利息和年金.doc

第一章 利息和年金1.1利息 在日常生活中，如果你到银行存款，银行会支付给你一定数额的利息。在本金、利息相同的情况下，存的时间越长，存款利息就越多。同样，当你从银行借款时，你要支付借款利息给银行。企业发行债券的话，也要向债券持有者支付利息。这里的银行借款利息和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时间越长，成本就越高。对于一个企业，要想得到发展，一般会通过各种方式向金融机构筹资，因此就必须研究使用资金的成本。1.1.1单利1) 定义单利是一种最简单的计算方法，指各期的利息都以本金为基础，计算公式如下: (1.1)式中，I为利息，P为本金，R为年利率，T为年数。例11 某人在银行存款5 000元，准备在4年后取出。已知当时的存款年利率为6。单利计算，问此人在4年后所得到的利息是多少？解： 在这里，本金P5 000元，利率R6，存款时间期数T4所以此人在4年后将得到利息1 200元。例12 假定某人有闲置资金7 560元，用于某项短期投资。已知该项投资的年利率为8.25，投资时间为280天。单利计算，问此人能从该投资中获得多少收益？解：注意式(1.1)中的时间期数一般以年为单位，因此先将时间化为以年为单位即该项投资收益为478.44元。2)单利的终值和现值终值又称到期值或本利和，指一定期间后本金和利息的和。记为S.由式(1.1)得： (1.2) 现值指一定期间后，一定量货币(终值)在现在的价值。记为P。由式(1.1)及(1.2)得： (1.3)例13 某人用7 000元作一项时间为18个月的投资，已知该投资的利率为9.5。单利计算，问18个月后可得本息总额多少？解：在这里，本金P=5 000元，利率R9.5，存款时间期数 因此，到期的本息总额为 其中，7 000元是本金，997.5元是利息。 例14 假定某学生的父母在该学生高一时存入一笔本金，用于3年后该学生读大学。已知当时的存款利率为4，按单利计算。若3年后所需的费用为40 000元，问当时应该存入的本金是多少？解：由于，所以即当时应该存入的本金约为35 714元。单利基本公式中共有四个因素，已知三个因素值，即可求得另一个因素值。例15 已知用4500元投资债券(单利计算)，三年后得到本息总额5 985元，试求该债券的年利率。解：这个问题中，本金P=4 500元，时间T=3，本息总额S=5 985元，则投资该债券3年的利息为I=S-P=5 985-4 00=1 485(元)，因此即年利率为11。例16 已知年利率为5，按单利计算，想要把80 000元变成100 000元，则需用多少时间？解：已知本金P=80 000元，利率R=5%，本息总额S=100 000元，则利息I=S-P=20 000元，因此即需要5年时间。1.1.2复利1)定义复利是根据前期利息及本金之和的利息，也就是不仅要计算本金的利息，还要计算利息的利息，俗称“利滚利”。例17 试按复利计算：年初存入1 000元，年利率为10，第3年年底到期的利息。解：第一年：本金第1年的利息为100元；第二年：本金第2年的利息为110元；第3年：本金第3年的利息为121元，这样到第3年年底的利息为再让我们比较一下按单利计算的利息。本金P=1 000元，利率R=10%，T=3，I=PRT=。由此可以看到，按复利法计算的利息比单利法计算的利息要多。2)终值和现值(1)终值按复利计息时，其终值计算见表11。表11 复利终值第1年年末 第2年年末 第n年年末 一般地，复利公式为： (1.4)式中，P为本金，S为到期本金和利息总额，r为每期的利率，n为计息期数。例18 一项投资的期限为5年，年利率12，每半年复利一次。问每个计息期的利率以及计息期数分别是多少？解：已知年利率R=12%，每半年计息一次，因此每个计息期的利率为而计息期数例19 已知小王投资一个为期4年的项目，投资额3 000元，年利率(复利)为13，每2周复利一次。问四年后小王的投资收益是多少？解：在这个问题中，已知本金P=3 000元，由于是每2周计息一次，因此计息期数,每个计息期的利率，所以元因此小王的投资收益为(2)现值由式(1.4)得：例110 已知某对夫妇想在5年后能获得10 000元，银行的年利率为2.25，每季度复利一次，则应该一次性在银行中存入多少钱？解：即应一次性存入8938.79元。需要注意的是，按复利方式计息时，计息期可按年、半年、季、月来计算。在年利率既定的条件下，期数越多，计算利息的次数越多，终值就越小；反之，期数越少，计算利息的次数越少，终值就小，现值就大。例111 在上例中，如果该夫妇一次性存入银行5 000元，分别用单利和复利计算5年后的终值为多少？利息收入分别为多少？(年利率仍为2.25，每年复利一次。)解：按单利计算：P=5 000元，R= 2.25%，T=5，所以终值为利息收入为SP=5562.505000=562.50元按复利计算：P=5000元，r=2.25，n=5，所以终值为利息收入为S-P=5588.405000=588.40元3)实际年利率在实际生活中，我们总会有这样的感觉，我们实际支付的利息好像要比金融机构所公布的利息多。让我们看下面的例子。例112 假设你急需10 000元掉头寸，财务公司甲的贷款利率为年利率15.5，每年复利一次；财务公司乙提供贷款的年利率为15，但是每周计复利一次。你选择向哪个财务公司借款？解：在这个问题中，你只需比较所要支付利息的多少就可确定。财务公司甲：一年后所需还款额为所需支付利息为I=SP=1550.00元；财务公司乙：由于每周计息一次，一年后所需还款额为，所以支付利息为ISP=1613.10元。由此你可以决定向财务公司甲借款比较有利(尽管公司甲的利率比公司乙高)。在例112中，如果选择向财务公司乙借款，则一年中实际需要支付的利息为1613.10元，由此可知这一年的实际利率为16.131。一般地，设本金为P，每期的利率为r，一年内计息期数为m，年实际利率为e，则所以，年实际利率公式为其中，m为每年的计息次数，r为每期利率。1.2年金在商务领域里，除了研究单利与复利外，更多地遇到的是年金问题。本节将讨论年金。1.2.1基本概念1)定义年金指在一定时期之内，每隔相等的时间连续存入或支取的等额存款、系列收支，如债券利息、租金、保险费等都是常见的年金。 2)年金的种类按收付情况的不同，年金可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。普通年金指收入和支付的时间均在每期期末的年金。如果某企业于某年2月1日租入一台机器，期限为3年，每半年支付一次租金。并规定在期末支付，第一次付款的时间应是7月31日，这种租金就属于普通年金。预付年金指收入和支付的时间均在每期期初的年金。上例中的租金如果改在期初支付，第一次付款的时间应是当年2月1日，这种租金就是预付年金。递延年金是指推迟数期之后收入或支付的年金。，永续年金是指无限期的定期支取的年金。1.2.2年金的计算1)年金的终值这里，我们只讨论普通年金终值的计算。普通年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。在计算普通年金终值时，最后一期是不计息的，即计息期为总期数减1。例113设某人于每年年底在银行存款1元，连续存4年，按年利率10计息，则4年末该项年金的终值可图示如下(见图11)： 0 1 2 3 41 (1+0.1) 1 (1+0.1) 1 (1+0.1) 1 图11普通年金终值示意图解：第1年末存入的1元，按年利率10复利3次，到第4年末的终值为,第2，3分别存入的1元的终值依次类推。第4年末存入的1元因已到期，不再计息。记代表每期支付1元，连续支付n期，按利率i计息的年金终值，则本问题的终值可用下式计算 (1.6)将(1.6)式两边均乘以(1+0.1)，得： (1.7)式(1.7)减去式(1.6)，得：元。所以按年利率10计息，4年后1元年金的终值为4.641元。一般地，1元普通年金终值的计算公式为： (1.8)称为普通年金终值系数，表示利率为i时，1元普通年金在n期后的终值。(注意：这里的利率i是指每期的利率。)若年金为P，年金终值为S，则S的计算公式为 (1.9) 例114某企业为了今后设备更新，于每年年底存入银行5 000元，年利率为8，为3年后总共能收回的金额是说少？解：每期存款额P5 000元，利率i=8，n3，可利用公式(1.9)差年金终值表可得：代入上式，得：。即3年后该企业总共能得16 230.00元用于机器设备更新。2)投资基金在实际生活中，许多投资问题都可用年金的终值问题来计算，比如养老基金，保险基金等等。下面通过例子来说明一些简单的应用。例115 某公司职员想在15年后退休，因此他为自己建立了一个养老基金账户，他决定每年年底用功司发给他的年终分红中的4800元存入银行，假定银行的年利率为6，并且来了保持不变，问15年后他的养老基金账户中的金额为多少？解：这是一个年金为4 800元，利率为6，期数为15的普通年金终值问题。查表可得即15年后该职员的养老基金账户中的金额为111724.80元。例116 若上题中的公司职员改成每月底存入400元，年利率不变，则15年后养老基金账户中的金额又是多少？解：该职员改成每月存款，则每期存款额P=400元，期数为,而每期利率为已超出年金终值表的范围，因此我们用公式(1.8)计算得到，所以15年后养老基金账户中的金额为。例117 张先生酷爱旅游，想在2年后去欧洲旅游，已知欧洲10日游的价格为20 000元，现行的年利率为2.25。为使旅游计划得以实现，问从现在起张先生每月应存入银行多少钱？解：这是已知年金终值，求每期付款额的问题。由于所以即张先生每月要存入银行的金额为815.56元。3)年金的现值这里我只讨论普通年金现值的计算。普通年金现值是指一定时期内，每期期末等额收支的现值之和。它和普通年金终值正好相反，如果说年金的终值是零存整取的话，年金现值就像是整存零取。设某人计划于今后4年内每年末均存入银行1元，按利息i计息，则该年金的现值可图示如下(见图12): 111 1 0 1 2 3 4设代表每期1元，n期，按利率i计息的年金现值，则年金现值可计算如下： (1.10)两边各乘以(1+i)，得： (1.11)式(1.11)减去式(1.10)得一般地，1元普通年金的现值公式为 (1.12) 称为普通年金现值系数，表示利率为i，n期，1元普通年金的现值。(注意：这里的利率式每期的利率.)若年金为P，年金现值为A，则A的计算公式为 (1.13) 例118 某企业准备在今后5年内，在每年年底给杰出员工发放奖金10 000元，按年利率10计算，问该企业现在一次要存入多少钱？解：这个问题实际上为利率i10，期数n=5，求普通年金P=10000元的现值。查年金现值表得，由公式(1.13)可得：即现在必须一次存入37 910元，才能在以后5年的每年年末提取10000元的现值。例119 某学校在今后的10年中每半年发放一次奖学金以表彰品学兼优的学生，每次发放总额为20 000元。设银行的年利率为2，并假定利率保持不变。试问该学校现在必须一次存入银行多少钱？解：这个问题实际上为利率，求普通年金P=20 000元的现值。查年金现值表可得，所以即现在必须一次性存入银行360 920.00元。4)分期偿还在现实生活中，很大分期付款的问题可以用年金现值的概念来计算。例120 某笔借款总额为2 000元，期限2年，年利率12，每季度还款一次。(1)求每期还款额；(2)给出还款计划明细表；(3)根据(2)给出的明细表，求出15个月后借款余额数。解：(1)这个问题实际上是已知年金的现值，求每期的年金数。利率，期数，查年金现值表可得，所以每期还款额为(2)还款计划明细表如下 还款计划明细表期次每期应还款额每期应还利息每期应还本金借款余额累计支付利息0284.902000.001284.9060.00224.901775.1060.002284.9053.25231.651543.45113.253284.9046.30238.601304.85159.554284.9039.15245.751059.10198.705284.9031.77253.13805.97230.476284.9024.18260.72545.25254.657284.9016.36268.54276.71271.018284.908.30276.600.11279.31这里，第一期应还利息为应还本金为，借款余额为元；第二期应还利息为应还本金为，借款余额为元；其余类推。(注意每期的利率为3。)(3)由(2)中的表可知，15个月后，借款余额为805.97元。5)借款余额例121某笔借款总额为20 000元，期限12年，年利率9，每季度还款一次。(1)求每期还款额；(2)求出5年后借款余额。解：(1)已知已超出年金现值表的范围，因此利用式(1.12)计算得 所以每期还款额为(2)我们已经计算出P=685.64元，而已还款期数，因此由式(1.14)可计算得即5年后，借款余额为14129.67元。以上我们都是假定利率保持不变，但现实生活中利率会随着经济发展状况而改变，看下面的例题。例123 某人向银行借款60 000元用于购买汽车，期限20年，年利率10.2,每月还款一次.在7年以后，利率增长为年利率11.1.(1)求前7年每月还款额；(2)求出7年后借款余额；(3)计算利率调整后的每月还款额。解：(1)已知由于所以，前7年每月还款额为586.99元。(2)我们已经计算得到因此所以7年后的借款余额为(3)7年后，调整每月还款额，相当于已知借款额为50617.32元，期限13年，年利率(复利)11.1，求每月还款额。此时， 所以调整利率后每月的还款额为例124 某人爱好旅游，因此为自己建立了一个短期的旅游基金。他估计前3年每月底他将提取3 000元，后4年每年底将提取5 000元。已知银行的年利率为8，保持不变。问他应在银行存入多少金额才能保证他的旅游计划得以实施？解：我们可以分两步来求解这个问题。(1)在前3年，(2)后4年中，为了保证在后4年中每年底能从银行提取5 000元，第3年底(在他取出了3 000元以后)他的旅游基金金额应为再将按复利3年期的存款换算成现值。即所以此人应在银行存入例125 某人原计划在5年之内每季度支付500元用以偿还一笔银行借款。但是此人却拖欠了前面8期款项，因此银行决定停止对他的贷款，并要求其在第9个还款期末将所有的前款一次性还清，如果银行的利率为8，此人将一次支付多少钱？解：这个问题中要区分清楚的是：在第9个还款期末，前9期的普通年金终值，而剩余的11期借款余额作为普通年金的现值。这里所以此人将一次性支付给银行款额为S+A= 4877.50+4893.50=9771.00元思考题1.1普通年金和复利的区别是什么?1.2在例19中, 如果学校将无限期地发放奖学金, 其他条件不变, 则应该一次性地存入多少钱?练习题利用单利计算公式完成下表本金P(元)年利率R期数T利息I(元)本利和S(元)12757%4年35715%2年7380170045%3.5年12500017.5%7年15312519%2.25年149.6312756%60月1000012月105020%30月1575167258.25%450天1.2 按复利计算公式求出下列各项投资的收益与终值:投资额(元)年利率(%)投资期限计息期投资收益(元)投资终值(元)5000204年每年4750102年每季5600012.56年半年750222.5年每2周375508.550月2个月10000142年每天1.3按复利计算公式求出下列各项投资的本金投资终值(元)年利率(%)投资期限(年)计息期投资本金(元)22000124每季650221每月7200142每天16000254每年150000152.5每2周1.4 假设某人以年利率13%借得一笔款项, 每2星期复利一次. 问他所支付的实际年利率为多少?1.5 小李以总额为20000元的资金投资某一基金, 当时该基金承诺投资收益为年收益率8%, 每月复利一次,2个月后, 该基金将投资收益提高到9%; 又过3个月后, 投资收益提高到10%, 并一直保持该收益率, 同时投资收益的计付方式不变(即每月一次). 计算2年后小李的投资总收益为多少?1.6 利用年金终值表或计算公式完成下表：每期支付额（元）期限（年）年利率（%）支付期支付期数支付利率（%）终值（元）25415每月2750312每季90107每年1322213每周21559每月1.7 一对新婚夫妇决定为自己设立一个养老基金, 每季度末存款350元, 存期为40年. 已知当时的年利率为13.5%, 并假定利率保持不变. 问40年后该对夫妇的养老基金总额为多少?若基金简历20年后利率下降为10%, 则40年后总额又是多少?1.8 某人想在5年后花100000元购买一辆汽车, 为此他从现在起每月底存入一笔钱款, 已知银行的年利率为3.6%, 则他每月必须存入多少钱?1.9 利用年金现值表或计算公式完成下表每期支付额（元）期限（年）年利率（%）支付期支付期数支付利率（%）现值（元）25415每月2750312每季