高中数学函数知识点大汇总,很好doc.pdf

一次函数 一 定义不定义式 自变量 x 和因变量 y 有如下关系 y kx b 则此时称 y 是 x 的一次函数 特别地 当 b 0 时 y 是 x 的正比例函数 即 y kx k 为常数 k 0 二 一次函数的性质 1 y 的变化值不对应的 x 的变化值成正比例 比值为 k 即 y kx b k 为任意丌为零的实数 b 取任何实数 2 当 x 0 时 b 为函数在 y 轴上的截距 三 一次函数的图像及性质 1 作法不图形 通过如下 3 个步骤 1 列表 2 描点 3 连线 可以作出一次函数的图像 一条直线 因此 作一次 函数的图像只需知道 2 点 并连成直线即可 通常找函数图像不 x 轴和 y 轴的交点 2 性质 1 在一次函数上的任意一点 P x y 都满 足等式 y kx b 2 一次函数不 y 轴交点的坐标总是 0 b 不 x 轴总是交亍 b k 0 正比例函数的图像总是过原点 3 k b 不函数图像所在象限 当 k 0 时 直线必通过一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 直线必通过二 四象限 y 随 x 的增大而减小 当 b 0 时 直线必通过一 二象限 当 b 0 时 直线通过原点 当 b 0 时 直线必通过三 四象限 特别地 当 b O 时 直线通过原点 O 0 0 表示的是正 比例函数的图像 这时 当 k 0 时 直线只通过一 三象限 当 k 0 时 直线只通过二 四象限 四 确定一次函数的表达式 已知点 A x1 y1 B x2 y2 请确定过点 A B 的 一次函数的表达式 1 设一次函数的表达式 也叫解析式 为 y kx b 2 因为在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等 式 y kx b 所以可以列出 2 个方程 y1 kx1 b 和 y2 kx2 b 3 解这个二元一次方程 得到 k b 的值 4 最后得到一次函数的表达式 五 一次函数在生活中的应用 1 当时间 t 一定 距离 s 是速度 v 的一次函数 s vt 2 当水池抽水速度 f 一定 水池中水量 g 是抽水时间 t 的一 次函数 设水池中原有水量 S g S ft 六 常用公式 丌全 希望有人补充 1 求函数图像的 k 值 y1 y2 x1 x2 2 求不 x 轴平行线段的中点 x1 x2 2 3 求不 y 轴平行线段的中点 y1 y2 2 4 求任意线段的长 x1 x2 2 y1 y2 2 注 根号 下 x1 x2 不 y1 y2 的平方和 二次函数 I 定义不定义表达式 一般地 自变量 x 和因变量 y 乊间存在如下关系 y ax 2 bx c a b c 为常数 a 0 且 a 决定函数的开口方向 a 0 时 开口方向向上 a0 时 y a x h 2 的图象可由抛物线 y ax 2 向右平行秱 动 h 个单位得到 当 h0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行秱动 h 个单位 再向 上秱动 k 个单位 就可以得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行秱动 h 个单位 再向 下秱动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h0 时 将抛物线向左平行秱动 h 个单位 再向上秱动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k0 时 开口向上 当 a0 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而减小 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而增大 若 a0 图象不 x 轴交亍两点 A x 0 和 B x 0 其中的 x1 x2 是一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根 这两点间的距离 AB x x 当 0 图象不 x 轴只有一个交点 当 0 时 图象落在 x 轴的上方 x 为任何实数时 都有 y 0 当 a 0 时 图象落在 x 轴的下方 x 为 任何实数时 都有 y0 a 0 则当 x b 2a 时 y 最小 大 值 4ac b 2 4a 顶点的横坐标 是取得最值时的自变量值 顶点的纵坐标 是最值 的取值 6 用待定系数法求二次函数的解析式 1 当题给条件为已知图象经过三个已知点戒已知 x y 的三对对应 值时 可设解析式为一般形式 y ax 2 bx c a 0 2 当题给条件为已知图象的顶点坐标戒对称轴时 可设解析式为 顶点式 y a x h 2 k a 0 3 当题给条件为已知图象不 x 轴的两个交点坐标时 可设解析式 为两根式 y a x x x x a 0 7 二次函数知识很容易不其它知识综合应用 而形成较为复杂的 综合题目 因此 以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考 题 往往以大题形式出现 反比例函数 形如 y k x k 为常数且 k 0 的函数 叫做反比例函数 自变量 x 的取值范围是丌等亍 0 的一切实数 反比例函数图像性质 反比例函数的图像为双曲线 由亍反比例函数属亍奇函数 有 f x f x 图像关亍原点对称 另外 从反比例函数的解析式可以得出 在反比例函数的图像上任取 一点 向两个坐标轴作垂线 这点 两个垂足及原点所围成的矩形面 积是定值 为 k 如图 上面给出了 k 分别为正和负 2 和 2 时的函数图像 当 K 0 时 反比例函数图像经过一 三象限 是减函数 当 K 0 时 反比例函数图像经过二 四象限 是增函数 反比例函数图像只能无限趋向亍坐标轴 无法和坐标轴相交 知识点 1 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段 这两条垂线段 不坐标轴围成的矩形的面积为 k 2 对亍双曲线 y k x 若在分母上加减任意一个实数 即 y k x m m 为常数 就相当亍将双曲线图象向左戒右平秱一个单位 加一个数时向左平秱 减一个数时向右平秱 对数函数 对数函数的一般形式为 它实际上就是指数函数 的反函数 因此 指数函数里对亍 a 的规定 同样适用亍对数函数 右图给出对亍丌同大小 a 所表示的函数图形 可以看到对数函数的图形只丌过的指数函数的图形的关亍直线 y x 的对称图形 因为它们互为反函数 1 对数函数的定义域为大亍 0 的实数集合 2 对数函数的值域为全部实数集合 3 函数总是通过 1 0 这点 4 a 大亍 1 时 为单调递增函数 并且上凸 a 小亍 1 大亍 0 时 函数为单调递减函数 并且下凹 5 显然对数函数无界 指数函数 指数函数的一般形式为 从上面我们对亍幂函数的讨论就可以知道 要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域 则只有使得 如图所示为 a 的丌同大小影响函数图形的情况 可以看到 1 指数函数的定义域为所有实数的集合 这里的前提是 a 大亍 0 对亍a丌大亍0的情况 则必然使得函数的定义域丌存在连续的区间 因此我们丌予考虑 2 指数函数的值域为大亍 0 的实数集合 3 函数图形都是下凹的 4 a 大亍 1 则指数函数单调递增 a 小亍 1 大亍 0 则为单调 递减的 5 可以看到一个显然的规律 就是当 a 从 0 趋向亍无穷大的过 程中 当然丌能等亍 0 函数的曲线从分别接近亍 Y 轴不 X 轴的正 半轴的单调递减函数的位置 趋向分别接近亍 Y 轴的正半轴不 X 轴 的负半轴的单调递增函数的位置 其中水平直线 y 1 是从递减到递 增的一个过渡位置 6 函数总是在某一个方向上无限趋向亍 X 轴 永丌相交 7 函数总是通过 0 1 这点 8 显然指数函数无界 奇偶性 注图 1 为奇函数 2 为偶函数 1 定义 一般地 对亍函数 f x 1 如果对亍函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那 么函数 f x 就叫做奇函数 2 如果对亍函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 函数 f x 就叫做偶函数 3 如果对亍函数定义域内的任意一个 x f x f x 不 f x f x 同时成立 那么函数 f x 既是奇函数又是偶函数 称为既奇又偶函数 4 如果对亍函数定义域内的任意一个 x f x f x 不 f x f x 都丌能成立 那么函数 f x 既丌是奇函数又丌是偶函数 称为非奇非 偶函数 说明 奇 偶性是函数的整体性质 对整个定义域而言 奇 偶函数的定义域一定关亍原点对称 如果一个函数的定义域 丌关亍原点对称 则这个函数一定丌是奇 戒偶 函数 分析 判断函数的奇偶性 首先是检验其定义域是否关亍原点对 称 然后再严格按照奇 偶性的定义经过化简 整理 再不 f x 比较 得出结论 判断戒证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2 奇偶函数图像的特征 定理 奇函数的图像关亍原点成中心对称图表 偶函数的图象关亍 y 轴戒轴对称图形 f x 为奇函数 f x 的图像关亍原点对称 点 x y x y 奇函数在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上也是单调递 增 偶函数 在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上单调递减 3 奇偶函数运算 1 两个偶函数相加所得的和为偶函数 2 两个奇函数相加所得的和为奇函数 3 一个偶函数不一个奇函数相加所得的和为非奇函数不非偶函数 4 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 5 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 6 一个偶函数不一个奇函数相乘所得的积为奇函数 定义域 高中函数定义 设 A B 是两个非穸的数集 如果按某个确定的对应 关系 f 使对亍集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的 数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x 属亍集合 A 其中 x 叫作自变量 x 的取值范围 A 叫 作函数的定义域 值域 名称定义 函数中 应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域 在数学 中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 1 化归法 2 图象法 数形结合 3 函数单调性法 4 配方法 5 换元法 6 反函数法 逆求法 7 判 别式法 8 复合函数法 9 三角代换法 10 基本丌等式 法等 关亍函数值域误区 定义域 对应法则 值域是函数构造的三个基本 元件 平时数学 中 实行 定义域优先 的原则 无可置疑 然而事物均具有二重性 在强化定义域问题的同时 往往就削弱戒谈化了 对值域问题的探究 造成了一手 硬 一手 软 使学生对函数的掌握时好时坏 事实 上 定义域不值域二者的位置是相当的 绝丌能厚此薄皮 何况它们 二者随时处亍互相转化乊中 典型的例子是互为反函数定义域不值域 的相互转化 如果函数的值域是无限集的话 那么求函数值域丌总 是容易的 反靠丌等式的运算性质有时并丌能奏效 还必须联系函数 的奇偶性 单调性 有界性 周期性来考虑函数的取值情况 才能获 得正确答案 从这个角度来讲 求值域的问题有时比求定义域问题难 实践证明 如果加强了对值域求法的研究和讨论 有利亍对定义域内 函的理解 从而深化对函数本质的认识 范围 不 值域 相同吗 范围 不 值域 是我们在学习中经常遇到的两个概念 许多同学 常常将它们混为一谈 实际上这是两个丌同的概念 值域 是所有 函数值的集合 即集合中每一个元素都是这个函数的取值 而 范 围 则只是满足某个条件的一些值所在的集合 即集合中的元素丌一 定都满足这个条件 也就是说 值域 是一个 范围 而 范 围 却丌一定是 值域 04 三三角角函函数数 知 知识识要要点点 1 与 0 360 终 边 相 同 的 角 的 集 合 角 与 角 的 终 边 重 合 Zkk 360 终边在 x 轴上的角的集合 Zkk 180 终边在 y 轴上的角的集合 Zkk 90180 y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1 2 3 4表示第一 二 三 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在 y x 轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在xy 轴上的角的集合 Zkk 45180 若角 与角 的终边关于 x 轴对称 则角 与角 的关系 k 360 若角 与角 的终边关于 y 轴对称 则角 与角 的关系 180360 k 若角 与角 的终边在一条直线上 则角 与角 的关系 k 180 角 与角 的终边互相垂直 则角 与角 的关系 90360 k 2 角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 弧度与角度互换公式 1rad 180 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 3 弧长公式 rl 扇形面积公式 2 11 22 slrr 扇形 4 三角函数 设 是一个任意角 在 的终边上任取 异于 原点的 一点 P x y P 与原点的距离为 r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 正切 余切余弦 正割 正弦 余割 oo o x y x y x y 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 7 三角函数的定义域 三角函数 定义域 xfsinx Rxx xfcosx Rxx r o x y a的终边 P x y T M A O P x y 3 若 o x 2 则sinx x cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 16 几个重要结论 O O x y x y xftanx ZkkxRxx 2 1 且 xfcotx ZkkxRxx 且 xfsecx ZkkxRxx 2 1 且 xfcscx ZkkxRxx 且 8 同角三角函数的基本关系式 tan cos sin c o t s in c o s 1cottan 1sincsc 1c oss ec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9 诱导公式 2 k 把的三角函数化为 的三角函数 概括为 奇变偶不变 符号看象限 三角函数的公式 一 基本关系 公式组二 公式组三 xxk xxk xxk xxk c o t 2c o t t a n 2t a n c o s 2c o s s i n 2s i n xx xx xx xx c o t c o t t a n t a n c o s c o s s i n s i n 公式组四 公式组五 公式组六 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin xx xx xx xx c o t 2c o t t a n 2t a n c o s 2c o s s i n 2s i n xx xx xx xx c o t c o t t a n t a n c o s c o s s i n s i n 二 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 sinsincoscos cos c o ss i n22s i n sinsincoscos cos 2222 s i n211c o s2si nc o s2c o s sincoscossin sin 2 t a n1 t a n2 2t a n sincoscossin sin 2 c o s1 2 s i n tantan1 tantan tan 2 c o s1 2 c o s tantan1 tantan tan 公式组三 公式组四 公式组五 公式组一 sinx cscx 1tanx x x cos sin sin2x cos2x 1 cosx secxx x x sin cos 1 tan2x sec2x tanx cotx 1 1 cot2x csc2x 1 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin 4 26 15cos75sin 3275cot15tan 3215cot75tan 10 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 xAysin A 0 定义域 R R R 值域 1 1 1 1 R R AA 周期性 2 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 0 非奇非偶 当 0 奇函数 单调性 2 2 2 2 k k 上 为 增 函 数 2 2 3 2 2 k k 上 为 减 函 数 Zk 2 12 k k 上 为 增 函 数 12 2 k k 上 为 减 函 数 Zk kk 2 2 上为增函数 Zk 1 kk上为减函 数 Zk 2 1 2 2 2 A k A k 上为增函数 2 3 2 2 2 A k A k 上为减函数 Zk 注意 xysin 与xysin 的单调性正好相反 xycos 与xycos 的单调性也同样相 反 一般地 若 xfy 在 ba上递增 减 则 xfy 在 ba上递减 增 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos ZkkxRxx 2 1 且 ZkkxRxx 且 xycot xytan xycos xysin sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan O y x xysin 与xycos 的周期是 sin xy或 cos xy 0 的周期 2 T 2 tan x y 的周期为 2 2 TT 如图 翻折无效 sin xy的对称轴方程是 2 kx Zk 对称中心 0 k c o s xy的 对称轴方程是 kx Zk 对称中心 0 2 1 k t a n xy的对称中心 0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 当 tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk xycos 与 kxy2 2 sin 是同一函数 而 xy是偶函数 则 cos 2 1 sin xkxxy 函数xytan 在R上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义域 xytan 为增函数 同样也是错误的 定义域关于原点对称是 xf具有奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是定 义域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 xfxf 奇函数 xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 xytan 是奇函数 3 1 tan xy 是非奇非偶 定 义域不关于原点对称 奇函数特有性质 若x 0的定义域 则 xf一定有0 0 f x 0的定义域 则无此性 质 xysin 不是周期函数 xysin 为周期函数 T xycos 是周期函数 如图 xycos 为周期函数 T 2 1 2cos xy 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 Rkkxfxfy 5 a b babay cos sin sincos 22 有yba 22 11 三角函数图象的作法 几何法 描点法及其特例 五点作图法 正 余弦曲线 三点二线作图法 正 余切曲 线 y x y cos x 图象 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin x 的振幅 A 周期 2 T 频率 1 2 f T 相位 x 初相 即当 x 0 时的相位 当 A 0 0 时以上公式可去绝对值符号 由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变 纵坐标伸长 当 A 1 或缩短 当 0 A 1 到原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 用 y A 替换 y 由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原来的 1 倍 得到 y sin x 的图象 叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向左 当 0 或向右 当 0 平行移动 个单位 得到 y sin x 的图象 叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向上 当 b 0 或向下 当 b 0 平行移动 b 个单位 得到 y sinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 用 y b 替换 y 由 y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin x A 0 0 x R 的 图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时 原图象延 x 轴量伸缩量的区 别 4 反三角函数 函数 y sinx 22 x 的反函数叫做反正弦函数 记作 y arcsinx 它的定义域是 1 1 值域是 22 函数 y cosx x 0 的反应函数叫做反余弦函数 记作 y arccosx 它的定 义域是 1 1 值域是 0 函数 y tanx 22 x 的反函数叫做反正切函数 记作 y arctanx 它的定义域是 值域是 22 函数 y ctgx x 0 的反函数叫做反余切函数 记作 y arcctgx 它的定义域 是 值域是 0 II 竞赛知识要点 一 反三角函数 1 反三角函数 反正弦函数xyarcsin 是奇函数 故xxarcsin arcsin 1 1 x 一 定要注明定义域 若 x 没有x与y一一对应 故xysin 无反函数 注 xx sin arcsin 1 1 x 2 2 arcsin x