计算机数学基础数值分析期末复习提纲.doc

计算机数学基础数值分析期末复习提纲 中央电大数理教研室计算机数学基础数值分析部分是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，使用教材是任现淼主编、吴裕树副主编的计算机数学基础(下册)数值分析与组合数学(中央电大出版社出版)。期末考试全国统一命题。一、期末考试试题期末考试的试卷有单项选择题、填空题和解答题。单项选择题和填空题各5个题，分数约占30。解答题共5个题，包括计算题、化简题和证明题等，分数约占70。各章分数的分布为第9章约6分，第1014各章有选择题、填空题和解答题，分数分配大致与所用课时成比例。期末考试的内容和要求以中央电大编发的计算机数学基础 (下)数值分析部分考核说明为准。主要考核基本概念、基本原理和基本运算。可以带简易计算器。二、考核知识点、要求、例题与参考练习题以下分章给出期末考试的考核知识点、复习要求、例题与参考练习题，供期末复习和考试参考。第9章 数值分析中的误差(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 (二)复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。(三)例题例1 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 0.002 009 000.00解 因为x1=2.000 40.200 04101, 绝对误差限0.000 05=0.510 15，即m=1,l=5,故x=2.000 4有5位有效数字. 相对误差限x2=0.002 00，绝对误差限0.000 005， 3位有效数字。相对误差限er=x3=9 000.00，绝对误差限0.005，6位有效数字，相对误差限为 er=0.000 0005 6例2 ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？解 精确到1030.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是e0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln20.693。(四)参考练习题: 练习9.1：(B)4，6，9；练习9.2：(B)2；习题9：1第10章线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法，超松弛迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。(二) 例题例1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元 于是有同解方程组：回代得解： x3=1, x2=1,x1=1。原线性方程组的解为X(1,1,1)T。例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代公式 (k=1,2,3,)第1次迭代,k=0，X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1， ，得到 X(2)(5,3,3)T第3次迭代，k=2， ，得到X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=3， ，得到X(4)(1,1,1)T例3 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。解答 1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。2.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0,1,2,)解答 高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：3. 当( )时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A) 6 (B) =6 (C) 6解答：当a6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。应选择(A)。(四) 参考练习题:练习10.1(A):：1,3；(B)1,2；练习10.3(A)：2；(B)1,2；习题10 ：1,8第11章 函数插值与最小二乘拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，样条函数，三次样条插值函数；最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5. 知道三次样条插值函数的概念，会求简单的三次样条插值函数。6.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，(三)例题例1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)例2 已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。 kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为：一阶均差 二阶均差 例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明： 证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x) 当f(x)1时,1。由于,故有。例4 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 将的计算结果列入表中。因为n=5。a0,a1满足的法方程组是 解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25xkxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5例5选择填空题1.通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满足( ),则P(x)是不超过一次的多项式。(A) 初始值y0=0 (B) 一阶均差为0 (C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。2. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)解答：(A)，(D)。见教材有关公式。(四)参考练习题：练习11.1：(A) 5；(B) 2，3，5；练习11.2：(A) 1,2;(B) 2，3，4； 练习11.3：(A) 1;(B) 1,3,4；练习11.4:(A) 1,3; (B) 1,2；习题11：5(1) (3),6第12章 数值积分与微分(一)考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿科茨求积公式，科茨系数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯勒让德求积公式； (二点、三点)插值型求导公式。(二) 复习要求1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。2. 了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。 (三)例题例1 试确定求积公式的代数精度。解 当f(x)取1,x,x2,计算求积公式何时精确成立。(1) 取f(x)=1,有：左边, 右边2(2) 取f(x)=x,有：左边, 右边0(3)类似导出， 取f(x)=x2, x3, 有左边=右边(5) 取f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2 试用梯形公式、科茨公式和抛物线公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算 (2)用科茨公式 系数为 (3)如果要求精确到105，用复化抛物线公式，截断误差为 RNf, N2只需把0.5,14等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1 例3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分解 做变量替换，有 。查表得节点为0.774 596 669 和0；系数分别为0.555 555 5556和0.888 888 8889 +0.888 888 8890.94083124例4已知函数值f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612，用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。解 三点导数公式为 k=1,2,3,n1本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1。于是有 例5 选择填空题1. 如果用复化梯形公式计算定积分,要求截断误差不超过0.5104，试问n( )(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40解答；复化的梯形公式的截断误差为，n=40.8 ,取n41。故选择(A)。2.已知n=3时，科茨系数，那么 解答：由科茨系数的归一性质，(四)参考练习题：练习12.1：(A)2；(B)1，2；练习12.2：(A)3；(B)1，2；练习12.3：(A)1；(B)1，2；练习12.4：(A)1；(B)1，2；习题12：7第13章 方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。(二) 复习要求 1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。4. 掌握弦截法。 (三)例题例1 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过106。解 令，求x的值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过106，计算结果应保留小数点后6位。当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 078 7.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例2 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2。取x1=1, 迭代公式为: (n=1,2,) 1.37662 148881 146348 1.46553取1.46553，f(1.46553)0.000145例3 选择填空题1.设函数f(x)在区间a,b上连续,若满足 ,则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根。解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异号，即f(a)f(b)0，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根。2.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解答：在(A)中,=1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B)，(C)， (D)中，j(x)满足，迭代收敛。(四)参考练习题：练习13.1(A)2; (B)2,3,4；练习13.2(A)1(2); (B)2,3,4；练习13.3(A)3; (B)1；练习13.4(A)1; (B)1,4 第14章 常微分方程的数值解法(一)考核知识点欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；龙格库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1.掌握欧拉法和改进的欧拉法(梯形公式、预报校正公式和平均形式公式)，知道其局部截断误差。 2. 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。 (三)例题例1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当k1,x2=0.4时,已知x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)=0.8例2 用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位。解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx欧拉预报校正公式为：有迭代公式:当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1