高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 第三课时 利用导数证明不等式专题课件 理 新人教版.ppt

第三课时利用导数证明不等式专题 专题概述 利用导数证明不等式是高考的热点问题 常作为解答题的一问出现 难度较大 解决此类问题一般是通过构造函数把不等式问题转化为求函数单调性或最值问题解决 考点一 构造函数证明不等式 考查角度1 移项构造函数证明不等式 例1 2016 全国 卷 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 考点专项突破在讲练中理解知识 2 证明当x 1 时 1 x 3 设c 1 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 反思归纳当不等式左 右两边都含有自变量时 可以移项后构造函数 证明所构造函数的最值与0的大小关系 常见方法是 若证明f x g x 在区间d上恒成立 则构造函数h x f x g x 再根据函数单调性或最值 证明h x 0 考查角度2 最值转化法证明不等式 例2 2017 忻州质检 已知a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 1 解 由f x ex 2x 2a x r 知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而ex x2 2ax 1 0 故当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 考查角度3 变形转化后证明不等式 例3 2017 沈阳质检 已知函数f x ex 1 x ax2 1 当a 0时 求证 f x 0 1 证明 当a 0时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 f x min f 0 0 所以f x 0 2 当x 0时 若不等式f x 0恒成立 求实数a的取值范围 2 解 f x ex 1 2ax 令h x ex 1 2ax 则h x ex 2a 当2a 1时 在 0 上 h x 0 h x 单调递增 h x h 0 即f x f 0 0 所以f x 在 0 上为增函数 所以f x f 0 0 所以当a 时满足条件 当2a 1时 令h x 0 解得x ln2a 在 0 ln2a 上 h x 0 h x 单调递减 所以当x 0 ln2a 时 有h x h 0 0 即f x f 0 0 所以f x 在区间 0 ln2a 上为减函数 所以f x f 0 0 不合题意 综上 实数a的取值范围为 3 若x 0 证明 ex 1 ln x 1 x2 考点二 构造函数证明与函数零点 方程根 有关的不等式 例4 导学号18702122已知函数f x lnx 1 求f x 的最小值 2 若方程f x a有两个根x1 x2 x12a 反思归纳若函数y f x 的极值点是x0 且x1 x2是函数y f x 的零点 则关于x1 x2 x0的不等式常用证明方法如下 1 构造一元函数f x f x0 x f x0 x 2 求f x 确定函数f x 的单调性 3 结合f 0 0判断f x 的符号 确定f x0 x 与f x0 x 的大小关系 4 结合y f x 的单调性确定x1 x2与x0的大小关系 跟踪训练1 已知函数f x xe x x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 1 解 f x 1 x e x 令f x 0 解得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 已知函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 证明当x 1时 f x g x 2 证明 由题意可知g x f 2 x 得g x 2 x ex 2 令f x f x g x xe x x 2 ex 2 于是f x x 1 e2x 2 1 e x 当x 1时 2x 2 0 从而e2x 2 1 0 又e x 0 所以f x 0 从而函数f x 在 1 上是增函数 又f 1 e 1 e 1 0 所以x 1时 有f x f 1 0 即f x g x 3 如果x1 x2 且f x1 f x2 证明x1 x2 2 3 证明 因为f x1 f x2 且x1 x2 设x10 知x11 由 2 可知 f x2 g x2 g x2 f 2 x2 所以f x2 f 2 x2 从而f x1 f 2 x2 因为x2 1 所以2 x22 x2 即x1 x2 2 考点三 证明与数列有关的不等式 例5 导学号18702123若函数f x ex ax 1 a 0 在x 0处取极值 1 求a的值 并判断该极值是函数最大值还是最小值 1 解 因为x 0是函数极值点 所以f 0 0 所以a 1 f x ex x 1 易知f x ex 1 当x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 故极值f 0 是函数最小值 反思归纳 1 证明此类问题时常根据已知的函数不等式 用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量 通过多次求和达到证明的目的 此类问题一般至少2个问号 已知的不等式常由第一个问号根据待证式的特征而得到 2 已知函数式为指数不等式 或对数不等式 而待证不等式为与对数有关的不