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专题八：数学方法(讲评课)一、 考点综述考点内容：配方法、因式分解法、换元法、待定系数法、面积法考纲要求：配方法、因式分解法、换元法、待定系数法、面积法等解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。要求学生钻研习题、精通解题方法，可以促进学生进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高考试答题的应变能力。考查方式及分值：配方法、因式分解法、换元法、待定系数法、面积法等解题方法在中考中选择、填空、解答题都有出现，常常在综合题目中出现，分值在20分左右。备考策略：分析解题思路，总结解题方法，重在培养学生的创新意识和实践能力；分析中考对知识的考查方式和未来中考命题的趋势，使学生全面了解和掌握各个题型的命题特点与命题趋势，做到有的放矢。二、例题解析1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例1：用配方法解方程：解题思路：（1）此方程的二次项系数不为1，要先化成1； （2）在配方时，当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方就得到完全平方式。解析：两边都除以2，得移项，得配方，得， 或，规律总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1） 化二次项系数为1 （2）移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方就得到完全平方式（4）用直接开平方法解方2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。例2已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求证：2x2+3xy+y2-x-y=0解题思路：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零经过分组分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y或2x+y-1为零，则原多项式的值为零为达此目的，就要从条件入手证明：因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0所以2x+y-1=0又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0规律总结：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例3解方程：解题思路：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细观察可发现，所以应设，用换元法解。解：，规律总结：用新的变元去代替原式的一部分或改造原来的式子，要注意观察方程的特点。4、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。例4直线l与直线的交点的横坐标为2，与直线的交点的纵坐标为1，求直线l对应的函数解析式。解题思路：设直线l对应的函数解析式为，需找出y与x的两对对应值才能求出待定系数k，b的值，由于l与直线交点的横坐标为2，可求出l上一点（2，5），l与的交点的纵坐标为1，可求得l上另一点（1，1）于是问题得以解决。 解析：在中，当x=2时， 所以l与直线交点为（2，5） 在中，y=1时， 所以直线l与直线的交点为（1，1） 设直线l与，则 解得 所以l的解析式为规律总结：根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系。5、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。例5如图，已知在ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DEAB、DFAC，垂足分别为E、F，BG是AC边上的高。求证：DE+DF=BC解题思路：连接AD，由得到BGAC=DEAB+DFAC，因为AB=AC，所以BG=DE+DF.规律总结：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，它是几何中的一种常用方法。三、 综合训练一、 选择题1、用换元法解方程时，下列换元方法中最适宜的是设（ ） A、 B、 C、 D、2、用换元法解方程，通常会设（ ） A、 B、 C、 D、3、用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ( )A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B. x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2x2-7x-4=0化为 D. 3x2-4x-2=0化为 4、反比例函数（k0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQx轴，设POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（ ） A B CS=k DSk5、多项式2x2x (x1)24(x1)4 (x1)24x(x1)4 4x214x分解因式后，结果含有相同因式的是( )A、 B、 C、 D、二、填空题1、某市2008年自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4.65%，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争2004年底自然保护区覆盖率达到8%，则该市自然保护区面积的年平均增长率_（结果保留三位有效数字）2、若4x2+bx+9是完全平方式，则b = xyOP1P2P3P412343、在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 4、由右边图象写出二次函数的解析式_5、分解因式a2(xy)b2(xy)_6、已知如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，取3.14时，阴影部分的面积_三、解答题1.用换元法解下列方程2.心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间满足式子。如果使学生的接受能力达到59，用多长时间？你知道学生的最大接