高三数学辅导精讲精练32.doc

2014届高三数学辅导精讲精练321已知abc中，()()()123，则abc的形状为()a钝角三角形b等边三角形c直角三角形 d非等腰锐角三角形答案d解析设k，故a2c2b22k，同理可得a2b2c24k，b2c2a26k联立解得a23k，b25k，c24k.故最大角的余弦cosb0，故选d.2在abc中，若2，则abc是()a等边三角形 b锐角三角形c钝角三角形 d直角三角形答案d解析由已知，2()2，0.3设o点在三角形abc内部，且有230，则三角形abc的面积与三角形aoc的面积之比()a2 b.c3 d.答案c解析联想三角形abc重心满足0可延长ob至e使2延长oc至f使3，则o为三角形aef的重心从而saocsaofsaef，saobsaoesaef，sbocsbofsaef.sabcsaocsaobsbocsaef.4(2010湖南卷改编)已知a，b是圆心为c半径为的圆上两点，且|，则等于()ab.c0 d.答案a解析本题考查向量的数量积的运算由于弦长|ab|与半径相同，则acb60|cosacbcos60.5已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|ab|a|b|，命题q：tr，使得atb，则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案c解析|ab|a|b|cos|a|b|，0或180，即a，b共线tr，使得atb成立p是q的充分条件若tr，使得atb，则a，b共线|ab|a|b|.p是q的必要条件综上可知，p是q的充要条件6若o是abc所在平面内一点，且满足|2|，则abc的形状是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形答案b解析2，|2|20，三角形为直角三角形，故选b.7已知两个非零向量a(m1，n1)，b(m3，n3)，且a与b的夹角是钝角或直角，则mn的取值范围是()a，3 b2,6c(，3) d(2,6)答案b解析根据a与b的夹角是钝角或直角得ab0，即(m1)(m3)(n1)(n3)0.整理得(m2)2(n2)22.所以点(m，n)在以(2,2)为圆心，为半径的圆上或圆内令mnz，nmz表示斜率为1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，根据线性规划知识得2mn6.8在abc中，3，abc的面积s，则与夹角的取值范围是()a，b，c， d，答案b解析设，因为|cos3|，又s|sin()sin()tan，而stantan1.故选b.9如图所示，e、f、g、h分别是四边形abcd的所在边的中点，若()()0，则四边形efgh是()a平行四边形，但不是矩形b矩形c菱形d正方形答案b解析，且()()0，0，即.又e、f、g、h为四边形abcd四边的中点，.故四边形efgh为平行四边形且，即为矩形10已知非零向量与满足()0且，则abc为()a三边均不相等的三角形 b直角三角形c等腰非等边三角形 d等边三角形答案d分析本题可先由条件的几何意义得出abac，再求得a，即可得出答案解析因为非零向量与满足()0，所以bac的平分线垂直于bc，所以abac.又cosbac，所以bac.所以abc为等边三角形故选d.11已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()a0， b，c， d，答案b解析|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则|a|24ab0，设向量ab的夹角为，cos，12已知坐标原点为o，抛物线y22x与过焦点的直线交于a、b两点，则等于_答案解析设a(，y1)，b(，y2)，则(，y1)，(，y2)又由y1y2p21，(，y1)(，y2)yyy1y21.13已知向量i和j为互相垂直的单位向量，向量ai2j，bij，a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_答案(，2)(2，)解析0a，b，0cosa，b1，01，即01，解得且2，的取值范围是(，2)(2，)14已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解析(1)设“ab”为事件a，由ab，得x2y.基本事件空间为1(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件其中a(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件，则p(a)，即向量ab的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件b，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.基本事件空间为2(x，y)|，b(x，y)|，如图所示，则p(b)，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.15(2013烟台调研)已知向量m(ac，b)，n(ac，ba)，且mn0，其中a，b，c是abc的内角，a，b，c分别是角a，b，c的对边(1)求角c的大小；(2)求sin asin b的取值范围解(1)由mn0，得(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab.由余弦定理，得cosc.0c，c.(2)c，ab.sinasinbsinasin(a)sinasincosacossinasinacosa(sinacosa)sin(a)0a，a.sin(a)1.sin(a)，即1)，且mn的最大值是5，求k的值解析(1)(2ac)cosbbcosc，(2sinasinc)cosbsinbcosc，即2sinacosbsinbcoscsinccosbsin(bc)abc，2sinacosbsina.0a，sina0，cosb.0b1，t1时，mn取最大值依题意得(mn)max24k15，k.1在平行四边形abcd中，a，b，则当(ab)2(ab)2时，该平行四边形为()a菱形 b矩形c正方形 d以上都不正确答案b解析数形结合，在平行四边形中，ab，ab，由|ab|ab|，|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选b.2(2013唐山统考)在边长为1的正三角形abc中，x，y，x0，y0，且xy1，则的最大值为()a bc d答案d解析建立如图所示的直角坐标系，则a(，0)，b(，0)，c(0，)，设d(x1,0)，e(x2，y2)，x，(x1，0)x(1,0)，x1x.y，(x2，y2)y(，)x2y，y2y.(x1，)(x2，y2)(x1，)(y，y)(x，)(1，x)(x2x1)(x)2.0x1，当x时，取得最大值.故选d.3已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)2x33|a|x26abx5在实数集r上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是()a0， b0，c(0， d，答案b解析f(x)6x26|a|x6ab，由36|a|2466|a|b|cosa，b0，且|a|2|b|0.得cosa，b，故选b.4设g是abc的重心，且(56sina)(40sinb)(35sinc)0，则b的大小为()a15b30c45 d60答案d解析g为abc的重心，0.56sina40sinb35sinc，结合正弦定理有56a40b35c，ab，cb，由余弦定理有cosb，b60.5设p是abc所在平面内的一点，2，则()a.0 b.0c.0 d.0答案b解析根据向量加法的几何意义2p是ac的中点，故0.6设向量a(3，)，b为单位向量，且ab，则b()a(，)或(，)b(，)c(，)d(，)或(，)答案d解析设b(x，y)，由ab可得3yx0.又x2y21，得b(，)或b(，)，故选d.7已知三点a(2,3)，b(1，1)，c(6，k)，其中k为常数若|，则与的夹角的余弦值为()a b0或c. d0或答案d解析由|解得k0或6，当k0时，与的夹角为，其余弦值为0；当k6时，与的夹角余弦值为.8已知a(，)，b(1，)，则|atb|(tr)的最小值等于()a1 b.c. d.答案b解析方法一atb(t，t)，|atb|2(t)2(t)24t22t14(t)2.当t时，|atb|2取得最小值，即|atb|取得最小值.故选b.方法二如图所示，a，b，在ob上任取一点t，使得tb(t0,35，.当a与ab共线时，abma，即(1，2)m(1,2)由得0，即当0时，a与ab共线0.故且0.12已知abc内接于以o为圆心，1为半径的圆，且3450.(1)求数量积，；(2)求abc的面积解析(1)|oa|ob|oc|1，由条件可得345，两边平方得9|22416|225|2.0.同理可得，.(2)由0，可得.saob|.由，得cosboc.sinboc.sboc|sinboc.由，得coscoa，sincoa.saoc|sincoa，即可得sabcsaobsbocscoa.小结由a与ab的夹角为锐角，可得a(ab)0，但由a(ab)0，并不能推得a与ab的夹角为锐角，如0时，a(ab)0，但此时夹角为0，所以a(ab)0仅是a与ab夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件三角形的“心”的向量表示及应用1三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成21；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等2三角形各心的向量表示(1)o是abc的重心0；(2)o是abc的垂心；(3)o是abc的外心|(或222)；(4)o是abc的内心()()()0.注意向量()(0)所在直线过abc的内心(是bac的角平分线所在直线)1将平面向量与三角形内心结合考查例1o是平面上一定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足()，(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的()a外心b内心c重心 d垂心【解析】因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，由菱形的基本性质可知ap平分bac，那么在abc中，ap平分bac，故选b.【答案】b2将平面向量与三角形垂心结合考查例2点p是abc所在平面上一点，若，则点p是abc的()a外心 b内心c重心 d垂心【解析】由，得0，即()0，即0，则pbca.同理pabc，pcab，所以p为abc的垂心故选d.【讲评】本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合【答案】d3将平面向量与三角形重心结合考查例3点p是abc所在平面内任一点g是abc的重心()【证明】3()()点g是abc的重心，00，即3，由此得()反之亦然(证略)4将平面向量与三角形外心结合考查例4若o为abc内一点，|，则o是abc的()a内心 b外心c垂心 d重心【解析】由向量模的定义知o到abc的三顶点距离相等，故o是abc的外心，故选b.【答案】b5将平面向量与三角形四心结合考查例5已知向量，满足条件0，|1，求证：p1p2p3是正三角形【证明】由已知条件可得，两边平方得.同理.|.从而p1p2p3是正三角形1o为空间中一定点，动点p在a、b、c三点确定的平面内且满足()()0，则点p的轨迹一定过abc的()a外心 b内心c重心 d垂心答案d2已知a、b、c是平面上不共线的三点，o是abc的重心，动点p满足(2)，则点p一定为三角形abc的()aab边中线的中点bab边中线的三等分点(非重心)c重心dab边的中点答案b解析取ab边中点m，则2.由(2)，可得332，即点p为abc中ab边上的中线的一个三等分点，且点p不过重心，故选b.3在同一个平面上有abc及一点o满足关系式：222222，则点o为abc的()a外心 b内心c重心 d垂心答案d解析由2222，得()()()()，即()()，()20，.同理，故选d.4已知o是平面上一定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足()，则p的轨迹一定通过abc的()a外心 b内心c重心 d垂心答案c解析设bc边中点为d，则有()，即22，过abc的重心，故选c.5在abc中，动点p满足22，则p点轨迹一定通过abc的()a外心 b内心c重心 d垂心答案a解析222()()()，即2()，(2)()0，以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，点p在线段a