52曲线与方程（含轨迹问题）.doc

Http:/【2012高考数学理科苏教版课时精品练】第八节曲线与方程(含轨迹问题)1若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，求k的取值范围解：由，得(1k2)x24kx100.由直线与双曲线右支有两个不同交点，解得k1.2已知抛物线y24x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n(mn)的两段，求m、n的关系解：由题意设直线AB的方程为yk(x1)，由，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，mn(x11)(x21)x1x2(x1x2)1x1x22mn.mnmn3(2011年南通市质检)平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的M经过F1(0，c)，F2(0，c)，A(c,0)三点，其中c0.(1)求M的标准方程(用含c的式子表示)；(2)已知椭圆1(ab0)(其中a2b2c2)的左、右顶点分别为D，B，M与x轴的两个交点分别为A，C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A，B，M，O，C，D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由解：(1)设M的方程为x2y2DxEyF0，则由题设，得解得M的方程为x2y2cxc20，M的标准方程为(xc)2y2c2.(2)M与x轴的两个交点为A(c,0)，C(c,0)，又B(b,0)，D(b,0)，由题设即所以解得，即e.所以椭圆离心率的取值范围为(，)由(1)得M(c,0)由题设，得cbbcc.bc，D(c,0)直线MF1的方程为1，直线DF2的方程为1.由，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c,3c)，易知kOQ为定值，直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线yx上4设双曲线1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1、l2上的方程；(2)设A、B分别为l1、l2上的动点，且2AB5F1F2，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线解：(1)2，a21，双曲线方程为y21，渐近线方程为yx0和 yx0.(2)F1F24,2AB5F1F2，AB10，设A在l1上，B在l2上，设A(y1，y1)，B(y2，y2)，10.设AB中点(x，y)，则x，y，y1y2，y1y22y，代入得12y2x2100，即1.即所求轨迹为焦点在x轴上中心在原点的椭圆5已知椭圆C：1(ab0)经过点P(1，)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)动直线l：mxnyn0(m，nR)交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点(0,1)解：(1)椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，ab.1.又椭圆经过点P(1，)，代入可得b1，a.故所求椭圆方程为y21.(2)证明：易得动直线过点(0，)当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2(y)2()2，此圆过点(0,1)；当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2y21，此圆过点(0,1)由，消去y得(18k29)x212kx160.设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0.TATB，即以AB为直径的圆恒过定点(0,1)6(探究选做)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B(1，3)(1)求椭圆C和直线l的方程；(2)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.若曲线x22mxy24ym240与D有公共点，试求实数m的最小值解：(1)由离心率e，得，即a23b2. 又点B(1，3)在椭圆C：1上，即1.解得a212，b24，故所求椭圆方程为1.由A(2,0)，B(1，3)得直线l的方程为yx2.(2)曲线x22mxy24ym240，即圆(xm)2(y2)28，其圆心坐标为G(m，2)，半径r2，表示圆心在直线y2上，半径为2的动圆由于要求实数m的最小值，由图可知，只需考虑m0的情形设G与直线l相切于点T，则由2，得m4，当m4时，过点G(4，2)与直线l垂直的直线l的方程为xy60，解方程组得T(2，4)因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1,2，所以切点TD.由图可知当G过点B