立体角、空间角及发光角计算公式.doc

立体角、空间角及发光角计算公式摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。关键词：立体角，发光角。0引言光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I表示。若在某微小立体角d内的光通量为d（，），则该方向上的光强为：I（，）=d（，）/d。式中，d的单位为sr（球面度），光强的单位为cd（坎德拉，烛光）。1 cd=1 lm/sr。但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。1立体角的定义将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：= 图1平面角（单位：弧度rad） 图2立体角（单位：球面度sr）2立体角的计算设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2和2，求其所对应的立体角的大小。设02，02不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。图3 计算示意图曲面面积计算公式为：A=dxdy （1）上半球球面方程为：Z= （2）由 = （3） （4）得 （5）代入（1）式得：A= (6)利用极坐标，得：A= (7)易知，积分区域在xy平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：+y2=1 (8)x2 +=1 (9)交点坐标（,)1=arctg (10)2=arctg (11)将x=rcos，y=rsin带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： (12) (13) 图4 xy面投影 根据对称性，有： A=4(A1+A2) (14) A1=A2= 于是，A1= =）d=1- d=1- 设t=sin，则cosd=dtA1=1-=1-=1-arcsin(cost) =1-arcsin(cossin1) (15)同理，A2=2-arcsin(cossin2) (16)带入（14）式,得出最终结果：A=4(arctg-arcsin(cossin(arctg) +arctg-arcsin(cossin(arctg) (17) 特别地，当=时，1=2=/4，A1=A2=/4-arcsin(cos/)3数值结果2a2b 2 2153045607590105120135150165180150.068300.1350.268450.2000.3970.588对600.2610.5190.7701.011750.3180.6330.9401.2371.519900.3700.7361.0961.4451.7802.094称1050.4150.8271.2341.6322.0162.3822.7231200.4530.9041.3511.7912.2122.6363.0303.3921350.4840.9661.4451.9212.3892.8483.2913.7104.0911500.5061.0111.5152.0162.5143.0083.4923.9644.4114.8111650.5191.0381.5572.0752.5923.1083.6214.1304.6325.1155.5441800.5241.0471.5712.0942.6183.1463.6654.1894.7125.2365.7606.283参考文献周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11同济大学数学教研室，高等数学，高等教