（全国通用）2020版高考数学专题二4大数学思想系统归纳第4讲转化与化归思想讲义.docx

第4讲转化与化归思想“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙.事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等.例1若对任意的t1，2，函数g(x)x3x22x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_.解析由题意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，则m49，即m.函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.故选C.2.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1，1内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围为_.解析：如果在区间1，1内没有值满足f(c)0，则p3或p，取补集为3p，即为满足条件的p的取值范围.故实数p的取值范围为.答案：例2已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数.对任意a1，1都有g(x)0，则实数x的取值范围为_.解析由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.因为对a1，1，恒有g(x)0，即(a)0，所以即解得x1.故当x时，对任意a1，1都有g(x)a4a5B.a1a8a4a5D.a1a8a4a5解析：选B取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1845成立，即a1a8ln1，h(4)ln43lnln1，又函数h(x)在1，)上为减函数，满足条件的最大整数m的值为3.技法领悟(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围.应用体验6.在等差数列an中，a2，a2020是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，则loga1011的值为()A.3B.C.3D.解析：选Bf(x)3x212x4，因为a2，a2020是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，所以a2，a2020是方程3x212x40的两个不等实数根，所以a2a20204.又因为数列an为等差数列，所以a2a20202a1011，即a10112，从而loga1011log2.故选B.7.方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围为_.解析：令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数.当方程2x3xk的解在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k10.当f(1)0时，k5.综上，k的取值范围为5，10).答案：5，10)例5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点.当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为_.解析将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上)，连接AC1与B1B相交于点D，此时ADDC1最小，BDCC11.因为在直三棱柱中，BCAB，BCBB1，且BB1ABB，所以BC平面AA1B1B，又CC1平面AA1B1B，所以V三棱锥DABC1V三棱锥C1ABDV三棱锥CABDSABDBC112.答案技法领悟(1)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，把沿表面两点的距离问题转化为平面上两点间的距离问题.(2)形体位置关系的相互转化的技巧：分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象；位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体.由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征；得出结论，在新的几何结构中解决目标问题.应用体验8.在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为，则该四面体内切球的体积为_.解析：由题意，将侧面ABC和ACD沿AC边展开成平面图形，如图所示.设正四面体的棱长为a，则BPPE的最小值为BEa，解得a2，所以正四面体的高为，所以正四面体的体积为8，设该四面体内切球的半径为r，则48r，解得r，所以该四面体内切球的体积为.答案：1.转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困