CH11自测题答案(第六版).pdf

1 1 3 L dsxy L 是连接点是连接点 3 3 A 和点和点 1 3 B 的直线段的直线段 直线方程 直线方程 3 3 1 3 xy 3 10 3 1 11 22 dxdxdxyds 1012 3 10 3 9 3 3 dxxx原式原式 一 计算下列曲线积分一 计算下列曲线积分 2 4 22 L yx xdyydx L 是正向椭圆是正向椭圆 1 4 2 2 y x L yx xdyydx 22 4 L ydxxdy 4 1 21 2 1 注 被积函数定义在 上 注 被积函数定义在 上 即满足 方程即满足 方程 借此简化线积 分 借此简化线积 分 直接求积直接求积 或格林公式转化到椭圆域上的二重积分均可或格林公式转化到椭圆域上的二重积分均可 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解 解 解 解 o x y AB CD 2122 2 2 dxdy dxdy y P x Q dyxeydx D D L y 直接用格林公式直接用格林公式 3 2 L y dyxeydx L 是以是以 0 1 0 0 BA 1 1 1 0 D 为顶点的正方形边界 取逆时针为正向为顶点的正方形边界 取逆时针为正向 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 o y x AB 15 4 1 5 dxQdyPdx BA 又又 42 dxdydxdy y P x Q QdyPdx DD BAL 1cos 1cos cos 1sin ye x Q ye y P xyeQyyeP xx xx 设设 BABAL x L x dyxyedxyye 1 4 cos 1sin 注 补上线段 用格林公式 注 补上线段 用格林公式 4 cos 1sin dyxyedxyye x L x L 是以点是以点 0 5 0 1 BA 为直径的两端点的下半圆周 且为直径的两端点的下半圆周 且 从从 A 到到 B 为正方向为正方向 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 xyx L dsyxM 1 0 22 1 0 2 41 41 8 1 41 xdx dxxxxds L 注 第一类曲线积分 直接计算 注 第一类曲线积分 直接计算 二 二 1 已知曲线段已知曲线段 10 2 xxy 上任意一点上任意一点 处的线密度在数值上与该点横坐标相同处的线密度在数值上与该点横坐标相同 求此曲线段的质量求此曲线段的质量 155 12 1 41 3 2 8 1 1 0 2 2 3 x CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 a D ra rdra rd yxa adxdy yxM 0 22 2 2 0 1 222 22 8 8 222222 yxzyxazyx 面密度设球面方程面密度设球面方程 1 2222 8 dSyxdSyxdSzyxM 则则 222222 222 1 yxa y z yxa x zyxaz yx 二 二 2 设有一半径为设有一半径为a 的物质球面的物质球面 其上任意一点处 的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平方 其上任意一点处 的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平方 求此球面的质量求此球面的质量 3 1 222222 dSxzdSzydSyxM或注 或注 dSzyx 3 2222 3 8 4 3 2 3 24222 aaadSa CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 dxdy yxa a dxdyzzdS yx 222 22 1 3 8 3 2 4cos cos sin 4sin 43 2 0 3 aadtta ta ta atar 令令 a ra drr a 0 22 3 4 三 质点沿曲线三 质点沿曲线 2 0 tz ty x 从点从点 0 0 0 移动到点移动到点 0 1 1 求在此 过程中 力 求在此 过程中 力 kj yixF 4 1 所作的功所作的功 W L dzydydxxW 4 1 2 1 2 10 1 0 1 0 tdtdttt t 注 第二类曲线积分 直接计算 注 第二类曲线积分 直接计算 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 2 ddsyI L x 1 1 1 sin 2 02 2 2 2 注 用极坐标计算第一类曲线积分 注 用极坐标计算第一类曲线积分 四 已知曲线四 已知曲线 L 的极坐标方程为的极坐标方程为 2 0 r 曲线 曲线 L 上任意一点处的线密度为上任意一点处的线密度为 2 1 1 求此曲线关于极轴的转动惯量 求此曲线关于极轴的转动惯量 dd 22 0 2 0 2 2 2cos1 sin 6 1 8 2 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 五 计算五 计算 222 2 zyx dxdyzxdydz 是由曲面是由曲面 0 222 RRzRzRyx 所围的立体表面的外侧所围的立体表面的外侧 x y z o R R 尽管 为封闭曲面 但不可直接用高斯公式 尽管 为封闭曲面 但不可直接用高斯公式 直接计算续 表达式较复杂 且不连 直接计算续 表达式较复杂 且不连 z R x P 222222 后柱前柱柱后柱前柱柱 zyx xdydz zyx xdydz yzyzyz DDD dydz zR yR dydz zR yR dydz zR yR 22 22 22 22 22 22 2 21 222 2 21 RzRz zyx dxdyz 0 222 2 222 2 xyxy DD Ryx dxdyR Ryx dxdyR 2 1 arctan 2 2 1 22 2 0 2 22 22 R R z R R zR dz dyyR R R R R R 2 1 2R 原式原式 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 关于 关于yz面对称面对称 2xz关于关于x奇奇 Gauss公式公式 1 x o z y 1 1 22 1 取下侧补上平面 取下侧补上平面 yx z dvzxzxxz dxdyzxyzdzdxxzdydzx 22 22 2222 1 则则 zdvx23 六 计算六 计算 dxdyzxyzdzdxxzdydzx 2222 其中其中 是曲面是曲面 22 2yxz 上在上在 21 z 部分的上侧部分的上侧 利用柱面坐标利用柱面坐标 2 2 2 1 22 1 00 cos12 r zdzrrdrd drzrd r2 2 2 1 2 1 0 3 0 2 2 1 cos12 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 16 5 24 5 2 3 1 2 22 1 6 22 1 0 3 drrr 11 22 dxdyzx又又 16 9 416 5 11 原式原式 一投二代三定号一投二代三定号一投二代三定号一投二代三定号时时 曲面方程是曲面方程是z 1 1 0 23 0 cos4 2 drrd xy D dxdyx2 44 1 22 1 4 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 x y o 0 222 z ayx 为平面曲线为平面曲线 dzdydxyx 32 dydxyx 32 D dxdyyx 22 3 8 sincos12 6 0 225 0 2 adrrd a 七 计算七 计算 dzdydxyx 32 其中 其中 曲线曲线 是抛物面是抛物面 zayx 222 与平面与平面 0 z 相交的圆周 相交的圆周 若从若从 z 轴正向看去 这圆周取逆时针方向为正向轴正向看去 这圆周取逆时针方向为正向 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 解解 八 八 1 1 0 0 2 0 0 0 沿任一路径的积分值到点该曲线积分由点 并求与路径无关使曲线积分 试确定有连续导数设 沿任一路径的积分值到点该曲线积分由点 并求与路径无关使曲线积分 试确定有连续导数设 yx dyxydxxx xx xxxxxx x Q y P 即得 由即得 由 CdxexQex dxxPdxxP CexeeCdxxee xxxxx 3 2 0 C得由得由 1 1 0 0 13 13 dyxeydxe xx 31 x exx 于是于是 3 113 0 1 1 0 1 1 0 edxedx 解解 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 3 6xyxy y P CdueuQeu duuPduuP 44yx x Q 得由 得由yxxyxy x Q y P 446 02 xyxy 整理得 整理得 2 1 xy xy xy 即即 2 1 u u uuxy 有令有令 解解 0 4 3 2 1 2 解并求此全微分方程的通是全微分方程 使方程 确定具有连续导数已知 解并求此全微分方程的通是全微分方程 使方程 确定具有连续导数已知 dyxyxdxxyxyyxy u 九九 CH11CH11自测题自测题自测题自测题参考答案参考答案 2 11 Cduee du u du u 12 Cu u 1 2 1 C得由得由 1 xy xyxy 将将 代入原方程 整理得 代入原方程 整理得 0 4 4 4 1 22 dy y yxdxxy x 于是通解为于是通解为 2ln4ln 22 Cyxyx 1 1 0 00 取为 取为 yx 0 22 2 41 22 ydyxdxxydy y dx x 2