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陀螺角速度漂移数学模型识别 张钟俊杨翠莲 电工 和计算机科学系 吸应用数学系 摘 要 由于陀螺角速度漂移是长时间工作的惯性导航系统的主要误差源 因此 为了对长时间 工作的惯性导航系统进行最佳设计 建立陀螺角速度漂移的数学模型是必要的 本文从认为 陀螺 角速度漂移 是由白噪声通过线性系统形成的观点出发 采用 时间序列分析 8勺 方法 通 过模型识别 参数估计和检验等步骤 对某个三 自由度陀螺仪以等时间 司隔所测得的沿方 位和水平方同的角速度漂移各63 1个数据 进行了数学分析 并分别建立了数学模型 分析 结果表明 此陀螺角速度漂移是由平稳随机过程和非平稳的随机游动及滑落所组 成 这个结果 对于评定陀螺仪的性能和质量是有用 的 但是为了真正满足质性导航系统最佳 设计的需要 要 没建立长时间的陀螺角速度漂移的数学模型 为此 就需要对批量生产的陀螺仪进行长时间 漂移的抽样测试 获得分析所需的样本数据 另外 知果有需要 还得把离散型的差 分方程化 为所需的连续型微分方程型 本文所采用的方法对相当广泛的一类工程问题也是适用的 一 间题的提出 在演性导吭东统中 陀螺 角速度漂 移所引起的系 统误差 是随 时 间积累的 因此 陀螺 角速度漂 移是 长时 间工作的惯性导航 系统的主要误差源或干扰 它的存在 严 重地限制了 溃性导航 系统 的工作 时 间和精度的 提高 为了满足飞速地 发展 的航 海 航空和 空间J支 术等 领域对惯性导航系统越来越高的精度要求和 长时 间工 作 的期 望 必 需 没计高精度或 新型 陀 螺 仪 但是 这 庄往要化费昂贵的代价 并且到 了一定程度后 想要进一步提高其 精度是 相当困难 的 甚至可能性也不大 因此 近十多年来 由于现 代控 制理 论的 形成和发展 出现了对惯性 导航系 统 的最佳设计方 法 借 助于其 他导 航设 备定 时或不定 时地提 供的 导航 数据 应用最 佳沪 波和 最 佳控制原理对惯性导航 系统 的运动 实现最 佳控制 从而使系统 的积累误 差 达到 最小 理 沦和 实践证明 这是从系统 角度提 每 整个惯性导 肮系统精度的行 之有效 的一种方 法 惯性导航系统的最佳设 计方法 要求系 统的输入干扰是不相 关 的随机干扰 但是作为 惯性导航 系统 主要干 扰 的陀螺 角速度漂移则是相关 噪声 因此 为了实现对惯性导航系统 的 最佳设 计 必须对陀螺角速度漂移的测试数 据进行统计 分析 掌握 其统 计规律 并 把陀 螺 角速度漂 移 随机过程 视为白噪声通过线性系统所形成 建立陀螺角速度漂 移 数学模型 然 后 将这一数学模型与 贯性导航 系统的模型一起构成 系统扩 充状 态模型 使之适 应 最佳 没计 多明 一 权顶研究工作叼还有应用故学系程汲太 张克邦 何焕熹 电工和计算机科 学系哀天 鑫 78 6 对系统输 入干扰 统计 特性的要求 从而实现最佳设计 因此可以说 陀螺 角速度漂移数学 模型是整个惯性导航系 统最佳设计 的依 据 本文对某三 自由度陀 螺仪以等时间 间隔所测得的方位 和水 平方向的角速度漂移各 63 1 个数据 进行了数学分析 从而 建立了相 应的数学模 型 建立数学模型的方法 根据使 用需要是各不相 同的 井且 根据有限个测试数据 来建 立数学模型 的方法也是多种多样的 通常 都是 先假设 存在 某些特殊 的模型公式 然后由 实验数据确定有关的 参数 这样建立的数学模型的 最根本 问题是在于可以有许 多模型 即 使实验 数据 都能 适 当地被这些模 型所 描述 但是它们 并不真实地描 述产生这些数 据 的 过 程 现 用的方法是把实验 数据纯粹 当作一个随机序列 事前 无需先 验地假 设某 种模型 的存 在 而是根 据数据 的 分析来判 断确定的现象是否与实验数据 符合 这种 建立数学模型的 方法 包括识别 模型 类型 参数估计 和对结果进行检验共 三个阶段 的重叠过程 为了实现四个现代 化 无论在国民经济或 国防现 代化方面 对工程 系统 的运行 实现 正确 控制是很 必要 的 这就 需要对运行的规律有所了解 才能由机器 付诸实现 由于很 多 系统 都会受 到外界各种因素的干扰 影响正 常的 运行 因此有必 要通 过观察数据建立其数学模 型 从而对系统的运行状态进行正确控 制 提高自动控 制的精度 本文所采用 的方法 有助 于解决很大一类有关这方面 的问 题 因此 在具体解 决建立陀螺 角速度漂 移的数学模型之 前 首先介绍 建立数学模型 的一 般方法与程序 止 单个抽样时间序列的数学分析程序 对单个抽样时 间序列 的数学分析程序是 识别 就是 利用观测所得的信 息数据 根据选定 的数学方法 决 定 数据的模 型 沾计 就是在选定模型 情况下 利 用 观测数据作出参 数的 估计 3 检 验 就是校验有 凌数据所拟 含的模型 如果 模型不适 当 那就须 继续改进模型 现分别 详述之 1 识别 i 时间序列模 型 对单个抽样时间序 列的 数学分析基础是 一个时 间序列的相续值是 高度 相关的 可以 二 一 二 卜 卜 一 二 1 f叮资 k 一0 考虑为从一系 列互不相 关的 自噪声 序列 a 即 满足E a 一0 c ov 沙 万 一兮 狱 艺二艾 寻 山少ZJ 口 刁 几 卜 一 曰 一 小尸 J 一 呷 l 一 一 公 一 L 一 一 十 t o 九子O 的序列 a 所产生 C U Yule 19 27 对于一个线性平稳过程 二 已的方程 可 由 Z 一拼 a 咖 a 一 十矽 a 一 召 势 B a 其中尽是过程 z 的 水平 即 z 的期 望值 算 子B是线性算子 2 1 定义为 B a 一1 2 1 中 出 式给 在 1 87 势 B 1 劝 B 势 2B2 把白噪声 a 变成 二 序列 功 劝 可以是有限的 或无 限而收敛的 这个方程可以看作 白噪声 经过线性滤波器扒B 变成 二 而这个线性滤波作 用仅是以前 白噪声的加权和 对于 白噪声 a 具有下列 特性 E厂 a 0 va r 厂 a 一a 下 二 cov 汇 a a 十 一E a u 一 如 果记 Z Z 一 则 2 1 一可写 成 丁二 0 Z一砂 B a 2 1 2 1 也可 写成 Z 二兀 12 卜一 兀22卜2 二 a 2 2 如果序列 二1 二2 有限或无 限而收敛 这 时过 程 Z 可看作过去 的 Z 一 Z 2 的 回归 从 2 2 得 汀 B Z a 艺 2 其中线性算子 汀 B 1一兄 兀 B了 J二1 2 2 的两边 运用 线性算子 州B 得 劝 B 汀 B Z 一矽 B a Z 因此 线性算子州B 和 二 B 有关系 劝 B 二 B 一z 即 二 B 与势 B 互为逆算子 记为 二 B 二功 一 B 和砂 B 二二 一 B 2 3 在实际上 有用 的功 和 二 往 往是有限个 这 样 对于线性平稳过程可以考 虑三种模 型 1 自1团归过程 Z 一 内Z 功 2 2卜 之十 十诱 Z J 十a 2 4 即 访 召 Z 一 2 1产 Z a户 功 B 一 必 一 B a 2 1 其中线性算子 功 B 二1 一必 B一功 ZB 一 一 必 刀 要使 B 存在 拟B O的根 须在单位元 外 方程 2 4 的意义是过程的现时值 Z 是过程的以前 值Z Z 加权 功 功 和再加上 现时的自噪声 a J 了 8 吕 I 移 动平均 过程MA q Z 一 a 一口 la l 一夕 Za 一2 一 0 a 一 2 5 Z 0 B a 其中线性算子 8 B 1一0 B一0 2 B 么一 一 夕 B 如果O 一 B 存在 即O B 一 的根在单位元外 则方程 2 5 也可写成 2 5 0 一 B Z a l 2 5 1 方 程 2 5 的意义 是 过程 的现 时值Z 在以前 的白噪声 a a 逐渐消逝之前 又受到 白噪声 a 的作用 为了精简参数 有时必要考虑混合 模型如下 l 自回归移 动平 均过程A RMA p q Z 诱 LZ 一 十一 必Z 一0 一 一 O 一 口 a 一p 的影 响 2 6 功 B Z 0 B a 2 6 如果犷 B 存 在 即拟B 一O的根在单位元外 那 末式 2 6 还可写成如下形式 亏 0 B 1一0 IB 一 一 口 B 乙 二 了二二二一 U 二二二 任 似万 1 一功 IB 一 一 必 B叮 2 6 l 如果 过程 艺 是非平 稳的 则情况可以是 多种 多样的 例如Z 一22 a 而拟B 一 1一ZB一o 的根 在单位元 内 则 过程Z 不能看成 由 白噪声过程 a 经过线性滤 波而成 但是 在实际问题中常常会迁到 这样的 问题 例如 在初始时 间各不相同 的时间间隔阶 段 测试所得的 数据具有不同 的 水 平 期 望值 此过程虽是非平稳 的 但当数据 经过差分后显然是平稳的 对这一类非平稳 过程可以进行如下分析 首先注意 到 过 程Z 经过d阶 d 1 差 分 后 与 水平 无关 即 都变成 过程 牙 1一丑 dZ 一B d Z 月 一B dZ 研 2 7 其中平 1 一B d Z 二 z 因此 如果 过程 Z 可写成 必 B Z 0 B a 其中 必 B 一必 d B 1一B d 1 沪 B 是平稳 自回归运 算子 即功厂 B 存 在 但自回归运算子功 B 则是非平稳 的 它除了有 d 个重 根在单位元 上 外 其 余都在单位元 外 这样 对于过 程班 也可化成 白噪声过 程 a 经过 线性滤 波而 成 功 J B 于犷 召 B a 对于原过程 Z 则 可 由班 积分而成 1吕9 Z 一7 一J 班 其中7 一d 一 甲 一 而 Z 甲 一 研 1 一B 一 研 1 B B Z 班 2 8 二不 不 1 不 2十 一 名 研 j 件O 2 9 因此可以建立包括 这样一类非平稳过 程 的更一般的 自回归 积分移 动平 均 过程模型如下 l 自回归积分移动平均过程AR IMA p d q 功 B i 一B d Z 0 B a 2 1 如果记 I 一B dZ 一邢 则得 功 J B 才 B B a 2 20 即 附 1一0zB一8 2 B 2 一 一 0 B 夕 1一功 B一功 2 B 2 一 一 必 B 2 10 l 其中 必 d B 的根在单位元外 方程 2 10 或 2 201 就是方程 2 6 或 2 6 如果 d 一 方 程 2 10 相 当于方程 2 6 不过对于 Z 有必要 考虑一下 水平 但是 经过d 阶差 分后 的过程班 一甲 Z 它 的均值 拜 也不一定是零 因此 有必要考 虑更一般 的模型 必 d B 才 一月 0 B a 2 1 1 因为方程 2 11 可写成 功 d B 研 t 必 d B 月 0 B a 2 11 而 必 B 月 是常 数 记为0 贝 11有 8 功 B 拜 i 一必 一 功 一 一 功 声 印 只口 乙 8 o 1一功 一必 2 一 一 必 1 1 一 也可看成是 由含有一个偏值b的过 程 产生的 即如果 a b 则得 必 口 B 研 0 B a b 上式 也可写成 功 J B 研 8 B a 0 B b 0 B b 一 也是 常数 仍记为0 0 则有 8 二 i一0 1 一夕 2 一 一 口 b 目口 2 11 2 11 尸产 月 1 一0 1一 0 2 一 一 0 1一 必 一诱 一 一 沪 因此 方程 2 10 最好改写 成如下更完全的形式 功 B 7 d Z 8 6 B a t 其中O 也是一个参数 非平稳过程举例 2 12 190 伽 1 随机游动A尸 IMA 0 1 o Z 二Z 1 a 2 13 上式取封 闭形 式 则 得如下方程 Z 一Z 十E a j 1 2 13 产 因此它是白噪声过程之和 或是一个非平稳随机游动过 程 现求Z的一阶差分 即设 Z 一Z 邢 2 14 吻 川得 犷 一 a 因此不 就是白噪声过程 即它是一个平 稳随机过程 例 2 随机游 动和 随机 滑落 设 白噪声 过程 a 含有一个偏值b 即 口 a b 则得 Z一乙 斗 一 叭 汽 1 Z 一 Z 1 a b 上式取j才闭形式 则得如 下方 程 Z 一 Z 乙 a j十tb j l 它是一个非平稳 随机游动过程和 非平 稳滑 落过 程 的组合 则得 Z 一Z 1一a b 2 1 5 2 16 2 7 2 17 如果取方程 2 17 的 一阶差 分 它是平稳的 白噪声过程 加一个偏依 如果系统 的随机 冲击 那末这种偏 值就可能存在 2 17 l 中含有某些确定性的现象 例 3 考虑 一个经常 迁到的特殊 过程A R IM座 1 1 1 过程 并设 在 白噪声中有一偏 值 这时方程的形 式是 l 一 B 1一B Z z 一夕 IB 2 18 而 一a b 设 1 一B Z 不 厂 并合 并 上面两式 则方程 2 18 可写成 沙 一 苗 W a 一8 a 1 十b 1一8 1 2 18 显 然它是一个平稳 的 A R M A 1 1 过 程 但 对一阶差分后 的过程那 留有 残余的偏 值 b l 一夕 这是原 始过程中存在非平稳滑 落的表 现 从以上分析可知 要 将一个抽样 时间序列 最终看成是 由白噪声过 程经过 线性滤波而 成 其数学模型的建立 一可 以从一 般 的AR IMA类型 必 B 甲 d Z 8 0 B a 2 15 中识别一个适当的 类型 这就是说 如果原 始 数据 是属 于非平稳 的 那末 可通过 逐次差 分 甲Z 甲呀 甲 Z 使差 分后的数据 达到 平稳 从而 化成混合 的A尸MA类型过 程 191 诱 B 砰 0 月 一 8 B a 2 2 0 研 1一B JZ 甲 Z 然后再 识别A RMA的 类型 达到 上述识别效 果的 最重要的工 具是 自相关函数和 偏相关函数 ii 自协方差函数和自相关函数 一个时间序 列或 随机过程的 自协方差函数或自相关函数是建立该 时 间序 列 的数学模型 的 最主要的数学工具 为了 说明 它的作用 首先要明确自协方差函数或自相 关函数是什么意思 从图 3 可以看出 对某一时间序列Z 陀螺方位角速度漂 移的部分数 据 Z 十 与Z 有相关性 同样Z 与Z 也有相关性 这个统计特性可用相 关系数 回归直线 的 抖率 来 表示 并且Z 与Z 的相关系数 称为过 程 Z 当迟滞为1时 的 自相关系数 定义为 E Z 一 Z 一 了E Z 一拼 么 亿E Z 一 z 2 如果过 程 Z 是 平稳的 则 E Z 一召 Z 一娜 一 a 登 式中 兰 E Z 一拼 2 同样 Z 2 与Z 的相 关系 数称为过程Z 当迟滞为2 时 的自相关 系数 定义为 p Z 二 如果 Z 是平稳 的 则 E Z 一拜 Z 一井 了E Z 一 拼 2 亿E Z 卜 一z z 二 互以宜二丛丛多 丝二三 四 J二 一般地说 过 程Z 当迟滞为k时 的自相关 系数定义为 Pk 如果 Z 是平稳 的 则 E Z 一拜 Z 十 一 拼 了E Z 一 拼 侧E Z 十儿一 l Z E Z 一 拜 Z 十 一 拼 a 二么 2 21 其中 a 三 E Z 一 l 是平稳时 间序 列Z 的方差 通常还将尸 Z 一 拌 Z 一 拜 定义为Z 当迟滞k时 的自协方差 即 r e ov Z Z 卜E Z 一拼 Z 十 一 拼 r E Z 一产 2 二口 二 对于平稳过程 Z 显 然有关系式 2 22 2 23 p 二一 0 P 1 2 2 4 192 于是 就可形成 自相关函数 p 秃 九一0 1 2 一和 自协方 差函数 r 九一 对于实际测得的时 间序列 数据 自协方差函数和自相关函数用下式估算 0 沐相应地 记 为 r P 气一 命 馨 乙一 乙 一 一 一 2 23 r 一 一只 r k一0 1 2 2 2 4 对于 任何平稳的时间序列Z 它 的 自协方羊钥阵和 自相关系数矩阵为 r N rorlrZ r刃 一l r工ror工 rN 一2 rZr3r rN 一3 r N 一 1rN 一2 r N 一3 九 PlP2 口 p 万 一1 户 户 一2 P 一 IP 刃一3 z P 刃一ZPv 一 一a兰尸 l l e e e e l e s w e e e e s e s e s e s e s s e 1户p 脚 l e s e s e s e s l b 一一 由于它是正定 的 见 附录 1 因 此可以推得 对于 任何平 稳过 程 Z 其自相关系数应满 足条件 一1 P 1 九 1 2 2 2 5 所确定 的约束关系 见 附录 1 由此可见 自相关系 数 p 当作k的函数 可以用来判 定一个过程是平稳过 程 还是非平稳 过程 见图 5 例如平稳过程A R 1 即马尔可夫过程 如下式所示 Z 必 Z 一 十a t 其自协方差函数为 功 告 一 侧 一一一1 一 几 V 1一势l 其中 e o v a a 口子 k一0 0 寿笋0 而其自相关函数为 户 功 为 为二o z 2 因为一1 功 1 k 二0 k 1 k 1 了 了 刀 一一 r 月 一 n 口 l 一 十 n 了 J J 气 一 一 八 由此可见 过 程MA 1 的自协方差函数或自相 关函数在一次迟滞 l 3一1 之后截 断 在下 面可以看到 这是移动 平均过程的一个重要特点 对于 一般 的移 动平均 过程MA q 它可用下式表示 Z 一a 一 0 za 一z 一 一 0 a 一 因此有 r E a 一夕 a 一 一 一 夕 a 一 a 一 一口 a 一 一 一 一 0 a 一 一 j 一0 8 1夕 十 口 0 0 一 8 a 0 三 寿 1 2 q 2 2 6 k q k 1 2 q k q 由此可见 移动平均过程M且 q 的 自协方差函数或 自相关函数当k q 时截断 不等于 零 的迟滞数 q 就 是MA过程 的阶数 q 对于一般 的自回归过程AR p 自协方差函数 或 自相关函数的特点 与MA q 的 自 协方差函数 或 自相关函数的特点正好相反 即它必定 拖 尾 见附录 2 如果 A尸 p 的线性 运算子功 B 的逆 运算子犷 B 存在 那末这也可以从A R P 模型相 当于 无 限 次阶的 MA模型 来说 明 因此 一个随机过程 Z 的 自协方差函数或 自相关函数截尾 与否是从AR IMA p d q 中识别 过程 Z 的模型类型 的一个重要 准则 但是 从观 测数据中求自协方差函数或自相关函数 只能 得到其近心值 因此不可能 出现绝对 截尾的情况 这 就需要从概 率统计 的 角度来理 解 并且为了进一步 提 高识别能 力 有必要 寻找 另外的补充识别方法 i 11 偏相关函数 前面已指 出 对于一个纯 q 阶的M左 q 过程 理 论上 的 自相关函数在迟滞 q 之后便 截尾 而对于一个纯A R p 过 程 自相关函 数无限拖 尾 为了提高识别能力 下面提出 偏相关函数的概念 一 偏相关函数概念是 这样产生的 先考虑理R l 模型 并 估 计价 然后考虑合 适 的 194 AR 2 模型 并 估 计必 2 再 考虑合 适的AR 3 模型 并估计必 等等 这就是 说 我们考虑 越来越高的k阶A R模型 并 估计最 后 的系 数功 把沪 当作k的函数作图 可以知 道 当k p 时 沪 将接 近于 零 这样得到的 人 k 二1 2 就叫做偏 相关函数 关于 偏相关函数的计算 完全可以从自协方差函数或 自相关函数求得 例如由于 AR 1 的 自相函数是 p 必 k o 因此得偏相关函数功 的值是 诱 p 又如A R 2 的自相关函数当迟滞 为1和 2 时分别为 P皿 必 1一功 2 p Z 诱 功产 1 一必 2 因此得偏 相关函数功 的值为 功 2二 p Z 一p 1 一 P圣 通常 偏 相关函数诱 可由下式 J D t rbi n 19 60 递 推求得 推导见附录 3 功 十 川 价 一 协 十 价 一 十 j二i 2 尹 必 P p 主 P p 1一s 艺同一勺弘 J 汤 上 p 艺 1一 其中功 p 一1 2 j 1 2 p 表示模型 AR p 中Z 一 项的系数 由于 p 是从观测 的数据 估算得到的 因此 具体算得 的必 也是有误差 的 从 时 间序 列模型的分析知 道 一个MA 1 模型 在可 逆条 件下 0 q 1 下 一 由此可得标准误差估计 值 p 是 子 命 之 贵 2 客 斤 2 凡卜q 这时 自相关函数p 的 9 5 置信限是 Za p 2口仁P 二 万 王厄 1 2 艺 户 这就是说 如果 取 q一 则 Za p 二2 二 产2 因此对所有迟 滞 的P 如果 l少l 2 p 了刀万 尸 就认为p 与 没有区别 如果 迟滞为 1 的 p 不满足 就认为 p 不是 0 然 后 取 q一1 得 2子 协 一赤 1 苏 再看是否对所有 k 1的 迟滞 p 满足 仄卜 赤 石 如果 满足 则 无疑 取 p 铸 O p 寿一O 伪 1 的模型 偏 相关函数 估计 值必 的方差 近 似公式是厂M H Qu e nou i l l e 9 491 Va r 葵 之命 k 由此得标准误差估计值a 功 是 全 几 1 L尹几备 场 一一元万五 IV 一 因此 偏 相关函数功 的9 5 置信限是2试人 2 诱 巴 N I产名 犷 p d q之 间的构通 从 A R p 模型的可逆性可推 得无 穷阶的MA模型 同样 从MA q 模型的可逆性 可 推得无穷阶的AR模型 可见 p 与 q之间是可以互相构通的 79 例如 对于MA 1 模型 Z 二 a 一0 xa 一1 1一0 B a 只要功 一0 户二0 这模型 也可认为是ARMA 1 1 模 型 1一功 B Z 1一夕fB a 这是因为当 必 1 以 g 并且G 不相 等 则可褂 户为一 A G l 十 A 吼 七 且 G k q 一 p 如果G 工 G G 在单位元内 并且不接近边 界 则 当寿充分大时 p 拖尾 较快 如果G 中有一个例如 G 接近单位元边界 即 G l一 1一d 其中d是很小的正 数 则 P 全A z 1一k占 就 拖尾 较慢 即是慢慢地减落 并且很接近直线 因此 如果自相关函数不是很快地拖尾 就可以当作有一个根接近单位元的 边界 也 了 7 就是说 过程Z 不是平稳的 而甲Z 可能平稳 从以上分析可 知 对于实际问题 有必要对相 近的 p d q 几 种模型 作进一步 的比 较 最后选 出既简单而又合理的模型 这 就需要 对模型的参数作进一步的精确估计 并通 过检验来达到 vi 单个抽样时 间序列 数据均值的标 准误差 往 往时间序 列经差 分后 所得的数据 其均值可能 很小 那 末要不要 考虑 它呢 这同样 可以通 过 与它 的标i佳误 差o 才 比较 来决定 即以 9 5 的 置信 限 Za 附 来区别是零或 不是零 对于 A R IMA p d q 模型 诱 B 牙 一拼二 0 B a 牙 一 dZ 式中 从一W一乏 研 n 的方 差为 t一1 a Z 附 一 艺 P 例如对于左 R MA d 1 模型 其 差分均 值 近似标 准误 差为 t万 ro 1 ZPI 护弓 2 参数估计 利用自相关函数 和偏 相关函数识别 了时间序列的模型 类别 之后 和0 作精确估计 在确定模型 类别 ARIMA p dq 之后 设 a 是正 态分布的 2 一 aa 一 一 一 睿 一 Za 2 扰要对模型的参数 必 则 a 联 合分布函数是 其中 口 可由模型 班 一c l j l附 一 一 功 研 夕 a 一于夕Za 2 一卜 夕 a 附 甲 dZ 一 拼 求得 显然 由于参 数功 f i 2 尹 口 j 1 2 二 口 选择的不同 尹 a aZ a 也就不同 确定功 0 a 的准则是 在假定模型为正确的条件 下 确定功 0 使 P a a a 取极大值 这样确定 参数 的方法称为极大似然参 数估计 法 其详细叙述与 计算程序 见参考文献和资料孔 3 检验 i X Z 检验 从 A RIMA d 模型中取前K 个自相关函数石 言 k一 2 一 K 的值 如果所拟合的模型恰当 则有 0二 n 艺p 2 a 为二二1 198 近似地 与才 k 一 p一q 相当 其中 n 二N一d 是用于 拟合模型的平 的个数 11 总体检 验 这就是对单个抽样 时 间序列所拟 合的模型 检验其对总体是否合 适 先把单个抽样 时 间序列设 想成 总体 然 后比较经验 的均方值和 按模型得到的理论 的均 方 值是否叠合 111 修改模型 如果所得模型为 夕 B 7 d O Z e B 6 其中b 不是白噪声 则此模型为错误模型 这时可利用b 的目相 关函数进行识别 得到 下列模型 万 刀 甲 6 一盈B a 其中 a 是 日噪声 这样可修改模 型 为 功 B 贾甲d 7 z 一 口 B 一瓦 B 陀螺角速度漂移的数学模型 1 识别 参数 的 初估计 图 表 示一个长 时期 工作 的三 自由度陀螺 仪其方位和 水平方 向的角速度漂 移 抽 样 序 l 列 每 隔 5 分钟 方位 和水平各抽样一次 各得6 3 1 个数据 漂 移角速度的变化规 律显示 了非平稳特性 经平稳性检验 确 实两个方 向都不平 稳 但经 一阶差 分后 见 图 2 数据 变成平 稳变化的了 经 平稳性检 验 两个方 向确属平 稳变 化 这些性质也 可从目相关函数 的变化规律 来得 到 因此对一阶差 分后 的数据 进行数学分析 习理 丁友示水平 对方 位和 方位对水平 的互 相关函数 l t l 图 4 可见 数据经一阶差 分后 其 目关 数 直 三 5 置 区 士 N l了2 一 8 此一 认为 一阶 差分后的水平与方位没有相互影响 下面分别对一阶差分的数据 进行分析 对水平 和方位 的抽样序 列 分别计算了原 始数据和 一阶差分后的数据 的 自相 关函数和 偏相关函数 见 图5和 图6 从 图 5 一可以 看出 水平方 向和方位方 向的原始数据 的 目相关函数不是平稳衰 减 的 而是 p 接近于 1 的缓慢地良减 这表 示 了原始 数据 的 平 伦 性 而经一阶差 分后的自相关函数很快就衰 减 水平的自相关函数在9 5 置信限 沟励 二声 1 科 毛 色 一6 3 1 一 1 2 122 之 088 内可以认为是 零 而在 9 5 置信限 外的只有p 同 样 方位 的 自相关函数在 9 5 置信 限 了 夕 辍辍辍 以勺勺 月 月 O 二 二 雳 乏乏 OO O O 国国国国 弋到到 日叫 叫 J勺 勺 1 1工勺勺1丈劝劝 械械械械 l力 力 瓜口 口 1 叫 叫 0 气气 利利 琴琴琴琴 C 翻翻 二二 匀 匀 1 C 闷二 二 恤恤恤恤 心 二二 C C二二 l 一 月二冲冲 密密密密 I I Il l l1 1 1 1 1 1 1l l l 匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕匕 喇喇喇 心 力力 口q q q 幼 幼 澎澎澎 l 弓二 心二 一 心C C C口勺勺长犷犷OO O O 一一一 0 仁叮 州 州 C OO O O g g g g g g g g g 舀舀 一一 C 0 0 C二二 l l l l l l l l l l l l 一 二 一一一一一一一一一 l l l l l 心O O O 一一一 二二 一一 O O O O O 甲叫 叫O匀 匀 一一 一 尸叫叫 才 才 气气气宁宁 卜J J J 的的 戒戈 戈 OO O O r叫 叫 只只 L口 口 口勺勺 OJ J J 尺到到 O O O 甲甲 心 二二O 心 C 月二 二 心 月二 二 l l l l l l l l l 心 二二 l l l l l l l l l l l l l l l l l 一一一 一一 澳 季季 l l l 一 一 一一一一 气 召召 00 0 0tO O O卜 l 曳了了 l l l l l l l1 心 口O O O 口二 日 闪闪闪 心 O 叫 叫 二二 C C C C C C C C C 二 二二 C C C C C C C C C C 二二 二二二 l l l l l l l l l l l 甜甜 钾州 州 1 1 1 1 1 1 1 口口口q q q气犷犷 弓父 l约 约 一一一 气气 O勺勺t卜 卜卜 巴口口 一一一 宁宁 C r 叫叫叫 州叫 叫 二二二 C C C C C C C l l l l l l l l l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 一一一 止止 上 夕 夕匕一 一 止一一 J J J J J 洲洲洲 r目刊 刊 1 1 1 一一 C C C N N N N N C 冲冲 L0 0 0 C 口口口 e t O C 加加加加之O O O 0 0 0 C 产产产产产产产产 尸尸尸尸尸尸尸尸 落落落 垦 一 l一 l 甲甲 尽 C0 0 0口口口 L L L L L L L 二 O刃刃C勺勺 皿 一 0 0 0 C口口t 口口口口口q q q 州 弓弓 厂 甲 0 0 0 一币 下 氏 一一 一 卜 t 一 一 仁仁仁 一 悦悦 目目 心口口C口口 于 一 卜卜卜卜一一心忿 忿忿忿忿忿忿忿 州州州州州州州州 巨巨一一 一一 0 1 0 一洲 洲 一一 洲洲 o o o o 0 卜 O 刁刁 一一 心口 1 口a 一 卜 口 L己己 一一 to 乃 一 二 卜 卜 一一 悦 a o 一 叩叹叹 吧 义义 二 二 C O 一 二 二 心 二二 t t t口 口口 t 口 口 C勺勺O勺勺 O O O 一 一一 一一 Oq q q 份份 r 气喇 喇 以乃乃亡竺 己 j j j j j j j 口 口口口口口 亡亡亡 x x x 不 l l l l 丁 下 一 一 酬酬 花 花花 悦 二 尸川 曰日 日 一悦 忆忆 叫 二 花任任任 珊珊3 二 忽忽3 忿 理理 凶凶 一一 叩 以二 一 二二 一 宕气 君君 甲 石 0 0 0 咚咚 0 甲甲 刁 且了了 二 l l l r 之尸 揣揣亘黔 厂 丫 巡 一 子 成 O时 儿乎都与零没有区别 因此 a 可以看作是白噪声 这正是可接受 的模型所要求的 经 x Z K 一p一 q 一N一d 检验 取K 2 5 N 二6 3 1 算得下列结果 八 户 艺 水 平 o 1 1 口 na 2 0 9 而显著性水平为 5 时 之之 2扛 是36 寸 1 I l 口 630又0 03 42 2 1 矛 2 3 是35 2 2 1 1 Q一630 又0 0251 15 X Z 2 2 是 33 9 因此 三 种模型 都是可用的 同 样 而 显著性水平为 5 时 了5 而 显著性水平为 5 时 对于 2 界 八 方位 o 1 1 口一 艺X 乏 p 2 a 二2 7 8 倪 二毛 1 1 1 O 63 0 x0 0303二19 0 9 吃2 1 1 Q 6 3 0 x0 0 408 25 7 0 因此 三 种模型都是可用 的 那么 到 底选哪一个较好呢 从表中可以看到 无 论水平还是方位 当模型从 o 1 1 变为 1 1 1 时引进 了一个左R 参数必 或变为 2 1 1 时引进了诬 R参数必 功 2 功 比必 小得多 这仅仅稍 微 降低残量 的方差E a 了 因此 为了 尽可能采用 较简单的模型 以选取A 尸IM月 飞 J 模型较好 之0 1 再从三种模型参数之间的关系进行分析 因从A RIM 一 理 1 1 1 模型 1一必 B 牙 1一夕 B a 可得 不 一 1 尹IB i 一口 xB a fl一 口 一功 B a了 1一 夕 一 必 l B a 因 此它 一可化为 且RjMA o i 1 而 从A R IMA 2 1 模型 1 一必 B一功 2 B 2 不 二 z一8 B a 亡 可得 班 一 i 功 B 功 B 么 必 B 必 B 2 z一夕 B a 1 一 8 一功 1 B 必 2 必 2 一8 必 B z a 1一 0 一 功 B a 因此如果功 很小 它也 可化为ARIMA 0 1 1 现从参 数分析 得 水平 o l z 夕 0 6 6 3 6乏0 6 6 1 1 1 功 一 0 0 2 0 口 1 0 6 539 口 一功 0 6 53 9 0 020 0 6 5 59二0 6 6一模型 0 1 1 中的0 2 1 1 功 一0 160 8 功 0 07 50 口 o 85 2 8 8 一必 0 8 5 2 8一0 16 0 8 0 6 9二 o 1 1 中的0 方位 0 i z 口 0 30 7 6 l 1 必 1 0 2323 0 1一0 576 7 口 一功 一0 5 767一0 2 323 0 344 4二模 型 o 1 1 中的口 2 1 1 功 0 479 7 功 2 0 06 9 3 口 一0 8 7 5 2 8 一诱 1 二0 87 5 2 一0 47 9 7 0 3 9 55二 O 1 l 中的夕 因此也可确定以选取ARIMA o 1 1 为好 3 精估计 为了精确估 计 ARjMA O 1 1 模型 的参数 用极大似然法 算 得 水平 0 0 7460 对模型 AR IMA o 1 1 1 一B Z 一0 35x1 0 一 a 一0 7 凌6 0a 一1 方位 口 0 39 9 5 对模型 A R IMA o 一 i 1一B Z 0 95x20 一今 a 一o 3 995a 一 从自噪声 一a 十b 中包含一个偏 值 b来 看 因为对 水 平 方 位 b二 0 o 1一0 1 b 1 6X 一 1 4X10 一5 10 一4 因此模型方程可写成 水平 Z 一 Z卜 十 一 0 7 5 卜 一Z l a 一1 4x 15 一 一0 7 5 a 一1 4x20 一 方位 Z t Zt 一0 4 0 卜 二 Z a 1 6x1 0 一4 一0 40 a z z 6xzo 一4 20 2 按模型A 刀 MA 0 1 1 数据 得 水平 l一B Z 0 7460 卜 方位 1一B Z 0 39 9 5 卜 1 也可 直接算得 水平 b 一0 6 77 3 x 10巧 方 位 b o z5 7sxzo 一 在以上计算中有累 积误 差的影 响 要 不要 考虑口 呢 现计算 尽 一艺不 n 的近似标准误差 地 少 一 水平 二 附 丫 1 Zp 5 2X1 0 一4 了 限 气 1 气 方位 二 研 一 0 2 3x1 0 一 1 2 一0 4 6 6 3 0 0 43又10 一2 1 2 一0 2 8 6 30 l s 到 l i 到 23X10 一3 而 水平的 尽 一o 3 5 x 1o 一 方 位的 一0 9 5 一4 都 在9 5 的置信限 2仃 声 内 似 可忽 略不计 但是 从 A R IMA O 1 1 模型 Z Z a 一8 a l b i 一6一 的封闭 式 Z Z 叉 a 一口t艺a 一卜 b z 一口 才 It n 推得 其均 方值为 E Z 2 E Z 叉 a 一 8 乏 a n b i一0 E 2 0 2 na 2 z 8 2 一2 n一1 口 J 2 n bZ 1一 0 2 一 E Z oZ j na 2 1 一01 2 nZbZ i 一 8 1 2 2口 a 2 二E 2 02 nJ 2 1一0 n bZ 1 一口 2 可见 当 n 充 分大时 Z 可取 作零 而 n bZ l 一0 1 2 将随 n 的 增大而 剧增 因此 从长 时 间运行考虑 b 不能 忽略 4 总体检验 把单个抽 样 时 间序列设想成为证实模型 和参 数所需 的一个总体形式 就是把陀螺 角速 度漂 移抽样序列以2 1个单位 时间为一段 分成 3 0 段 第一 点就是每一段的 起点 这样得到 2 1 个单位时 间上 的经 验总体均方 值 E Z Z J 利用 模型 又可算得理 论的 总体均方值E Z 十 na 1 一0 十n b 1 一0 由于数据较少 理 论的和 经 验的总体 均方配合不够理 想 现用差分后的数据 作为总体进行分析 从模型 20多 1一B Z a 一0 la a 斗 一 b门一口 推得下列均方关系 E 1 一B Z i 一卜夕 口 2 bZ 1一0 2 就方位而 言 图 7 示出它的经 验 的和 理论 的均方曲线 可以看到这 时有较好的拟合 5 结论 本文进行分析的三 自由度陀螺仪 沿两 根轴的 角速度漂 移过程由两部分组成 一部分 是平稳 过程 另一部分是非平稳过程 随机游 动和 随机滑 落之和 四 结 束语 本文用某一个三自由度陀 螺仪在某段时 间内沿两个轴 的角速度漂移的测试数据 进行 了具体的 数学分析 并建立了相应 的数学模型 由所得结 果可知 被 分析的屯自由度陀螺仪 的角速度漂 移是平稳 随机过程和 非平 稳随 机游 动及随机滑 落的总和 这基 本上揭 示 了陀螺 随机角速度漂 移的本质 对陀 螺仪的性能 提供了定性结论 它 对于 评定 陀螺仪 的质鼠是有 用的 但 是 为了解决惯性导 航系统的 最佳设 计 问题 要进一步建立关于 长时 间 的陀螺 角速度漂移 的数学模型 要解决 这个问题 首先要对批量生产 的 陀螺仪 进行长时 间的抽 样 测试 获得 陀螺角速度漂移随机过程的样本数据 此外 如果 还要 考虑 三 自由度陀螺仪两 根 轴 间的相互影 响 就要 研 究建立多维模型 的方法 有时还 需要将离 散型差分方程化为连 续型的微 分方程 由整个建立陀螺角速度漂移数学模 型的过程可以看出 本文所用的方 法 对于 解决 这类问 题是有效 的 五 附录 1 任一平稳过程的 N个相继观 测值 z z 一 二 的自协方差 矩阵I 一 和 自 相关矩 阵尸 N 分别为 ppl P ll八 2 户P r 厂 J 一 l r 11 一 l r 9 厂 N 一 r 0 七P拌 z P厅 P万一s P万 1 P 刀 2 P N 3 1 一 几 r l r o 与 一 r lr nr l 场 几r l 札 N r 广 l l e s t e s e e七 一一 N r 是正定的 证 设Z 是平 稳随机过程 考虑 随机变量 二 z 十 z 十 的任一线性函数乙 L 一1 1之 l 之 一 l 之 一 1 其中l l l 不同 时为零 因 c v z z r l l 一 则得乙 的方差为 N材 va r 去 二艺 叉l I r o 根据二次型 正定性的充要条件 可得 204 ror 孟rZ r 万 z r lr o r l r万 2 r么rlr rN s rN 1犷N 2rN 3 r 0 P 2 P I PN 互 户N 2 P N P 一 1 户N 3 口 二2 尸刃 P泞 Z P拌 3 I P I 八 爪 P 厂l e e l s el e s w e e e e e七 口 是正定 的 从 尸 的正定性可得 户 p p 的绝对值小于 例如万一2 有 丁 一 1 只 一 1 f O 户1 1 0 一 J f P l 八 白 P I户 0 卜 p1 P l 因此可推得关系 一 P 1 一1 八 1 一 一 P Z 一p 飞 2 L 一万 矛 l一荞 o 注意 当k O时 其中E Z 卜声 一O 因为Z 卜 一 只包含 a a a 支 而 这 些与 a 无 关 差分方程两边除以 r 可得自相关函数 p 满足同样的差 分方程 p 价 p 一 诱 Zp 一 诱 p p 一 九 o 上式也可写成 功 B P 0 k 0 不过 这时 其中B作用 于k而不是作用 于才 必 B 几 1一G B 官二二l 片设G G Z G 不相等 且在单位元 内 则方程 的一般解为 p 二 月I G 一 且 C Z A G 如果G 是 实根 贝 J过 随壳增大而 趋于 零 如果 C 是一对共辍 复根 则 A 住 十 A 几一 d入5 1 2二fk十F 按正弦 波波 动 205 如果 一久 则一般解为 p 为 G 且 k 且2 A 3 G 3左 月 G 其它情况相仿 由此可知 对于 A R p 模 型 自相关函数 P 拖尾 3 偏相关函数功 的Yu l e一W a lk e r 估算的递 推公 式推导 从 附录 2 知 对于 才4 R p 模型 自相关函数 p 满足 差 分方程 p 诱 lp儿一 十 功 Zp 一2 必 p赴一 k o 若用观测数据 估算p 以 替 代 p 则到得对于 模型AR P 的系数必 的 估算值 功 由于偏 相关函数功 就是模型A尸 P 的 最后一项系数系数 因 此就可求得 如下偏相关函数的估算 若 用k代替 p 用j 代替k 则对于模型AR k 的系数必 人 2 功 满足关系 只 要取前k个 p 功 人 p厂 功 Z p 一2 必 一 p 一 十 娇 儿户 一 i 召 k 取庵一工 2 解 上 列对 应的方程组 就可得 到偏相关函数必 k 一1 2 的Yl l l e一 W a lk c r 估算方法 D ur bin的 递推 公式推导 对于k 一2 人 人 的Yu l e 一W a lk er 估算方法是 解方 程组 P 诱 2 p 必 2 p 一沪 2 功 2 P I 由此得到解的矩阵表达式 产勺 子 Z I 鬓 一 2 一 穿 R Z一 气 居1 对于k 3 功 工 必 3 娇 33 的Y u le 一Wa lk er 估算方法是 解方程 组 p 诱 p 功 3 p 必 p Z一 功 p 必 3 功 p p 必 3 必 p 功 3p 从 卜 列第 2和 第 个方程可知 功 3 九 可用九 表 达成 1 一 2一 p Z 一必 35 户 一功 3 p Z l 八 砍 八 砍 一 2 一 言 一凡 3 2 一 岌 1 一 贰 争1 L 功 2 J 咖 成 206 必 3 一功 2 一功 功 功 3 一功 一功 功 将上述 结果 代入第 1 个方程 则可解 得 口 一 必 p 一功 22 z一 必 p 一功 户2 这就是说 人 可以从功 和 人 求得 从而可得必 3 必 川数学归纳法 可证得一般 的递推公式为 诱 一 一 j 1 2 k一 八 人 一 J 一 人 入 一一 户 一习功 一 p 一 少 l 九一1八 八 l 一艺功 p J 二1 八 九 八 诚 六 参考文献和 资料 1 A 5 O rav etzan dH J S on d b e r g S tatio na ryan dN o nstationa ry C h ar a 一ctez istie o fG丁r 一 0 D rift R a t e A I AAJo urna l V o l 8 N o 10 O e t o b七r x 97o 2 G E P B o xan dG M Je n ki ns Tim e S eries A n a ly sis Fo r e ea stin g an dC on tr o l H o 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