股定理和逆定理，锐角三角函数定义。【解析】（1）要证，只要面即可，由于已知，从而只要证平面内与相交的另一条直线与垂直即可，易证。从而得证。 （2）要求二面角的大小，先要找出二面角。连接，通过已知，应用勾股定理和逆定理，证得，结合已知即可知是二面角的平面角。在中，易求得。例10. （2012年上海市理12分）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中点.已知ab=2，ad=2，pa=2.求：（1）三角形pcd的面积；（6分）（2）异面直线bc与ae所成的角的大小.（6分）【答案】解：（1）pa底面abcd，cd底面abcd，pacd。又adcd，底面abcd平面pad。又cd底面abcd，cd平面pad。 又pd平面pad，cdpd。 pd=，cd=2， 三角形pcd的面积为。 （2）如图所示，建立空间直角坐标系。 则a（0，0，0），b(2, 0, 0)，c(2, 2,0)，e(1, , 1)。 ， 设与的夹角为，则。，即异面直线bc与ae所成的角的大小是。【考点】直线与直线、直线与平面的位置关系，异面直线间的角，勾股定理。【解析】（1）要求三角形pcd的面积，由于底边cd已知，只要找并求出底边cd上的高即可。由线面、面面垂直的判定和性质，可证cdpd，从而根据勾股定理求出pd即可求得三角形pcd的面积。 （2）建立空间直角坐标系，即可表示出各点坐标，从而用向量表示和，即可直接用公式求二者之间的夹角余弦，从而求出二者之间的夹角。本题不用向量的解法：取pb中点f，连接ef、af，则efbc，从而aef（或其补角）是异面直线 bc与ae所成的角。 在aef中，由ef=、af=、ae=2， 知aef是等腰直角三角形， 所以aef=。因此异面直线bc与ae所成的角的大小是。 例11. （2012年上海市文12分）如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，求：（1）三棱锥的体积（6分）（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（6分） 【答案】解：（1）。 三棱锥p-abc的体积为。 （2）取的中点，连接，则 ，所以（或其补角）是异面直线 与所成的角。 在中， ，。 因此，异面直线与所成的角的大小是。 【考点】棱锥的体积，异面直线及其所成的角。【解析】（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形的面积，然后根据底面，结合锥体体积公式，得到三棱锥的体积；（2取的中点，连接，在中，根据中位线定理得到，所以（或其补角）是异面直线与所成的角然后在中，利用余弦定理得到，从而求得异面直线与所成的角的大小。例12. （2012年四川省理12分）如图，在三棱锥中，平面平面。（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。【答案】解：（）设ab中点为d，ad中点为o，连接oc，op，cd。，cdab。，pad为等边三角形，poad。又平面平面，平面pab平面=ad，po平面abc，ocp为直线pc与平面所成的角，不妨设pa=2，则od=1，op=， ab=4。cd=2，oc=。在rt中，tan。直线pc与平面所成的角的大小为arctan。（）过d作de于e，连接ce。 由已知可得，cd平面pab，根据三垂线定理可知，cepa。为二面角的平面角。 由（1）知，de=，在rtcde中，tan。二面角的大小为。【考点】线面关系、直线与平面所成的角、二面角。【解析】（）设ab中点为d，ad中点为o，连接oc，op，cd，可以证出ocp为直线pc与平面abc所成的角不妨设pa=2，则od=1，op=，ab=4，在rt中即可。（）过d作de于e，连接ce，则为二面角的平面角，在rtcde中求解即可。 另解：以o为坐标原点，ob，oe，op所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系o-xyz，应用向量求解。例13. （2012年天津市理13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，.()证明丄；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长. 【答案】解：()证明：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则（0，0，0），（2，0，0），（0，1，0），（0，0，2）。 。所以丄。（）由()，。设平面的一个法向量为，则 ， 即 。 取，则。又平面的一个法向量为 ，。二面角的正弦值为。（）设，。又 ，即。解得，即。【考点】用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法。【分析】() 以为原点，建立空间直角坐标系，通过点的坐标得出和，求出=0即可证明。（）求出平面，平面的一个法向量，利用两法向量夹角求解。（），利用，得出关于h的方程求解即可。非向量解法：()通过证明平面得出丄。（）如图1作于点，连接，为二面角的平面角在中求解即可。（3）如图2，因为45，故过点作的平行线必与线段相交，设交点为，连接，故（或其补角）为异面直线与所成的角。在中，因为，从而 =30，由勾股定理用表示的长。在中由余弦定理得出关于的方程求解即可。例14. （2012年天津市文13分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，adpd，bc=1，pc=2，pd=cd=2.（i）求异面直线pa与bc所成角的正切值；（ii）证明平面pdc平面abcd；（iii）求直线pb与平面abcd所成角的正弦值。【答案】解：（i）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，ad=bc，且adbc。又adpd，pad为异面直线pa与bc所成角。在rtpda中，异面直线pa与bc所成角的正切值为：2。（ii）证明：底面abcd是矩形，adbc。adpd，cdpd=d，ad平面pdc。ad平面abcd，平面pdc平面abcd。（iii）在平面pdc中，过点p作pecd于e，连接eb。平面pdc平面abcd，而直线cd是平面pdc与平面abcd的交线，pe平面abcd。pbe为直线pb与平面abcd所成角。在pdc中，pd=cd=2，pc=2，pcd=30。在rtpec中，pe=pcsin30=。adbc，ad平面pdc，bc平面pdc。bcpc。在rtpcb中，。在rtpeb中，。 直线pb与平面abcd所成角的正弦值为。【考点】直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定。【分析】（i）判断pad为异面直线pa与bc所成角，在rtpda中，求异面直线pa与bc所成角的正切值。（ii）说明adbc，通过adpd，cdpd=d，证明ad平面pdc，然后证明平面pdc平面abcd。（iii）在平面pdc中，过点p作pecd于e，连接eb说明pbe为直线pb与平面abcd所成角，求出pe，pb，在rtpeb中，通过，求直线pb与平面abcd所成角的正弦值。 例15. （2012年安徽省理12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值。【答案】解：（i）取的中点为点，连接 ，。面面，面。同理：面 。共面。又，面。（）延长到，使 ，连接。，。，面面，面。面。在中，。 （），是二面角的平面角。 在中，。 在中， 二面角的余弦值为。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角，余弦定理。【解析】（i）要证，即要面，从而通过证明面和面，得到共面。由，得到面。从而是证。 （）在中，应用勾股定理即可求得的长。 （）要求二面角的余弦值，先要找出二面角的平面角。由 知，是二面角的平面角。在中，应用勾股定理求得的长，在中，应用余弦定理即可求得的余弦值，即二面角的余弦值。例16. （2012年山东省理12分）在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60，fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf。（）求证：bd平面aed；（）求二面角fbdc的余弦值。【答案】解：（）在等腰梯形abcd中，abcd，dab=60，cb=cd，在中，由余弦定理得，即。在中，dab=60，由正弦定理得，即，解得。又aebd，平面aed，平面aed，且，bd平面aed。（）如图，取bd中点g，连接cg，fg。 设 cb=cd=cf=ad=1，则由（）， 。 bc，cd，cg平面abcd，fc平面abcd， bcf，dcf都是等腰直角三角形，fcg是等腰三角形。 fgdb，cgdb。 又fg平面fbd，cg平面cbd，fgcg=g， fgc=二面角fbdc。 由勾股定理，在rtbcf中得bf=；在rtbgf中得fg=在rtbcg中得cg= 在rtfcg中，。 二面角fbdc的余弦值为。【考点】线面垂直的判定，等腰梯形的性质，余弦定理，正弦定理，勾股定理，等腰三角形的性质，二面角。【解析】（）要证bd平面aed，由于已知aebd，所以只要证平面aed上ae的一条相交直线与bd平行即可。由余弦定理和正弦定理的应用，分别解和，即可得到。从而得证。 （）要求二面角fbdc的余弦值，即要找出二面角。故取bd中点g，连接cg，fg，可以证明fgc=二面角fbdc。从而通过应用勾股定理解直角三角形可求出的值。例17. （2012年湖北省理12分）如图1，acb=45，bc=3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将abd折起，使bdc=90（如图2所示），（）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；（ii）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小【答案】解：（）在如图1所示的中