第三章 功能原理和机械能守恒定律.doc

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律第三章 功能原理和机械能守恒定律基本内容本章重点是掌握功和能等概念及其物理规律，并掌握这些规律的应用条件和方法。本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性力学问题的分析求解。教学目的1. 掌握功的概念，能够计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和引力势能。2. 掌握质点的动能定理，能正确地用于质点平面运动的力学问题。3. 掌握运用机械能守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间.因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向.在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规律，而直接用这些规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。 动量守恒和能量守恒不仅是力学也是物理学中各种运动所遵循的普遍规律，三四两章的主要内容有质点和质点系的动量定理和动能定理，外力与内力，保守力与非保守力等概念，以及动量守恒定律和机械能守恒定律。3-1 动能定理一、功如有一质点在力的作用下，沿图3-8所示的路径运动。设在时刻、质点位于，经过时间间隔，质点的位移为。力与质点位移之间的夹角为。在物理学中，功的定义是：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分矢量与位移大小的乘积。按此定义，该力所作的元功为（3-6a）从上式可以看出，当90o0o时，功为正值，即力对质点作正功；当90o180o时，功为负值，即力对质点作了负功。由于力与位移均为矢量，从矢量的标积定义知，上式等号右边为与标积，即（3-6b）质点由点运动到点，在这过程中作用质点上的力的大小和方向都可能在改变。为求得在这过程中变力所作的功。我们把路径分成很多段的多个位移元，使得在这些位移元内，力可近似地看成是不变的。于是，质点从点移到点时，变力所作的功应等于力在每段位移元上所作元功的代数和，即（3-7）上式是变力作功的表达式。功常用图示法来计算。如图3-10所示，图中的曲线表示随路径变化的函数关系。曲线下面的面积等于变力作功的代数值。在直角坐标系中，和都是坐标、的函数，即和 因此式（3-7）亦可写成（3-8）物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同的，按照物理学上功的定义，如果一个人把40千克的重物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。 有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：平均功率瞬时功率一般，汽车发动机的功率是恒定的（如原来的上海桑塔纳轿车，发动机的最大功率是66kW），因此在启动或爬坡时，因所需驱动力较大，司机总是调到低档驾驶。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单位则为牛顿米（Nm），通常把1牛顿米称作1焦耳（J），功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦小时来计量用电量的多少，1千瓦小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6106 焦耳。 课本44页例一例二二、质点的动能定理1 质点的动能定理力对物体作功，则要使物体的运动状态发生变化。它们之间的关系如何呢？如图3-11所示，一质量为的质点在合外力作用下，自点沿曲线移动到点。它在点和点的速率分别为。设作用在位移元上的合外力与之间的夹角为。由式（3-6）可得，合外力对质点所作的元功为 （3-9）由牛顿第二定律及切向加速度的定义,有 故可得于是，质点自点移动至点这一过程中，合外力所作的总功为 （3-9a）我们把叫做质点的动能，用表示，即这样，和分别表示质点在起始和终了位置时的动能。式（3-9a）可写成（3-9b）上式表明，合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。这个结论就叫做质点的动能定理。称为初动能，而称为末动能。2关于质点的动能定理几点说明（1）对质点而言，W为合外力的功。（2）功与动能之间的区别和联系：区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，我们说物体在某一时刻或某一位置具有多少功，是没有任何意义的。动能决定于质点的运动状态，动能是状态量。联系：外力持续作用在物体上，外力的功是动能变化的量度。按照质点动能定理的表达式可知，在合外力对物体作正功(W0)的过程中，物体在末态的动能大于始态的动能，反之，在合外力对物体作负功(W0)的过程中，物体在末态的动能小于始态的动能，这时物体反抗合外力作功，或者说，物体克服施力物体的作用力作了正功，使物体减少或损失动能。所以，物体动能的改变可用功来量度。（3）动能定理仅适用于惯性系。（4）动能定理提供了一种计算功的简便方法. （5）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性. 课本46页例三例题 3-1.一质量为m的质点在沿x轴方向的合外力 作用下（其中， ,k为正的恒量），从x=0处自静止出发，求它沿x轴运动时所能达到的最大速率。解：按题设，质点由x=0处沿x轴运动到任一位置x的过程中，合外力所作的功为利用质点动能定理的表达式，考虑到初动能为零，则有即质点的动能为可见，质点的动能 随位置x而改变，令 ,则得质点所具有的最大动能为按质点的动能定义， 则相应的最大速率为例题3-2 如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶.因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l 距离,卡车滑行了L距离.求L和l.巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为.解：解法一（用质点动能定理求解）只有卡车和木箱二者间摩擦力 、和地面对车的摩擦力F做功，三力之受力质点位移各为L、L+l、L 。 根据质点动能定理得解得解法二（用质点系动能定理求解）视卡车与木箱为一质点系.外力F做功 ，内力做功等于力与相对位移的标积，即根据质点系动能定理，有又视木箱为质点，得上面式.联立得与上法相同结果.注意：卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明一对内力之功并不一定等值反号.滑动摩擦力做正功或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位移的基础上作具体分析.但一对滑动摩擦力所做功的代数和却总是负的.三、思考题1 合外力对物体所作的功等于物体动能的增量，那么，其中某一个分力作的功，能否大于物体动能的增量？2 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？ 3-2 保守力与非保守力 势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如课本图3-13所示，有两个质量为的质点，其中质点固定不动。取的位置为坐标原点，、两点对的距离分别为经任一路径由点运动到点，万有引力作的功为 计算万有引力作功设在某一时刻质点距质点的距离为，其位矢为，这时质点受到质点的万有引力为为沿位矢的单位矢量，当沿路径移动位移元时，万有引力作的功为从图可以看出于是，上式为所以，质点从点沿任一路径到达点的过程中，万有引力作的功为 即 （3-10）上式表明，当质点的质量均给定时，万有引力作的功只取决于质点的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。2 重力作功如图3-14所示，一个质量为的质点，在重力作用下从点沿路径至点，点和点距地面的高度分别为，因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径分成许多位移元，在位移元中，重力所作的功为若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点，有且。于是，前式为质点由点移至点的过程中，重力作的总功为 即 （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。3 弹性力作功如图3-15所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点（即位于处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置为坐标原点，向右为轴正向。弹簧伸长量由变到时，计算弹性力对物体的作的功为若物体受到沿轴正向的外力作用，弹簧将沿轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力与弹簧的伸长量之间的关系为式中称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为时的弹性力可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为时，弹性力作的元功为有 这样，弹簧的伸长量由时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得 （3-12）式中为弹簧的劲度系数。从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（和）决定，而与弹性形变的过程无关。 二、保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力。保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即 （3-13）式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。 然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。非保守力分类： 次于称为耗散力（如滑动摩擦力），将机械能转化为热能. （如爆炸力），将其他形态的能（如化学能、电磁能）转化为机械能.三、势能定理：对于保守力场，可以定义一个标量函数 V(r)，称为势能（或势函数、位能），使保守力作的功为：A(rA rB) =V(rA) V(rB) 。其中A(rA rB)表示质点从空间 rA 点运动到 rB 点保守力所作的功。 反之，存在势能的力一定是保守力。 1. 势能 定义： 由此，有1. 势能 定义： 即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到零势点的积分值例：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于 r 点质量为 m 的质点的万有引力为： 若规定无穷远点 的引力势能为零，则空间 r 点质量为 m 的质点的势能为： 1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号表示。于是，三种势能分别为重力势能 引力势能 （3-14）弹性势能 式（3-10）、式（3-11）、和式（3-12）可统一写成（3-15）上式表明，保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。2 对势能概念的进一步讨论(1)势能是状态（位置坐标）的函数，在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，即。前面还说过，动能亦是状态的函数，。(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择. 势能的值与势能零点的选取有关。一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。所以，通常说势能具有相对意义。但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。 (3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能. 势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。应当注意，在平常叙述时，常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的，这只是为了叙述上的简便，其实它是属于地球和物体系统的。至于物体的引力势能和弹性势能，也都是这样。(4)由于内力的功与参照系无关，体系的势能（或势能差）与参照系无关。五、思考题1 保守力作的功总是负的，对吗？举例说明。2 把物体抛向空中，有哪些力对它作功，这些力是否都是保守力？3-3 功能原理 机械能守恒定律一、质点系的动能定理设一系统内有个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：、，使各质点由初动能、改变为末动能、，由质点的动能定理式（3-9），可得 （3-16）式中是系统内个质点的初动能之和，是这些质点的末动能之和，则是作用在个质点上的力所作的功之和。因此，上式的物理意义是:作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的动能增量。这也叫做质点系的动能定理。正如前面所说，系统内的质点所受的力，既有来自系统外的力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，因此，作用于质点系的力所作的功，应是一切外力对质点系所作的功与质点系内一切内力所作的功之和，即这样式(3-16)亦可写成 （3-17）这是质点系动能定理的另一数学表达式，它表明，质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一切内力作的功之和。二、质点系的功能原理前面已经指出，如果按力的特点来区分，作用于质点系的力，有保守力与非保守力之分。无论是外力或者是内力都可以是保守力或非保守力。因此，如以表示质点系内各保守内力作功之和，表示质点系内各非保守内力作功之和，那么，质点系内一切内力所作的功则应为此外，从式(3-15)已知，系统内保守力作的功等于势能增量的负值，因此，质点系内各内力的保守力所作的功应为考虑了以上两点，式(3-17)可写为 （3-18）在力学中，动能和势能统称为机械能。若以和分别代表质点系的初机械能和末机械能，即，那么，式(3-18)可写成 （3-19）上式表明，质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。这就是质点系的功能原理。若 ，体系机械能增加； 若 ，体系机械能保持不变； 若 ，体系机械能减少。三、机械能守恒定律从质点系的功能原理式(3-19)可以看出，当时，有 （3-20a）即 （3-20b）它的物理意义是：当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能是守恒的。这就是机械能守恒定律。 机械能守恒定律的数学表达式(3-20)还可以写成即 （3-21）上式指出，在满足机械能守恒的条件()下，质点系内的动能和势能都不是不变的，两者之间可以相互转换，但动能和势能之和却是不变的，所以说，在机械能守恒定律中，机械能是不变量或守恒量。而质点系内的动能和势能之间的转换则是通过质点系内的保守力作功()来实现的。几点说明：1当摩擦力作为体系外力时，对体系可能作正功，也可能作负功（也可以不作功）。摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的，若摩擦力作为作用力对一个物体作正功，则其反作用力对另一个（与之发生摩擦的）物体必作负功，这一对摩擦力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为负（动摩擦）或零（静摩擦），因为一对内力的功只与两物体的相对位移有关，而摩擦力总是与两物体的相对位移反方向。因而动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，它不消耗机械能。 2关于功与能的定理都是在牛顿定律基础上导出来的，因而只在惯性系中成立。3即使在惯性系中，应用功能定理时也要注意以下几点： （1）功并不是与参考系无关的不变量，内力所作的总功虽与参考系无关（此结论即使对非惯性系也成立），但外力的功一般与参考系有关。 （2）动能并不是与参考系无关的不变量。物体的速度与参考系有关，因而物体的动能也与参考系有关。 （3）物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体系的势能与参考系无关。 注意到这几点以后，不难看出，尽管在任何惯性系内动能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但力的功，体系的动能，机械能的数值在不同参考系中并不相同；而且，一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系内机械能未必守恒，因为在一个参考系内机械能守恒条件成立，在另一个参考系内机械能守恒条件未必成立。 4功总是与一个过程相联系，而能量（动能和势能）总是与物体或物体系的状态，即（相对）位置和速度相联系。因而功是过程量，能量是状态量。在力学范围内，作功的过程总是与体系能量的改变相联系。 课本52页例一，例二，例三，例四例题3-3 质量m=0.1kg的小球被压缩的水平轻弹簧弹出后，沿水平轨道AB和铅直的半圆形轨道运动，当小球达到D点时，恰好开始脱离轨道设半圆轨道的半径 R=1.5m， D点离水平轨道的高度 H=2.4m，弹簧的劲度系数，并不计一切摩擦。求：（1）弹簧原先被压缩的长度；（2）小球达到图中C点位置时，对轨道的压力解:（1）在小球被弹簧弹出的过程中，以小球和弹簧为系统其外力有重力和水平轨道的支承力，它们皆不作功。即；又按题设不计摩擦， ，故系统的机械能守恒。由于系统内仅有保守性的内力弹簧的弹性力，取弹簧原长时作为弹性势能零点，便可列出 (1)而今小球被弹出时的速度v不知道，故不能由上式求弹簧原先的压缩量；且此后沿水平轨道运动的过程中，小球以弹出时的速度v保持匀速前进（为什么？），无助于求速度v。为此，只得再考察小球进入半圆形轨道BD段的运动过程：把小球和地球视作一系统，轨道的法向支承力从为系统的唯一外力，但它处处垂直干小球的位移，故不作功因而，系统的机械能守恒在系统内力仅有保守性的重力情况下，接机械能守恒定律的表达式,取此过程中的最低点作为重力势能零点，便可列出(2)式中，为小球在D点的速率相应于小球在D点的该瞬时，按牛顿第二定律，列出小球运动方程的法向分量式，即 (3)式中，。按题意，在D点，则由式(1),(2),(3)联立求解，并代入已知数据，可解算出弹簧原先的压缩量为(4)（2）同理，小球从B点运动到C点的过程中，读者可自行分析，对小球与地球组成的系统而言，其机械能亦守恒，即式中，为小球在C点的速率把式(1)和(4)式带入上式,得:(5)并考虑小球在C点这一瞬时的运动方程法向分量式为(6)式中，为轨道在C点对小球施加的压力，它可由式(5),(6)，并借已知数据解算出来，即五、思考题一个物体可否有机械能而无动量?可否具有动量而无机械能?试举例说明。四、势能曲线一旦知道了势能的表达式，我们可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力