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1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。（2）矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。（3）矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。（4）零元是零矩阵。AMn(R),A+0=0+A=A。（5）AMn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。（Mn(R),+）构成一个Abel群。2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。证明：显然GLn(R)是个非空集合。 对于任何的A,BGLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A|B|0,所以CGLn(R)。 因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 对任意AGLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。 任意的AGLn(R)，由于A0,的逆矩阵，满足且A的逆元是 .所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.证：（1）由于EOn (R),On (R)非空。 (2 ) 任意A,BOn (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1, ABOn(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) 矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。（4）对任意AOn (R)，有AE=EA=A E为On (R)的单位元。 （5）对任意AOn (R)，存在ATOn (R)， 满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A AT为A在On (R)中的逆元。 On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。证明：EnSLn(Z)，SLn(Z)是个非空集合。 对任意A,B SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且C=AB=AB=1,CSLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。（1） 矩阵乘法有结合律，结合律成立。（2） 对任意的ASLn(Z)，AE=EA=A,且ESLn9Z),A的单位元是单位矩阵E。（3） 对任意的A SLn(Z),因为AMn(Z),故Mn(Z),又且,所以SLn(Z),又,故的逆元为 。所以 ，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。 5:在整数集中,规定运算“”如下：ab=a+b-2, a,bZ.证明：（Z, ）构成群。 证 （1）对于任意a，bZ有 ab=a+b-2Z， 于是“”在Z上构成代数运算。（2）对于任意a，bZ有，（ab）c=a+b+c-4 a(bc)=a(b+c-2)=a+b+c-4， (ab) c=a(bc)于是结合律成立（3）对于任意的a，bZ ， ab=a+b-2=b+a-2=ba， 那么“”在Z上有交换律。（4）对于任意的aZ， 有2a=2+a-2=a， 2为单位元（5）对于任意的aZ， 有4-aZ (4-a) a=4-a+a-2=2， 4-a为a的逆元。（Z, ）构成群。6：分别写出下列各群的乘法表。（1）例6中的群；1-1i-i11-1i-i-1-11-iiiI-i-11-i-ii1-1(3)群Z7*；123456112345622461353362514441526355316426654321(4)群U(18).1571113171157111317557171111377171351111111151317713131111775171713117517：设G=证明：G关于矩阵的乘法构成群。证：记=aI，I=。（1） G非空，G。（2）aI,bIG，则a,bR,a,b0，2ab0,aIbI=2abIG。（3）a,b,cR,且a,b,c0,有（aIbI）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。（4）单位元为IG. aR,a0,aI(I)= IaI=aI。（5）aIG，则IG。aI(I)=(I)aI=I。（G，）为群。8：证明：所有形如的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。证明：记G=| m，nZ（1） G是一个非空集合；（2） G，有=G， 是G上的一个代数运算；（3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；（4） 1是单位元。1=G，且1=； （5）G，有G，且=1；G关于数的乘法构成群。9：证明：所有形如的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group）。证：（1）显然非空。（2）保持代数运算：。（3）结合律：（4）单位元为，=。（5）G，G，使=。G构成群。10：设G是群，a1,a2,arG。证明（a1a2ar）= ar-1ar-1-1a1-1.证：G为群，aiG,i=1,2,r.则a1a2ar G, ar-1ar-1-1a1-1G.（ar-1ar-1-1a1-1）（a1a2ar）=（ar-1a2）(a1-1a1）(a2ar）=（ar-1a2）(a2ar)=.= ar-1 ar=e.又（a1a2ar）（ar-1ar-1-1a1-1）=（a1a2）(arar-1）(ar-1-1a1-1）=（a1ar-1）（ar-1-1a1-1）= a1 a1-1=e.由逆元的惟一性知：（a1a2ar）-1= ar-1ar-1-1a1-1。11：设G是群，a，bG，证明：如果=，则=。证明：= = =。或=。12.设G是群。证明：如果对任意的xG,都有x2=e，则G是一个交换群。证明：对任意a,b属于G,。故，所以群G是交换群。13：设G是群。证明：G是交换群的充分必要条件是对任意的a,bG,(ab)2=a2b2.证：“=”G是交换群。对于任意的a，bG，有ab=ba那么 (ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b2“ ba=ab， (消去律)G为交换群。14:设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G是一个群.证 G是具有乘法运算的非空有限集合， 设G= a,a2,an，对于任意的aG， Ga=a1a,a2a,ana=G且G满足结合律，有左单位元存在aia=e G，即ai为a的左逆元于是G是一个群。15.证明：一个具有乘法运算的非空集合G，如果满足结合律，有右单位元（即有G，使对任意的G，有=），且G中的每个元素有右逆元（即对每个G，有G，使=），则G构成群。证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。（充分性）只需证：是G的单位元，是的逆元即可。设G，由条件知，存在G，使 =。 同时又存在G，使 =。于是 =，且 =。 联系题设条件知，是G的单位元，是的逆元。G为群。16:设G是有限群。证明：G中使x3=e的元素x的个数是奇数.证：G是有限群， A= xG| x3=e eG 且e3=e ， eA 又 对于任意的xA , xe,存在x-1A， 满足（x-1）3=（x2）3=x6=（x3）2=e2=e。 A中的元素个数是奇数。17：设p,q是不同的素数。假设H是整数集的真子集，且H关于加法是群，H恰好包含集合p,p+q,pq,pq,qp中的三个元素。试确定以下各组元中哪一组是H中的这三个元素？（A）pq,pq,qp; (B) p,p+q,pq: (C) p,pq,pq: (D) p+q,pq,pq: (E) p,pq,qp.解：（C）。（A）(pq,qp)=1,p(mpq+nqp)=pH,矛盾。（B）(p,p+q)=1,qH,矛盾。（C）全为p的倍数，