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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题1.（2012北京高考理科16）如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如图2.（1） 求证：a1c平面bcde；（2） 若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；（3） 线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由.abcdecbeda1m图1图2【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.【解析】（1），又.（2）由（1）可知，两两互相垂直，分别以它们为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为，由，令，得，设所求线面角为，则，.（3）假设存在这样的点p，设点p的坐标为(m,0,0)，3, ,设为平面的法向量，由，令，得，又垂直，解得（舍去）.所以不存在点p.2.（2012辽宁高考理科t18）如图，直三棱柱，点m，n分别为和的中点.()证明：平面;()若二面角为直二面角，求的值.【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值【解析】（1）连接,由已知得m为的中点，又n为的中点，所以mn为三角形的中位线，故,又因此（2）以a为坐标原点o，分别以直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则,从而所以设是平面的一个法向量，由得取，则，故设是平面的一个法向量，由得 取，则，故因为为直二面角，所以.3.（2012天津高考理科17）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，bca，.()证明丄；（）求二面角的正弦值；（）设e为棱上的点，满足异面直线be与cd所成的角为，求ae的长.【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.【解析】方法一：如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0),d(2,0,0),c(0,1,0),b，p（0,0,2），（）易得于是，所以pcad.（）设平面pcd的一个法向量则不妨令，可得，可取平面pac的一个法向量，于是从而所以二面角a-
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