高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 文.ppt

第三节圆的方程 总纲目录 教材研读 1 圆的定义 考点突破 3 圆的标准方程 考点二与圆有关的最值问题 考点一求圆的方程 考点三与圆有关的轨迹问题 4 圆的一般方程 5 点与圆的位置关系 1 圆的定义在平面内 到 定点的距离等于 定长的点的 集合叫做圆 教材研读 2 确定一个圆最基本的要素是 圆心和 半径 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 a b 为圆心 r为半径 x2 y2 dx ey f 0表示圆的充要条件是 d2 e2 4f 0 其中圆心为 半径r 4 圆的一般方程 5 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种 圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 点为 x0 y0 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 1 圆心坐标为 1 1 且过原点的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 1b x 1 2 y 1 2 1c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2 d 答案d由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选d 2 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 d 答案d圆的方程可化为 x 2 2 y 3 2 13 所以圆心坐标是 2 3 3 点 2a a 1 在圆x2 y 1 2 5的内部 则a的取值范围是 a 1 a 1b 0 a 1c 1 a d a 1 d 答案d由 2a 2 a 2 2 5得 a 1 4 圆c的直径的两个端点分别是a 1 1 b 1 3 则圆c的方程为 x2 y 2 2 2 答案x2 y 2 2 2 解析因为点a 1 1 和b 1 3 为圆c直径的两个端点 则圆心c的坐标为 0 2 半径 ca 所以圆c的方程为x2 y 2 2 2 5 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 答案 解析方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0可化为 y a 2 a2 a 1 因为该方程表示圆 所以 a2 a 1 0 即3a2 4a 4 0 所以 2 a 考点一求圆的方程 考点突破 典例1 2015课标全国 7 5分 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn a 2b 8c 4d 10 命题方向一求过不共线的三点的圆 c 答案c 解析设圆心为p a b 由点a 1 3 c 1 7 在圆上 知b 2 再由 pa pb 得a 1 则p 1 2 pa 5 于是圆p的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 则 mn 2 2 2 2 4 典例2已知圆心为c的圆经过点a 0 6 b 1 5 且圆心在直线l x y 1 0上 则圆的标准方程为 命题方向二过两点及圆心所在直线确定圆 x 3 2 y 2 2 25 答案 x 3 2 y 2 2 25 解析设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则圆心坐标为 由题意可得消去f得解得代入求得f 12 所以圆的方程为x2 y2 6x 4y 12 0 即 x 3 2 y 2 2 25 典例3已知圆c与直线y x及x y 4 0都相切 且圆心在直线y x上 则圆c的方程为 命题方向三由直线与圆相切求圆的方程 x 1 2 y 1 2 2 答案 x 1 2 y 1 2 2 解析x y 0和x y 4 0之间的距离为 2 所以圆的半径为 又因为y x与x y 0 x y 4 0均垂直 所以由y x和x y 0联立得交点坐标为 0 0 由y x和x y 4 0联立得交点坐标为 2 2 所以圆心坐标为 1 1 故圆c的方程为 x 1 2 y 1 2 2 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择设圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 方法技巧 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 1 1若不同的四点a 5 0 b 1 0 c 3 3 d a 3 共圆 则a的值为 7 答案7 解析设过a b c三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 分别代入a b c三点坐标 得解得 1 2经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 答案 x 2 2 y 1 2 10 解析设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 则解得故圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 1 3圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 则圆的标准方程为 x 1 2 y 4 2 8 答案 x 1 2 y 4 2 8 解析设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 根据已知条件得解得因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 考点二与圆有关的最值问题 典例4已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求y x的最大值和最小值 命题方向一截距型最值问题 解析y x可看作直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 如图 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 典例5已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求的最大值和最小值 命题方向二斜率型最值问题 解析原方程可化为 x 2 2 y2 3 即以 2 0 为圆心 为半径的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 如图 此时 解得k 所以的最大值为 最小值为 典例6已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求x2 y2的最大值和最小值 命题方向三距离型最值问题 解析如图所示 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 其在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 易得圆心到原点的距离为2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 典例7 1 光线从点a 3 3 射到x轴上的点p后反射 反射光线与圆 x 1 2 y 1 2 2有公共点b 则 ap pb 的最小值为 命题方向四圆的对称性与最值 2 已知a 0 2 点p在直线x y 2 0上 点q在圆c x2 y2 4x 2y 0上 则 pa pq 的最小值是 答案 1 2 2 规律总结与圆有关的最值问题的四种常见转化法 1 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 4 形如 pa pq 形式的与圆有关的折线段问题 其中p q均为动点 要立足两点 减少动点的个数 曲化直 即折线段转化为同一直线上的两线段之和 一般要通过对称性解决 2 1已知点a 1 0 b 0 2 点p是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 pab面积的最大值与最小值分别是 a 2 4 b 4 4 c 4 d 2 2 b 答案b由题意知 ab lab 2x y 2 0 由题意知圆心坐标为 1 0 圆心到直线lab的距离d s pab的最大值为 4 s pab的最小值为 4 2 2设p为直线3x 4y 11 0上的动点 过点p作圆c x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 切点分别为a b 则四边形pacb的面积的最小值为 答案 解析圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 圆心为c 1 1 半径r 1 根据对称性可知 四边形pacb的面积为2s apc 2 pa r pa 要使四边形pacb的面积最小 则只需 pc 最小 最小时为圆心到直线l 3x 4y 11 0的距离d 2 所以四边形pacb面积的最小值为 典例8已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 p与a不重合 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 考点三与圆有关的轨迹问题 解析 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 且x 2 2 设pq的中点为n x y 连