【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第二章 函数、导数及其应用 理 苏教版(1).DOC

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1函数映射的概念函数映射两集合a，b设a，b是两个非空数集设a，b是两个非空集合对应关系f：ab如果按照某个对应关系f，对于集合a中的任何一个数x，在集合b中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：ab为从集合a到集合b的一个函数称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射记法yf(x)，xa对应f：ab是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xa中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xa叫做函数的值域显然，值域是集合b的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从a到b的一个映射，a、b若不是数集，则这个映射便不是函数3误把分段函数理解为几种函数组成试一试1(2013苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)的定义域是_解析：因为f(x)，则(x3t)(x4t)0.又t0，所以x3t，4t答案：3t，4t2(2013扬州期末)已知函数f(x)则f(f(0)_.解析：因为f(0)301，所以f(f(0)f(1)log210.答案：0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)练一练1设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)等于_解析：f(x)g(x2)2(x2)32x7.答案：2x72若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(x)_.解析：由题意得解得f(x)x24x3.答案：x24x3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是_(填写序号)yx1与yy与yy4lg x与y2lg x2 ylg x2与ylg答案：2以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y；f2：y1.(2)f1：yf2：xx11x2x2y123(3)f1：y2x；f2：如图所示解：(1)不同函数f1(x)的定义域为xr|x0，f2(x)的定义域为r.(2)同一函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)备课札记 类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一求给定函数解析式的定义域1(1)(2013山东高考改编)函数f(x) 的定义域为_(2)(2013安徽高考)函数yln的定义域为_解析：(1)由题意，自变量x应满足解得，3x0.(2)要使函数有意义，需即即解得00，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xr)(4)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)，得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)备课札记 类题通法求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；(3)配凑法；(4)解方程组法针对训练1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.考点四分段函数典例(2011江苏高考)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a0时，1a1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1,1a4，则x的取值范围是_解析：当x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上可得x2.答案：(，2)(2，)课堂练通考点1(2013南京一模)函数y的定义域是_解析：由2xx20得0x2，故函数的定义域为0,2答案：0,22(2013苏北四市二调)若函数f(x)则函数yf(f(x)的值域是_解析：当x0时，f(x)2x(1,0)，故yf(f(x)2f(x)，从而原函数的值域为.答案：3函数y(x1)0ln(x)的定义域为_解析：由题意知，x(，1)(1,0)答案：(，1)(1,0)4已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：65已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)与g(f(2)；(2)求f(g(x)与g(f(x)的表达式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0；f(2)3，g(f(2)g(3)2.(2)当x0时，f(g(x)f(x1)(x1)21x22x；当x且x1.答案：x|x且x13(2014温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)，那么f(2 013)_.解析：根据题意，当x5时，f(x)f(x5)，f(2 013)f(3)，而当0x5时，f(x)x3，f(3)3327.答案：274(2014连云港期末)已知函数f(x)则使ff(x)2成立的实数x的集合为_解析：当x0,1时，f(f(x)f(2)2成立；当x0,1时，f(f(x)f(x)x，要使f(f(x)2成立，只需x2，综上所述，实数x的集合为x|0x1或x2答案：0,125根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(a，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是_解析：因为组装第a件产品用时15分钟，所以15，所以必有43a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)8有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一个函数(2)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数(3)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_解析：对于(1)，函数f(x)的定义域为x|xr且x0，而函数g(x)的定义域是r，所以二者不是同一函数；对于(2)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(3)，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是(2)答案：(2)9设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_.解析：若a0，则12，解得a1；若a0，则12，解得a1.故a1.答案：110二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.则f(x)_.解析：设二次函数f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.答案：x2x1第组：重点选做题1.具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)解析：对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.答案：2若函数f(x)，则(1)_.(2)f(3)f(4)f(2 012)fff_.解析：(1)f(x)f0，1(x1)，1.(2)又f(3)f0，f(4)f0，f(2 012)f0，f(3)f(4)f(2 012)ff0.答案：(1)1(2)03(2013苏北四市一检)定义在r上的函数f(x)满足f(mn2)f(m)2f(n)2，m，nr，且f(1)0，则f(2 014)_.解析：令mn0，得f(002)f(0)2f(0)2，所以f(0)0；令m0，n1，得f(012)f(0)2f(1)2，由于f(1)0，所以f(1)；令mx，n1，得f(x12)f(x)2f(1)2，所以f(x1)f(x)22，即f(x1)f(x)，这说明数列f(x)(xz)是首项为，公差为的等差数列，所以f(2 014)(2 0141)1 007.答案：1 0074规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)1，f2(x)3同时满足，求x的取值范围解：(1)x时，4x，f1(x)1.g(x).f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x.故x的取值范围为.第二节函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为i，区间di，如果对于任意x1，x2d，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间d上是增函数f(x1)f(x2)2单调区间的定义若函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间d叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足条件对于任意xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m对于任意xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m结论m为最大值m为最小值1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1(2013苏锡常镇二调)函数f(x)2xlog2x(x1,2)的值域为_解析：因为y2x，ylog2x在定义域内均为增函数，所以y2xlog2x在1,2上单调递增，故f(x)2,5答案：2,52函数f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,481判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练1(2013南京第一学期调研)命题甲：函数f(x)是奇函数，乙：函数f(x)在定义域上是增函数对于函数：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x)x|x|；(4)f(x)能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是_解析：(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数答案：(3)(4)2函数f(x)在区间2,3上的最大值是_，最小值是_答案：考点一求函数的单调区间1.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析：要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为r上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的单调增区间是(，1答案：(，13设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，函数fk(x)的单调递增区间为_解析：由f(x)，得1x0)的单调性解法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).因为0x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减法二：f(x)1.令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，)令f(x)0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，)故函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减备课札记 类题通法1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确针对训练判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)”或“”)解析：函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.答案：f(3a)的解集为_解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在r上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4，所以不等式的解集为(1,4)答案：(1,4)角度四求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解课堂练通考点1(2013无锡期末)已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：令max1，则函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增等价于max1在(1,2)上单调递增，且ax10在(1,2)上恒成立，所以即a1.答案：1，)2函数f(x)|x2|x的单调减区间是_解析：由于f(x)|x2|x结合图像可知函数的单调减区间是1,2答案：1,23已知函数f(x)为r上的减函数，若m”或“”)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)4函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在r上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：35函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上是递增的，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a，即实数a的取值范围是.课下提升考能第组：全员必做题1(2013苏北四市三调)已知函数f(x)为奇函数，则ab_.解析：当x0时，x0，由题意得f(x)f(x)，所以x2xax2bx，从而a1，b1，ab0.答案：02若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)_.解析：依题意，知函数图像的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.答案：253.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_解析：由已知得当2x1时，f(x)x2，当10.a的取值范围是(0,1答案：(0,15(2014苏中三市、宿迁调研)设f(x)是定义在r上的奇函数，当x0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.答案：7设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)8使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知01时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.第组：重点选做题1(2013南通二模)定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|.下列不等关系：ff(cos l)；ff(sin 2)其中正确的是_(填序号)解析：当x1,1时，x43,5，从而f(x)f(x4)2|x|，因为sinf；因为sin lcos l，所以f(sin l)f(cos l)；因为f；因为|cos 2|f(sin 2)综上所述，正确的是.答案：2若函数f(x)|logax|(0a1)在区间(a,3a1)上单调递减，则实数