弦理论的八维数字.doc

弦理论的八维数字.txt用快乐去奔跑，用心去倾听，用思维去发展，用努力去奋斗，用目标去衡量，用爱去生活。钱多钱少，常有就好！人老人少，健康就好！家贫家富，和睦就好。今天我的主题是弦论中的时空，弦论是一个还没有被证实的物理的理论，是理论物理学家讲出来，希望能描述所有已知物理现象的一个理论，但是因为它非常复杂，所以我们还没有办法计算出任何可以实验验证的结果，或者反过来说是，实验物理学家还没有办法做出任何我们理论可以算出来的对应的实验，反正，理论和实验这两边还没有办法凑拢，不过另外一方面弦论里面的一些性质已经让物理学家学到一些新的东西。那么今天我要讲的主题是弦论里面所告诉我们有关时空中的了解的部分。 在还没开始讲弦论之前，我必须要先稍微介绍一下标准的物理学已经被实验验证的部分，我们如何了解时空。那么现在已经被实验验证的最好的被用来描述时空的理论是爱因斯坦的广义相对论，广义相对论是重力的理论，基本的想法就是说时空的弯曲对应到我们平常观察到的重力，那么时空的弯曲它包括空间的部分也许是平的，但是加上时间以后是一个弯曲的三加一维的时空这种情形。那么时空的弯曲程度或者是它随时间的变化就是要用爱因斯坦写下来的广义相对论的爱因斯坦equation，然后根据能量的跟动量的分布来决定。但是在这个理论里面，虽然说比起牛顿力学里面我们把时空当作一个固定的背景来描述，比起来是往前跨了一大步，因为时空弯曲的性质是由理论决定的，但是时空的维度和时空其它的性质比如说时空的这种平滑性，我们把时空看成是一个？，看成是一个连续平滑上面的一些函数，可以被微分的这些。 所以基本的性质还是我们假设的。那么对基本的理论物理，基本的物理理论来说，希望我们的物理理论可以推出时空它所有的性质，它不是用人为的假设来决定。那么弦论虽然说还没有被实验验证，但是之所以会引起很多理论物理学家的兴趣的主要原因是它包含了广义相对论的量子化。那么近代物理最主要的两个发展是广义相对论跟量子力学，但是很不巧的就是这两个理论很难放在一起，很难同时描述一个物理现象，是同时有这个量子化的效应跟广义相对论的效应的。如果你只是很难以把这两个理论放在一起的话，你会发现很多无限大、很多没有办法解释的事情。那么现在目前大家可以接受可以用来考虑广义相对论或者是重力的量子化的理论只有两个，一个就是弦论，还有另外一个理论就不要理他了，因为另外一个理论显然没有弦论好，所以我们今天就不谈。那么它也是唯一一个有可能解释其它已知物理现象的理论，另外一个理论只是完全只考虑重力的量子化，可是弦论是有可能可以包含所有其它已经观察到的作用力。 这个图就是怎么样用弯曲的时空来解释重力的一个示意图，不能够太严肃地看这个图，这只是一个感觉，有点像是一个沙发的表面，你把它看成是一个二维的空间这样，然后呢，这个一个重的东西放在这里的时候让这个表面弯曲，然后如果旁边有个弹珠滚过来的话，这个弹珠的轨道就会受到这个重的东西的影响而弯曲。不过其实这个图像严格来说是错的，因为我们现在考虑的时空本身之外没有别的空间，也就是说这个沙发的表面如果是时空的话，它没有第三维度的空间，其实应该是不存在的，而且其实在这个模拟里面，其实我们是用了地心引力的效果来解释这个弹珠的弯曲，但是实际上，当然你可以想象就是一个弹珠滚过来的时候，这个弹珠因为某些原因要滚这个最短距离的线的话，要沿着测地线走的话呢，那它也是会走一个弯曲的路径。 那么一个极端的情形就是中间这个球又小又重，那么它就有可能会形成一个黑洞，那形成黑洞的时候就是光如果在这个黑洞的？之内的话，这个里面的光没有办法跑出来，所以看起来这个洞像是黑的，我们把它叫做黑洞。 好，前面讲的是广义相对论，所谓能在两分钟内讲完的广义相对论。接下来呢，我们应该就有一些时间可以讲弦论。我们讲弦论里面的时空性质之前，我们先讲一下弦论的一般的概念。弦论的意思就是相对于其它的一般的物理理论，其它的物理理论通常都是想象我们组成物质的基本的东西都是粒子，用粒子去解释所有我们看到的东西，比如说我们看到的这些东西可能都是由原子所构成的，但是原子又是电子绕着原子核转，电子在我们现在的实验验证的理论里面是一个基本的粒子，原子核又可以拆成质子跟中子，然后呢，质子跟中子又可以拆成夸克，夸克在现在的理论里面是被当作基本粒子。那么除了这些组成物质是被看成粒子的这个形成的状态之外，粒子之间的交互作用力，比如说电子和质子之间的静电作用力，或者其它一般电磁波的电磁场的作用力，这些作用力也被看成是电荷之间交换光子的结果，也就是说呢，你想象有一个电子跑过来的时候呢，它忽然间丢一个光子出去，然后K到一个带电荷的东西，那这两个带电粒子的路径就被改变了。 所以在现在标准的理论里面，我们用粒子去解释物质的组成以及物质之间的交互作用。那弦论的讲法是说其实虽然我们现在所有的这些电子、夸克这些东西看起来都像是点粒子，但实际上呢，如果我们有更好的显微镜，如果不是大家近视这么深的话，也许我们会看到这些也许是电子呢，其实是一个小的圈圈或者是一个小的线段，也许不是不是一个点，而是一条线，那么如果说真的是这样子的话，你就可以想象如果我们真的是有弦而不是粒子在时空跑来跑去的话，那么这个弦它除了可以前后跑来跑去之外，它还可以有各种不同的震动的状态，一根弦可以震动。那么当你的实验设备不够好的时候，你看到的这个弦看起来还是像个粒子，可是说如果它是以不同的震动态在跑来跑去的话，你在实验里面会觉得它像是不同的粒子，比如说它的这个震动的能量呢，可能会被你认为是这个粒子的质量，还有不同的震动态之间的交互作用也会不同，会被你认为是不同的粒子之间有不同的交互作用等等。所以一旦你假设有弦之后你有可能可以用一种弦去描述所有可能看到的各种粒子，我们可以看到的粒子其实已经非常非常多种了，目前初略的分也有几十种，所以用一种弦来换几十种粒子应该是满好的一件事情。 在这里画了两个可能的弦的震动状态，上面这种叫开弦的，就是两端是开放的弦，这个图从左边往右看是随着时间增加的，这个弦的照片，所以事实上就是说这里有一个弦在旋转，因为它在旋转，所以有离心力，就会抵抗弦的张力，就会保持一个长度，这是一种可能性。另外一种闭弦，这个封闭的曲线这种弦，它可以有这种震动状态，在某一个时刻是这样子，在下一个时刻是这样子，然后这样变，当然还有其它无限多种可能的震动状态，不过这里的这两种震动状态，它们事实上，你去研究这些震动状态和其它震动状态之间的关系，之间的交互作用的话，你会发现上面这个弦看起来其实会像是光子，下面这个弦的震动态看起来就会像是重力作用对应到的重力。 所以弦和一般粒子物理很不一样的地方就是在粒子物理里面，如果你想要包含重力作用的话，你通常都会发现重力作用没有办法量子化；但是在弦论里面，一旦你有弦了之后，你就自动包含了重力作用，这个时候，你要把它量子化其实也还是满难的，但是经过许多物理学家锲而不舍的努力，最后发现了五种弦论。也就是我之前我们只是粗略地讲，假想有弦这种东西，但是在接下来你还是有很多可能的不同的选择，一些细节，你在建构弦的理论的时候，有一些细节上的选择，但是最后我们发现只有五种是自恰的，在数学上面不会计算一个物理现象时得到无限大的这种奇怪的情形。我们叫做自恰的理论有五种，分别叫做type 1，type 2b等等。 那么根据现在的了解，虽然有很长一段时间大家觉得这五种弦论有一点糟糕，因为不知道哪一种是对的，后来大家发现这五种弦论是同一种理论的五种的不同的描述，有点像瞎子摸象的情形，不同的人摸到不同的部位的时候，他看到的东西看起来像是不一样的，但是其实应该是有一个同一的理论把这五种弦论统一起来的，这种理论我们把它叫做m理论。 接下来我们就步入正题，讲有关时空的问题。 我们先讲有关时空维度的问题，因为我刚才提到在广义相对论里面，时空的维度是首放进去的，因为我们观察日常生活以及一般物理实验里面的现象，发现我们所处的空间就是三维的，然后我们所感觉得时间是一维的，所以我们通常都说我们活在三加一维的时空里面。但是其实爱因斯坦的广义相对论，你可以很容易的把它推广到任意空间的情形，时间超过一维总是很难想象那种情形，所以在这里我就不讨论。那么在实际的模型的建构当中，我们也没有找到同时可以量子化，而时间超过一维的理论。所以今天我只考虑空间的维度的其它可能性，时间一维我们暂时当作还无法处理，或是不证自明的一件事情。 根据弦的理论，我们等一下会谈到这五种已经知道的自恰的弦的理论，它们的维度都必须要是九加一维。 我们先看一般的例子，物理的理论。在三维空间里面，有一个粒子它的位置要三个参数来表示，然后呢，如果现在你考虑三加一维的时空的话，我就必须要把两个空间画在一起，这个Y、Z挤在一起，这个时候一个粒子的轨迹在时空里面就变成一个一维的曲线。很自然的问题，就是为什么时空的维数是三加一？这个是物理学家奇怪的习惯，他们不讲四，他们就喜欢讲三加一，好像他们不知道三加一等于四一样，不过，反正我们现在都这样讲。有没有可能说时空的维数不是三加一？有没有可能说空间的维度是大于三或是小于三呢？还有就是我们要怎么样定义时空的维度？这个问题现在看起来有点奇怪，不过等一下也许没有那么奇怪。 为什么空间是三维的？我小时候就在想这个问题，那我想到呢，如果说如果空间小于三维的话，如果空间只有两维的话，你很难形成消化系统，就不会有机会来讲生物的问题了，因为如果说有一个人他可以吃东西的话，他可以排泄的话，他这两半很快就分开了，在这种情况底下你也不用穿衣服，因为衣服马上就变成一条线这样，如果说这个真的是一个二维的空间的话，好像有这个问题。不过后来我发现这个argument是一个很傻的argument，因为第一点就是说，其实我还是可以想象有生物消化的过程，一开始只有一个细胞样的东西在这里，然后有一个东西跑过来被他吃进去，然后慢慢的变成这个样子，然后这样，然后营养被吸收，最后被排出来。还有呢，就是说通常我们要解释一件事情的话，其实是要用比较简单的原则去解释比较复杂的现象，而不是用比较复杂的现象去解释比较基本的问题。那生物基本上，如果你碰到一个生物现象想要了解他的话，就是你把它变成一个化学程序的问题，就说你了解它，如果化学的问题能变成物理的问题，就说你了解它。但是你不能说如果物理的问题能变成生物的问题的话，你就可以了解它，那样是奇怪的一个想法。所以后来我就不接受这种说法。那我们要有一个问题：就是物理的问题要在什么地方解决才叫被解决呢？当然就是数学。 在弦论里面呢，如果说我们希望得到一个自恰的弦论，结果发现空间必须要求是九，所以这个也是弦论的一个特点，就是空间的性质是被这个理论的自恰性限制。那么为什么有弦论就要有这个九维空间呢？这个推导过程大概是这样，首先你想象有弦这个东西，那这个弦在时空里面跑出来的轨迹在这里变成一加一维的曲面而不是一个一维的曲线。那我们认为在这个弦上面应该有一个对称性对应到的是弦上面的坐标应该是有物理意义的，唯一有物理意义的事这个弦怎么样在时空里面跑，那这个对应到弦的模型里面的这个对称性，然后我们把它量子化以后的这个对称性还是被保持，结果就发现必须要有九维的空间。 量子化基本上是一个奇怪的说法，意思就是说过去我们的牛顿力学或者是古典电磁学都是古典的理论，古典的理论里面所有的物理量在计算的时候都被当作数字，量子化的意思是把你这个古典的理论用一个量子的理论取代，也就是说实际上实验发现我们并没有办法真的用古典理论描述精确的实验。实际做物理实验的测量呢，有可能每一次都测量到不同的结果，虽然说你的准备的方法，你的实验设计、实验准备的过程可能完全一样，但是也许每一次测量的结果都不一样。所以后来大家想到一个办法就是改用一个？，有点像是一个矩阵去对应到一个物理量，而不是用一个数字去对应到一个物理量把对应到物理量的数字变成？的过程我们就把它叫做量子化。当数字变成？了以后，变成一个像矩阵的东西的时候，你就可以把这个矩阵对角化，然后这个对角的这些数字就当作你在测量的时候有可能会量到的数字。物理里面基本上有一个过程是你给我一个古典的理论，我就把它变成对应的量子理论的这个过程，我们把它叫做量子化。 一加一维的弦跑出来的这个曲面，你可以给它两个坐标来描述这个曲面上的点。我们真的在建立一个物理模型的时候，必须要用到这个坐标，作为你写这个方程式的方式。那这个对称性呢，我们现在要求的对称性就是你怎么样去选弦上的这一点叫做(1,0)或者是(0,1)，应该跟实际的物理是无关的，这个实验对称性。实际跟物理有关的是这个弦在空间中跟时间中的位置。这个细节大家不知道没关系，反正结论就是我们需要九维空间。 虽然说我们的空间看起来像三维，但是实际上是不是有可能空间是大于三维，如果不可能的话，我们根本就不必考虑弦论了，因为弦论说它是九维，如果这个不可能的话，我们就不用理它了。事实上呢，很久以前，在有弦论之前就有人考虑过有可能我们实际的空间是超过三维的，一个模拟就是假想有一维的生物，或者严格来说有二维的生物，但是它所存在的二维空间是像一个管子一样，像一个管子的表面一样的这种外围的空间，假设这个管子很细的话，而且假设活在这个管子上的生物或者是大部分在管子上的物体都是在管子的截面方向上均匀地分布的话，那么对这些管子上面的东西来说，就好像是它们活在一个一维的空间上面一样。把它变成三维跟二维的模拟的话，就是有两个三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质，那么这个时候可能很多在这个方向均匀分布的东西都会以为他们是活在一个二维的空间上。但是为什么可以假设大部分的东西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？这就有量子力学的理论基础，就是假涉有一个维度很小的话，那么根据量子力学，这个在很小的维度的方向上面如果有一个物质的质量有变化的话，那么你总是可以对他分成正弦函数或者余弦函数的迭加，其中的每一个正弦或余弦函数呢，它对应到的动量或者是能量会和这里面出现的几个周期，这个整数除以额外维度的宽度R，会由这个数字决定。 所以当R很小的时候，额外的维度很小的时候，这个动量或能量就会很大，也就是说如果你想要看到不均匀的，在这个小的维度的方向上不均匀的物质分布的话，你需要用很大的能量才可以看得到。如果说你不特别提供我很大的能量的话，大部分的东西都很快的朝能量最小的状态演变，最后大部分你看到的东西都是能量比较小的东西，看起来也就是在这个额外的维度上均匀分布的东西，所以你就会以为其实你活在一个维度比较小的空间上面。这种理论我们把它叫做Kaluza-Klein理论，最早是这两个人提出来的。 他们最早想要去做的事情是去考虑五维时空的广义相对论，因为他们发现广义相对论在其它的维度也很容易推广。结果他们发现如果多出来的第五维，也就是你想象我们活在三加一维的时空里面，而三加一维的时空里的每一点又多出来一个很小的圈圈，多出来一个很小的维度的话，那么这个时候，五维空间里的广义相对论事实上看起来会很像是我们看到的大的三加一维里面的广义相对论，再加上电磁场的理论。 那么根据实验呢，我们现在可以达到的能量最大的实验，它的能量大概是这个等级，它的数字很小，不过这个意思是说它可以把一个粒子赋予这么大的能量，所以对一个粒子来说就是很大很大的能量，因为一个粒子的质量通常非常非常小。那么根据一个这么大的能量的实验，我们可以确定多出来的维度的大小呢，事实上还是很小，十的负十七次方公分的尺度所以事实上有可能我们多出来的第五维、第六维的空间维度，只要这些空间维度小于十的负十七次方公分的话，那么我们所有的已经有的实验都没有办法分辨到底是不是真的有这些多出来的维度。 在这里是人家画的两个比较好的图，基本上是一样的意思，这个是多出来的一维，想象这个二维的面是三加一维的时空，然后每一点上多出来一个小圈圈，这就变成是一个五维的时空。底下这个图比较怪异，这个是想象平面是对应到三加一维时空，然后在每一点上面还有一个多出来的空间，据说他画的是Calabi-Yau space，是卡拉比和？这两个人，跟他们有关的空间。根据弦论，因为某些技术上的因素，很多人特别喜欢考虑多出来的空间是Calabi-Yau这种特别的情形。这个卡拉比？其实是一个六维的空间，因为我们弦论里面的空间是九维的，那我们看到的空间是三维的，所以弦论里面多出来的六维空间必须要缩得很小，我们一般都会想象它是所成Calabi-Yau的样子。 前面讲的是第一种可能性，也就是说也许实际空间大于三的第一种可能性。时间维度可能大于三的第二种可能性是比较后来才想到的一种可能，是说Brane world的这种可能性。这个Brane其实不是英文，是从？这个字膜衍生过来的，通常？是对应到二维空间的？，但是我们现在考虑也许不是二维空间的subspace，我们就把它叫做Brane。这个是因为弦论里面发现一旦你假设有弦之后，我们就必须要选跟刚才讲的五种弦论之一，或者是哪一个无所谓，最后你研究这个理论的时候，你就会发现这些弦有可能会形成一种巨观的状态，就好像水分子独立来看是像一个一个点，但是很多水分子，一大堆放在一起变成水以后就可以形成水波或者是其它的巨观上面的东西。 我们发现在弦论里面有一种巨观的东西，我们就把它叫做Brane，这个Brane就像是空间里面的一个subspace，这个subspace的性质是可以让弦的两个端点被钉在这个subspace上移动，而没有办法离开subspace，事实上你可以想象在这个subspace的这个地方，空间弯曲地太厉害了，然后弦有一半被吸在里面，只有露出一半来给你看到。不过不管怎么样，就是弦论里面自然地就会有这种东西出现，这时候有一个可能性，就是其实我们活在一个三维的Brane上面，然后我们看到的物质以及光子等等这些交互作用对应的粒子，其实都是像这种只能够在Brane上面移动的弦所对应的粒子，也因此当我们用光子或是其它的粒子去探测时空的时候，就好像你只用这些被限制在Brane上面的弦去探测时空一样，你所探测到的当然就只有三维的空间，其实还有多出来别的空间，但是你没有探测到。 在另外一方面呢，你可以想象这种弦扭来扭去以后，可以变成一个比较短的弦，然后丢出来一个封闭的弦，这个封闭的弦就可以跑到额外的维度上去了。但是你怎么知道哪一种粒子可能对应到这种封闭的弦，可以跑出来的？有一种粒子一定是这样的，那个就是重粒子，因为重粒子必须要可以对应到整个时空的弯曲，包括多出来的空间。所以重粒子一定要是，只能是对应到这种可以到处跑出Brane的这种封闭的弦的粒子。 但是另一方面呢，我们对重粒子的实验的精密度比起其它粒子来说还差很多，根据我们最好的重力实验，所能够确定的，多出来的维度的大小，我们只能限制它在0.1mm之下，0.1mm这个距离如果你用光子看的话都可以看得到，现在的说法是说你可以用光子在这个Brane上面量到很短很短的距离，像刚刚讲的十的负十七次方公分，但是你要对额外的维度测量的时候，你只能够用重粒子去测量的话，这时候其实你额外的维度可以很大，可以大到这么大，你都不知道。但事实上还有一个可能就是根本就是无限大，根本就是没有限制的，但是只要说额外的维度它的弯曲的程度够大，使得重力的现象会有被局限在Brane上面的这种情形也可以。多出来的维度如果完全是平的话，你在做重力测量的时候，这个重力作用的强度就不会是跟距离平方成反比了，而是根据更高的次方成反比，但是那个假设还是平的，如果很弯的话事实上就有可能它还是跟距离的平方成反比。 所以这种新的理论，我们另外叫做Large Extra Dimension，它多出来的维度可以是很大，可以到0.1mm这么大，也可以是无限大，但是这种只要它够弯就好。 广义相对论还是可以从弦论里面推导出来一个近似，弦论不能够与原来已经知道的理论差太多，只是它被想成是一个更精密的理论，但是过去广义相对论所告诉你的事情都还是大约是正确的。 今天考虑了两种空间维度可能大于三的情形，就像我们在考虑空间维度可能会小于三的情形这个看法一开始看你可能会觉得莫名其妙，但是就像刚才这个同学问的，你要怎么定义维度？你要先想这个问题。如果你没有清楚地定义维度的话，你可以随便定义一个数字，可以定义D=2.5，那不代表任何意义。 在一个物理的理论里面，物理量比如说弦论里面的波函数，或者说简单地想象一些密度的这种的物理量，那么像这些物理量呢，通常我们都把它想成是时空的函数，比如说空气的密度在空间中的任一点，不同的时刻可以有不同的密度。如果说一个物理的理论里面，所有的物理量都写成这些东西的函数的话，那么你看这里有一个t，然后有D-1个x，然后你就说这是一个D维时空的理论，我们这样子来定义时空的维度。但是呢，有没有一个可能是在某一个理论里面，所有的这些物理量我把它叫做I，I是所有的物理量的index，它里面有D个时空坐标，但是在另外一个理论里面，也许只有D个时空坐标，却让这两个理论事实上是等价的，有没有这个可能？当然两个理论是等价的意思就是说，我们对于同一个实验预测的结果必须要是一样的，但是这同一个实验并不需要被解释成是同一个东西，你可以是由两个名字不同的函数对应到同一个实验的结果。 所以如果在这里你只是用物理量来label物理量的参数的数目来定义时空的话，原则上来说反正你有无限多个可以测量的物理量，你有可能有不只一种方法去label所有可以被测量的物理量。你用不同的方式去label的时候，其实最简单地想法就是你把其中一个x丢到I里面去，当作是I的label的一部份，这时候你就等于改变了时空的维度。所以在这个意义底下呢，时空的维度对应到的其实是一个方便性的问题，你要怎么样去label物理量，才会给你一个比较简单、比较方便的理论。有可能不同的物理现象要用不同的物理理论来描述才比较方便，所以可能没有唯一绝对的时空的定义，也许要看你正在考虑的物理问题以及你实际的物理状态，才能决定到底用哪一个来描述才比较方便，也才能决定时空的维度。 我们在这里看两种可能性：第一种可能性是刚才讲的一个M理论的东西，跟一种弦论之间的等价的关系。这两个理论呢，它们对应到的时空的维度不一样，一个弦论是对应到九维空间跟一维时间，而M理论呢，我们想象它是有十维空间跟一维时间。但是如果说我把其中一维空间，给它一个周期性边界条件的话，然后让它缩得很小的话，这个时候这两个理论有可能是等价的。在M理论里面，低等的东西不叫string而叫membrane，这是我们叫它M理论的原因之一。如果你有一个二维的膜，你可以把这个二维的膜绕在圈圈上面，那么它在剩下来的九加一维时空里面看起来就会像是一条弦；如果你不把它绕在上面，它看起来会像是刚才讲过的Brane。在这里你同样看到的都是membrane，但是我们区分就看它有没有绕在圈圈上面，我们对应到另外一个理论时可以把它看成是两种完全不一样的东西，这两个理论还是可以等价的，我们对同一个实验预测的结果，最后你在实验室的计算机上面看到的数字可以是完全一样的，虽然说你对实验发生的过程的解释可能完全不一样，但是对最后的数字的描述会完全一样，这时候我们就说它是等价的。 另外一类等价的可能性是一个更奇怪的情形，就是说我们发现有一种弦论，如果它的十维时空是一种特别的情况，我们在这里把它叫做AdS跟五维球面的乘积的这种奇怪的时空，我们发现它可以用三加一维时空里面的理论来描述，事实上这两个理论呢，虽然说它们的维度差很多，但却是等价的理论。这个事实上是有些物理学家认为in general，如果你有一个理论包含重力量子化的话，你总是可以用一个比较低维度的理论去描述一样的现象，这个叫做全像原理Holography。 所以第二类跟第一类的差别就在于第一类的理论里面，两边都还有重力作用，但是在第二类的理论里面，只有一边有重力作用，维度比较低的那边没有重力作用。不过不管怎么说，我们在这些例子里面可以看到，有可能对不同的物理现象、对不同的计算来说，某一个理论是比较方便的，这个时候你可能就会认为时空的维度是不一样的。 这个事情我们重新再说一次的话呢，就是说物理理论告诉你的是可以测量的量之间的关系。我们有很多物理量，那这些物理量你可以叫它不同的名字。如果有两个外星人在这里看同一个物理现象，他们可能有完全不一样的描述，但是最后你可以说的是什么？最后你可以说的是，他们对于初始状态来说，他们都是用一组数字去描述初始状态，然后你如果问他们，经过一段时间演变之后，最后要用同一组数字，同一组测量最后得到的结果来描述末状态的话，如果这两组外星人都给你同样的答案的话，那你有同样的理论，但是他们会认为他们看到的是完全不一样的东西。时空只是看你怎么样方便，用你方便的理论里面来label物理自由度的参数。 另外一个例子是所谓的T-duality。我们知道有两个弦论呢，我们如果把其中一个弦论的空间想成是一个八维的空间加上一个缩得很小的一维空间，另外一个弦论是一个八维的空间加上一个比较大的圈圈的话，这时候这两个理论也可以是等价的。这时候一个绕在这个圈圈上面的弦呢，会被看成是沿着这个圈圈跑，但是没有绕着上面的弦；反过来说，没有绕在这个圈圈上面沿着圈圈跑的弦，会对应到绕在圈圈上的弦。所以当你用这个理论或这个理论看同一个东西的时候你会有不同的描述。而这两个圈圈的半径的关系刚好是倒数的关系，这个是弦论里面的一个常数。我们之所以把它叫做T-duality就是因为在这个duality里面，在这个对偶性里面，这两个理论它们主要的差别就是它们的空间不一样，而空间从弦的角度来看是Target Space，你把弦看成是从一加一维时空映射到九加一维时空的map的话，那这个九加一维时空就是Target Space，那么因为Target Space的对偶性，所以我们把它叫做T-Space。 你在数学的研究里面呢，一个很重要的题目Mirror Symmetry，其实也可以看成是一种T-duality。Mirror Symmetry本身讨论的是不同的空间之间的性质的关系，对于研究弦论的人来说，我们从物理的理论里面知道，这两个弦论除了这两个情形之外，其实还有很多很多其它的情形是你在左边的弦论里面有某一种空间，在右边的弦论理有一种空间，然后你知道它们对同一个量做测量的时候一定会得到一样的数字，所以有可能对于这个空间来说，你要做一个计算也许很难，但是你把它换成另外一个理论里面的问题的时候，可能就对应到一个简单的问题，那时候我们就可以很快地把它解决，然后回来看这个理论里面计算的结果是什么。 那么数学的，有关于空间的，就是用来classify空间的一些性质也对应到一些物理量，所以我们可以利用物理理论，找到不同空间之间的关系，这个可以说是弦论对于数学界的少数贡献之一，大部分的情况都是物理学家从数学家那边学东西。 在这里我再举一个例子来说明时空的定义常常只是方便性的考量。对于不同的probe，你用不同的东西来探测时空的时候，你会探测到不同的时空。比如说我们这个图对应到刚才看到的黑洞的图，如果你有一个点粒子在这里的话，它会让时空的弯曲在这里有一个singularity，但是这个点真的是无限小的点。那么如果另外有一的点粒子掉进来的话，它就咚的就掉进来了。但是如果说你现在考虑的不是一个点，而是某一种很多很多点的共同的震动状态，这个时候呢，也许它有很大的质量让这个空间弯曲，可