【三年中考】全国各地中考数学试题分类汇编 第31章 与圆有关的解答题.doc

2012年全国各地中考数学压轴题汇编第31章 与圆有关的解答题1（2012临沂）如图，点abc分别是o上的点，b=60，ac=3，cd是o的直径，p是cd延长线上的一点，且ap=ac（1）求证：ap是o的切线；（2）求pd的长考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。解答：（1）证明：连接oab=60，aoc=2b=120，又oa=oc，acp=cao=30，aop=60，ap=ac，p=acp=30，oap=90，oaap，ap是o的切线，（2）解：连接adcd是o的直径，cad=90，ad=actan30=3=，adc=b=60，pad=adcp=6030，p=pad，pd=ad=2（2012义乌市）如图，已知ab是o的直径，点c、d在o上，点e在o外，eac=d=60（1）求abc的度数；（2）求证：ae是o的切线；（3）当bc=4时，求劣弧ac的长考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。解答：解：（1）abc与d都是弧ac所对的圆周角，abc=d=60； （2）ab是o的直径，acb=90bac=30，bae=bac+eac=30+60=90，即baae，ae是o的切线；（3）如图，连接oc，ob=oc，abc=60，obc是等边三角形，ob=bc=4，boc=60，aoc=120，劣弧ac的长为3（2012杭州）如图，ae切o于点e，at交o于点m，n，线段oe交at于点c，obat于点b，已知eat=30，ae=3，mn=2（1）求cob的度数；（2）求o的半径r；（3）点f在o上（是劣弧），且ef=5，把obc经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点e，f重合在ef的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在o上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与obc的周长之比考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）由ae与圆o相切，根据切线的性质得到ae与ce垂直，又ob与at垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形aec与三角形obc相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与a相等，由a的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形aec中，由ae及tana的值，利用锐角三角函数定义求出ce的长，再由ob垂直于mn，由垂径定理得到b为mn的中点，根据mn的长求出mb的长，在直角三角形obm中，由半径om=r，及mb的长，利用勾股定理表示出ob的长，在直角三角形obc中，由表示出ob及cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出oc，用oeoc=ec列出关于r的方程，求出方程的解得到半径r的值；（3）把obc经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点e，f重合在ef的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长eo与圆交于点d，连接df，由第二问求出半径，的长直径ed的长，根据ed为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形efd为直角三角形，由fde为30，利用锐角三角函数定义求出df的长，表示出三角形efd的周长，再由第二问求出的三角形obc的三边表示出三角形boc的周长，即可求出两三角形的周长之比解答：解：（1）ae切o于点e，aece，又obat，aec=cbo=90，又bco=ace，aecobc，又a=30，cob=a=30；（2）ae=3，a=30，在rtaec中，tana=tan30=，即ec=aetan30=3，obmn，b为mn的中点，又mn=2，mb=mn=，连接om，在mob中，om=r，mb=，ob=，在cob中，boc=30，cosboc=cos30=，bo=oc，oc=ob=，又oc+ec=om=r，r=+3，整理得：r2+18r115=0，即（r+23）（r5）=0，解得：r=23（舍去）或r=5，则r=5；（3）在ef同一侧，cob经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长eo交圆o于点d，连接df，如图所示，ef=5，直径ed=10，可得出fde=30，fd=5，则cefd=5+10+5=15+5，由（2）可得ccob=3+，cefd：ccob=（15+5）：（3+）=5：1点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键4（2012烟台）如图，ab为o的直径，弦cdab，垂足为点e，cfaf，且cf=ce（1）求证：cf是o的切线；（2）若sinbac=，求的值考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。分析：（1）首先连接oc，由cdab，cfaf，cf=ce，即可判定ac平分baf，由圆周角定理即可得boc=2bac，则可证得boc=baf，即可判定ocaf，即可证得cf是o的切线；（2）由垂径定理可得ce=de，即可得scbd=2sceb，由abccbe，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得cbe与abc的面积比，继而可求得的值解答：（1）证明：连接occeab，cfaf，ce=cf，ac平分baf，即baf=2bacboc=2bac，boc=bafocafcfoccf是o的切线（2）解：ab是o的直径，cdab，ce=ed，acb=bec=90scbd=2sceb，bac=bce，abccbe=（sinbac）2=点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用5（2012梅州）如图，ac是o的直径，弦bd交ac于点e（1）求证：adebce；（2）如果ad2=aeac，求证：cd=cb考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得a=b，又由对顶角相等，可证得：adebce；（2）由ad2=aeac，可得，又由a是公共角，可证得adeacd，又由ac是o的直径，以求得acbd，由垂径定理即可证得cd=cb解答：（1）证明：如图a与b是对的圆周角，a=b，又1=2，adebce；（2）证明：如图，ad2=aeac，又a=a，adeacd，aed=adc，又ac是o的直径，adc=90， 即aed=90，直径acbd，cd=cb点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意数形结合思想的应用6(2012扬州)如图，ab是o的直径，c是o上一点，ad垂直于过点c的切线，垂足为d(1)求证：ac平分bad；(2)若ac2，cd2，求o的直径考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：(1)连接oc，根据切线的性质判断出adoc，得到dacoca，再根据oaoc得到oacoca，可得ac平分bad(2)连接bc，得到adcacb，根据相似三角形的性质即可求出ab的长解答：解：(1)如图：连接oc，dc切o于c，adcd，adcocf90，adoc，dacoca，oaoc，oacoca，即ac平分bad(2)连接bcab是直径，acb90adc，oacoca，adcacb，在rtadc中，ac2，cd2，ad4，ab5点评：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键7（2012年中考）如图，在o中，直径ab与弦cd相交于点p，cab=40，apd=65（1）求b的大小；（2）已知ad=6求圆心o到bd的距离8（2012资阳）如图，在abc中，ab=ac，a=30，以ab为直径的o交bc于点d，交ac于点e，连接de，过点b作bp平行于de，交o于点p，连接ep、cp、op（1）bd=dc吗？说明理由；（2）求bop的度数；（3）求证：cp是o的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设op交ac于点g，证aogcpg”；小强说：“过点c作chab于点h，证四边形chop是矩形”考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理。专题：探究型。分析：（1）连接ad，由圆周角定理可知adb=90，再由ab=ac可知abc是等腰三角形，故bd=dc；（2）由于ad是等腰三角形abc底边上的中线，所以bad=cad，故=，进而可得出bd=de，故bd=de=dc，所以dec=dce，abc中由等腰三角形的性质可得出abc=75，故dec=75由三角形内角和定理得出edc的度数，再根据bpde可知pbc=edc=30，进而得出abp的度数，再由ob=op，可知obp=opb，由三角形内角和定理即可得出bop=90；（3）设op交ac于点g，由bop=90可知aog=90在rtaog中，由oag=30，可知=，由于=，所以=，=，再根据ago=cgp可得出aogcpg，由相似三角形形的性质可知gpc=aog=90，故可得出cp是o的切线解答：（1）解：bd=dc连接ad，如图1，ab是直径，adb=90，ab=ac，bd=dc；（2）解：ad是等腰三角形abc底边上的中线，bad=cad，=，bd=de，bd=de=dc，dec=dce，abc中，ab=ac，a=30dce=abc=（18030）=75，dec=75edc=1807575=30bpde，pbc=edc=30，abp=abcpbc=7530=45ob=op，obp=opb=45，bop=90；（3）证明：证法一：设op交ac于点g，则aog=bop=90在rtaog中，oag=30，=，又=，=，=，又ago=cgpaogcpg，gpc=aog=90，cp是o的切线）证法二：过点c作chab于点h，如图2，则bop=bhc=90，poch在rtahc中，hac=30，ch=ac，又po=ab=ac，po=ch，四边形chop是平行四边形四边形chop是矩形，opc=90，cp是o的切线点评：本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直9（2012德州）如图，点a，e是半圆周上的三等分点，直径bc=2，adbc，垂足为d，连接be交ad于f，过a作agbe交bc于g（1）判断直线ag与o的位置关系，并说明理由（2）求线段af的长考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形。专题：计算题；证明题。分析：（1）求出弧ab=弧ae=弧ec，推出oabe，根据agbe，推出oaag，根据切线的判定即可得出答案；（2）求出等边三角形aob，求出bd、ad长，求出ebc=30，在fbd中，通过解直角三角形求出df即可解答：解：（1）直线ag与o的位置关系是ag与o相切，理由是：连接oa，点a，e是半圆周上的三等分点，弧ab=弧ae=弧ec，点a是弧be的中点，oabe，又agbe，oaag，ag与o相切 （2）点a，e是半圆周上的三等分点，aob=aoe=eoc=60，又oa=ob，abo为正三角形，又adob，ob=1，bd=od=，ad=，又ebc=eoc=30，在rtfbd中，fd=bdtanebc=bdtan30=，af=addf=答：af的长是点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中10（2012湘潭）如图，在o上位于直径ab的异侧有定点c和动点p，ac=ab，点p在半圆弧ab上运动（不与a、b两点重合），过点c作直线pb的垂线cd交pb于d点（1）如图1，求证：pcdabc；（2）当点p运动到什么位置时，pcdabc？请在图2中画出pcd并说明理由；（3）如图3，当点p运动到cpab时，求bcd的度数考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。专题：几何综合题。分析：（1）由ab是o的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得acb=90，又由pdcd，可得d=acb，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得a=p，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：pcdabc；（2）由pcdabc，可知当pc=ab时，pcdabc，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由acb=90，ac=ab，可求得abc的度数，然后利用相似，即可得pcd的度数，又由垂径定理，求得=，然后利用圆周角定理求得acp的度数，继而求得答案解答：（1）证明：ab是o的直径，acb=90，pdcd，d=90，d=acb，a与p是对的圆周角，a=p，pcdabc；（2）解：当pc是o的直径时，pcdabc，理由：ab，pc是o的半径，ab=pc，pcdabc，pcdabc；（3）解：acb=90，ac=ab，abc=30，pcdabc，pcd=abc=30，cpab，ab是o的直径，=，acp=abc=30，bcd=acacppcd=903030=30点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用11（2012济宁）如图，ab是o的直径，ac是弦，odac于点d，过点a作o的切线ap，ap与od的延长线交于点p，连接pc、bc（1）猜想：线段od与bc有何数量和位置关系，并证明你的结论（2）求证：pc是o的切线考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理。分析：（1）根据垂径定理可以得到d是ac的中点，则od是abc的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到odbc，cd=bc；（2）连接oc，设op与o交于点e，可以证得oapocp，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：ocp=90，即ocpc，即可等证解答：（1）猜想：odbc，cd=bc证明：odac，ad=dcab是o的直径，oa=ob2分od是abc的中位线，odbc，od=bc（2）证明：连接oc，设op与o交于点eodac，od经过圆心o，即aoe=coe在oap和ocp中，oa=oc，op=op，oapocp，ocp=oappa是o的切线，oap=90ocp=90，即ocpcpc是o的切线点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题12（2012德阳）如图，已知点c是以ab为直径的o上一点，chab于点h，过点b作o的切线交直线ac于点d，点e为ch的中点，连接ae并延长交bd于点f，直线cf交ab的延长线于g（1）求证：aefd=afec；（2）求证：fc=fb；（3）若fb=fe=2，求o的半径r的长考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）由bd是o的切线得出dba=90，推出chbd，证aecafd，得出比例式即可；（2）证aecafd，aheabf，推出bf=df，根据直角三角形斜边上中线性质得出cf=df=bf即可；（3）求出ef=fc，求出g=fag，推出af=fg，求出ab=bg，连接oc，bc，求出fcb=cab推出cg是o切线，由切割线定理得出（2+fg）2=bgag=2bg2，在rtbfg中，由勾股定理得出bg2=fg2bf2，推出fg24fg12=0，求出fg即可解答：（1）证明：bd是o的切线，dba=90，chab，chbd，aecafd，=，aefd=afec（2）证明：chbd，aecafd，aheabf，=，ce=eh（e为ch中点），bf=df，ab为o的直径，acb=dcb=90，cf=df=bf，即cf=bf（3）解：bf=cf=df（已证），ef=bf=2，ef=fc，fce=fec，ahe=chg=90，fah+aeh=90，g+gch=90，aeh=cef，g=fag，af=fg，fbag，ab=bg，连接oc，bc，bf切o于b，fbc=cab，oc=oa，cf=bf，fcb=fbc，oca=oac，fcb=cab，acb=90，aco+bco=90，fcb+bco=90，即occg，cg是o切线，gba是o割线，fb=fe=2，由切割线定理得：（2+fg）2=bgag=2bg2，在rtbfg中，由勾股定理得：bg2=fg2bf2，fg24fg12=0，解得：fg=6，fg=2（舍去），由勾股定理得：ag=bg=4，o的半径是2点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度abcdeo第20题图13（2012年中考）(满分12分)如图，ab为o的直径，c为o上一点，ad和过c点的切线互相垂直，垂足为d，ad交o于点e(1) 求证：ac平分dab；(2) 若b60，cd2，求ae的长在直角三角形acd中，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，由cd的长求出ac的长，在直角三角形abc中，根据cos30及ac的长，利用锐角三角函数定义求出ab的长，进而得出半径oe的长，由eao为60，及oeoa，得到三角形aeo为等边三角形，可得出aeoaoe，即可确定出ae的长；法2：连接ec，由ab为圆o的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出acb为直角，在直角三角形abc中，由b的度数求出3的度数为30，可得出1的度数为30，在直角三角形adc中，由cd及tan30，利用锐角三角函数定义求出ad的长，由dec为圆内接四边形abce的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到decb，由b的度数求出dec的度数为60，在直角三角形dec中，由tan60及dc的长，求出de的长，最后由aded即可求出ae的长解答：(1) 证明：如图1，连接oc， cd为o的切线， occd， ocd90 adcd， adc90 ocdadc180， adoc， 12， oaoc， 23， 13，即ac平分dab(2) 解法一：如图2，abcdeo图2123 ab为o的直径， acb90又 b60， 1330在rtacd中，cd2， ac2cd4在rtabc中，ac4， ab8连接oe， eao2360，oaoe， aoe是等边三角形， aeoaab4解法二：如图3，连接ce ab为o的直径，abcdeo图3123 acb90又 b60， 1330在rtadc中，cd2， ad6 四边形abce是o的内接四边形， baec180又 aecdec180， decb60在rtcde中，cd2， de2 aeadde4点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题14（2012恩施州）如图，ab是o的弦，d为oa半径的中点，过d作cdoa交弦ab于点e，交o于点f，且ce=cb（1）求证：bc是o的切线；（2）连接af，bf，求abf的度数；（3）如果cd=15，be=10，sina=，求o的半径考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：几何综合题。分析：（1）连接ob，有圆的半径相等和已知条件证明obc=90即可证明bc是o的切线；（2）连接of，af，bf，首先证明oaf是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出abf的度数；（3）过点c作cgbe于点g，由ce=cb，可求出eg=be=5，又rtadertcge和勾股定理求出de=2，由rtadertcge求出ad的长，进而求出o的半径）解答：（1）证明：连接obob=oa，ce=cb，a=oba，ceb=abc又cdoaa+aed=a+ceb=90oba+abc=90obbcbc是o的切线（2）连接of，af，bf，da=do，cdoa，oaf是等边三角形，aof=60abf=aof=30（3）过点c作cgbe于点g，由ce=cb，eg=be=5又rtadertcgesinecg=sina=，ce=13cg=12，又cd=15，ce=13，de=2，由rtadertcge得=ad=cg=o的半径为2ad=点评：本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小15(2012兰州)如图，rtabc中，abc90，以ab为直径的o交ac于点d，e是bc的中点，连接de、oe(1)判断de与o的位置关系并说明理由；(2)若tanc，de2，求ad的长考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形。专题：计算题；证明题。分析：(1)连接od，bd，求出adbbdc90，推出debece，推出edbebd，obdodb，推出edoebo90即可；(2)bdx，cd2x，在rtbcd中，由勾股定理得出(x)2(2x)216，求出x，求出bd，根据tanabdtanc求出adbd，代入求出即可解答：解：(1)de与o相切，理由如下：连接od，bd，ab是直径，adbbdc90，e是bc的中点，debece，edbebd，odob，obdodbedoebo90，(用三角形全等也可得到)de与o相切(2)tanc，可设bdx，cd2x，在rtbcd中，bc2de4，bd2cd2bc2(x)2(2x)216，解得：x(负值舍去)bdx，abdc，tanabdtancadbd答：ad的长是点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：证切线的方法，方程思想的运用16(2012南通)（本小题满分8分）如图，o的半径为17cm，弦abcd，ab30cm，cd16cm，圆心o位于ab、cd的上方，求ab和cd间的距离【考点】垂径定理；勾股定理【专题】探究型【分析】分别作弦ab、cd的弦心距，设垂足为e、f；由于abcd，则e、o、f三点共线，ef即为ab、cd间的距离；由垂径定理，易求得ae、cf的长，可连接oa、odc在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出oe、of的长，也就求出了ef的长，即弦ab、cd间的距离【解答】解：分别作弦ab、cd的弦心距，设垂足为e、f，ab=30cm，cd=16cm，ae=1 2 ab=1 2 30=15cm，cf=1 2 cd=1 2 16=8cm，在rtaoe中，oe= oa2-ae2 = 172-152 =8cm，在rtocf中，of= oc2-cf2 = 172-82 =15cm，ef=of-oe=15-8=7cm答：ab和cd的距离为8cm【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17.(2012常德)如图8，已知ab=ac，bac=120，在bc上取一点o，以o为圆心ob为半径作圆，且o过a点，过a作adbc交o于d，求证：（1）ac是o的切线； （2）四边形boad是菱形。知识点考察：圆的切线的判定，等腰三角形的性质， 等边三角形的性质，三角形内角和， 平行线的性质，垂直的定义， 菱形的判定。 能力考察：观察能力，逻辑推理能力，书写表达能力。 分析：求证ac是o的切线，则证oaac，很显然要运用圆的切线的判定定理。 要证四边形boad是菱形，先证boad为平行四边形，再证一组邻边相等。 证明：（1）ab=ac，bac=120， abc=c=30 而ob=oa，bao=abc=30， cao=120-30=90 oaac，而oa为o的半径， ac是o的切线。 （2）连od，adbc dab=abc=30， dao=60 而oa=od，oad为等边三角形， ob=oa=ad， 又adbc，adbo为平行四边形， 且oa=ob 四边形boad是菱形。 点评：这是一个平面几何的综合题，主要集中在圆的切线的判定定理的运用，特殊四 边形的判定这两个方面，必须搜集、整理题目的已知条件形成清晰的思路，还 要注意推理的严谨性和完整性。18（2012黔东南州）如图，o是abc的外接圆，圆心o在ab上，过点b作o的切线交ac的延长线于点d（1）求证：abcbdc（2）若ac=8，bc=6，求bdc的面积解（1）证明：bd是o的切线，abbd，abd=90，ab是o的直径，acb=bcd=90，a+d=90，cbd+d=90，a=cbd，abcbdc；（2）解：abcbdc，ac=8，bc=6，sabc=acbc=86=24，sbdc=sabc=24（）2=19 （2012湛江）如图，已知点e在直角abc的斜边ab上，以ae为直径的o与直角边bc相切于点d（1）求证：ad平分bac；（2）若be=2，bd=4，求o的半径解：（1）证明：连接od，bc是o的切线，odbc，又acbc，odac，2=3；oa=od，1=3，1=2，ad平分bac；（2）解：bc与圆相切于点dbd2=beba，be=2，bd=4，ba=8，ae=abbe=6，o的半径为320. （2012珠海）已知，ab是o的直径，点p在弧ab上（不含点a、b），把aop沿op对折，点a的对应点c恰好落在o上（1）当p、c都在ab上方时（如图1），判断po与bc的位置关系（只回答结果）；（2）当p在ab上方而c在ab下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当p、c都在ab上方时（如图3），过c点作cd直线ap于d，且cd是o的切线，证明：ab=4pd解：（1）po与bc的位置关系是pobc；（2）（1）中的结论pobc成立，理由为：由折叠可知：apocpo，apo=cpo，又oa=op，a=apo，a=cpo，又a与pcb都为所对的圆周角，a=pcb，cpo=pcb，pobc；（3）cd为圆o的切线，occd，又adcd，ocad，apo=cop，由折叠可得：aop=cop，apo=aop，又oa=op，a=apo，a=apo=aop，apo为等边三角形，aop=60，又opbc，obc=aop=60，又oc=ob，bc为等边三角形，cob=60，poc=180（aop+cob）=60，又op=oc，poc也为等边三角形，pco=60，pc=op=oc，又ocd=90，pcd=30，在rtpcd中，pd=pc，又pc=op=ab，pd=ab，即ab=4pd21（2012长沙）如图，a，p，b，c是半径为8的o上的四点，且满足bac=apc=60，（1）求证：abc是等边三角形；（2）求圆心o到bc的距离od解答：解：（1）在abc中，bac=apc=60，又apc=abc，abc=60，acb=180bacabc=1806060=60，abc是等边三角形；（2）abc为等边三角形，o为其外接圆，o为abc的外心，bo平分abc，obd=30，od=8=422（2012广安）如图，在abc中，abc=acb，以ac为直径的o分别交ab、bc于点m、n，点p在ab的延长线上，且cab=2bcp（1）求证：直线cp是o的切线（2）若bc=2，sinbcp=，求点b到ac的距离（3）在第（2）的条件下，求acp的周长考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：几何综合题分析：（1）根据abc=ac且cab=2bcp，在abc中abc+bac+bca=180，得到2bcp+2bca=180，从而得到bcp+bca=90，证得直线cp是o的切线（2）作bdac于点d，得到bdpc，从而利用sinbcp=sindbc=，求得dc=2，再根据勾股定理求得点b到ac的距离为4（3）先求出ac的长度，然后利用bdpc的比例线段关系求得cp的长度，再由勾股定理求出ap的长度，从而求得acp的周长解答：解：（1）abc=ac且cab=2bcp，在abc中，abc+bac+bca=1802bcp+2bca=180，bcp+bca=90，直线cp是o的切线（2）如右图，作bdac于点d，pcacbdpcpcb=dbcbc=2，sinbcp=，sinbcp=sindbc=，解得：dc=2，由勾股定理得：bd=4，点b到ac的距离为4（3）如右图，连接an，在rtacn中，ac=5，又cd=2，ad=accd=52=3bdcp，cp=在rtacp中，ap=，ac+cp+ap=5+=20，acp的周长为20点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大23（2012张家界）如图，o的直径ab=4，c为圆周上一点，ac=2，过点c作o的切线dc，p点为优弧上一动点（不与ac重合）（1）求apc与acd的度数；（2）当点p移动到cb弧的中点时，求证：四边形obpc是菱形（3）p点移动到什么位置时，apc与abc全等，请说明理由考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。解答：解：（1）连接ac，如图所示：ac=2，oa=ob=oc=ab=2，ac=oa=oc，aco为等边三角形，aoc=aco=oac=60，apc=aoc=30，又dc与圆o相切于点c，ocdc，dco=90，acd=dcoaco=9060=30；（4分）（2）连接pb，op，ab为直径，aoc=60，cob=120，当点p移动到cb的中点时，cop=pob=60，cop和bop都为等边三角形，ac=cp=oa=op，则四边形aopc为菱形；（8分）（3）当点p与b重合时，abc与apc重合，显然abcapc；当点p继续运动到cp经过圆心时，abccpa，理由为：cp与ab都为圆o的直径，cap=acb=90，在rtabc与rtcpa中，rtabcrtcpa（hl）（10分）24（2012宜宾）如图，o1、o2相交于p、q两点，其中o1的半径r1=2，o2的半径r2=过点q作cdpq，分别交o1和o2于点cd，连接cp、dp，过点q任作一直线ab交o1和o2于点ab，连接ap、bp、acdb，且ac与db的延长线交于点e（1）求证：；（2）若pq=2，试求e度数考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。解答：（1）证明：o1的半径r1=2，o2的半径r2=，pc=4，pd=2，cdpq，pqc=pqd=90，pcpd分别是o1、o2的直径，在o1中，pab=pcd，在o2中，pba=pdc，pabpcd，=，即=（2）解：在rtpcq中，pc=2r1=4，pq=2，coscpq=，cpq=60，在rtpdq中，pd=2r2=2，pq=2，sinpdq=，pdq=45，caq=cpq=60，pbq=pdq=45，又pd是o2的直径，pbd=90，abe=90pbq=45在eab中，e=180caqabe=75，答：e的度数是7525（2012武汉）在锐角三角形abc中，bc=4，sina=，（1）如图1，求三角形abc外接圆的直径；（2）如图2，点i为三角形abc的内心，ba=bc，求ai的长考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。解答：（1）解：作直径cd，连接bd，cd是直径，dbc=90，a=d，bc=4，sina=，sind=，cd=5，答：三角形abc外接圆的直径是5（2）解：连接icbi，且延长bi交ac于f，过i作ieab于e，ab=bc=4，i为abc内心，bfac，af=cf，sina=，bf=，在rtabf中，由勾股定理得：af=cf=，ac=2af=，i是abc内心，ieab，ifac，igbc，ie=if=ig，设ie=if=ig=r，abi、aci、bci的面积之和等于abc的面积，abr+bcr+acr=acbf，即4r+4r+r=，r=，在aif中，af=，if=，由勾股定理得：ai=答：ai的长是26（2012天门）如图，ab是o的直径，ac和bd是它的两条切线，co平分acd（1）求证：cd是o的切线；（2）若ac=2，bc=3，求ab的长考点：切线的判定与性质；勾股定理。专题：数形结合。分析：（1）过o点作oecd于点e，通过角平分线的性质得出oe=oa即可证得结论（2）过点d作dfbc于点f，根据切线的性质可得出dc的长度，继而在rtdfc中利用勾股定理可得出df的长，继而可得出ab的长度解答：（1）证明：过o点作oecd，垂足为e，ac是切线，