广东省梅州市高三数学总复习检测试题 理（二）（梅州二模）（含解析）新人教A版.doc

广东省梅州市2013届高三5月复习质检（二）数学（理）试题一、选择题（40分）1（5分）（2013梅州二模）已知集合a=3，a2，集合b=0，b，1a，且ab=1，则ab=（）a0，1，3b1，2，4c0，1，2，3d0，1，2，3，4考点：并集及其运算专题：计算题分析：由a与b交集的元素为1，得到1属于a且属于b，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出a与b，找出既属于a又属于b的元素，即可确定出两集合的并集解答：解：a=3，a2，集合b=0，b，1a，且ab=1，a2=1，解得：a=1或a=1，当a=1时，1a=11=0，不合题意，舍去；当a=1时，1a=1（1）=2，此时b=1，a=3，1，集合b=0，1，2，则ab=0，1，2，3故选c点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键2（5分）（2013梅州二模）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）a1ib1+icd考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：化简复数分母为实数，然后求出复数的共轭复数即可得到选项解答：解：因为复数=所以=故选d点评：本题考查复数的代数形式的表示法与运算，复数的基本概念的应用3（5分）（2013梅州二模）为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（）a3000b6000c7000d8000考点：频率分布直方图专题：概率与统计分析：在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可解答：解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为10.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约100000.7=7000人故选c点评：本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题4（5分）（2013梅州二模）已知，向量与垂直，则实数的值为（）abcd考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数的值解答：解：已知，向量与垂直，（）（）=0，即：（31，2）（1，2）=0，3+1+4=0，=故选a点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3+1+4=0，是解题的关键5（5分）（2009安徽）下列曲线中离心率为的是（）abcd考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：通过验证法可得双曲线的方程为时，解答：解：选项a中a=，b=2，c=，e=排除选项b中a=2，c=，则e=符合题意选项c中a=2，c=，则e=不符合题意选项d中a=2，c=则e=，不符合题意故选b点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题6（5分）（2013梅州二模）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）aab=0ba+b=0ca2+b2=0da=b考点：函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：函数的性质及应用分析：若f（x）是奇函数，则f（x）=f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值解答：解：若f（x）是奇函数，则f（x）=f（x），即x|xa|+b=x|x+a|b恒成立，亦即x（|xa|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|xa|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选c点评：本题考查函数奇偶性的性质，属中档题，定义是解决该类题的基本方法7（5分）（2013梅州二模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）a29b30cd216考点：球内接多面体；球的体积和表面积专题：计算题分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：该三棱锥的外接球的表面积为：，故选a点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题8（5分）（2013梅州二模）若m是一个给定的正整数，如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a与b对m校同余，记作abmod（m），例如113mod（4），若22012rmod（7），则r可能为（）a5b4c3d2考点：同余的概念及一次同余方程；整除的概念和性质；同余的性质专题：新定义分析：利用二项式定理得22012=48670=4（7+1）670=4c7670+c7+c，可知22012被7除得的余数为4，即可得到结论解答：解：由题意，22012=48670=4（7+1）670=4c7670+c7+c，220124（mod7），若22012rmod（7），则r可能为4故选b，点评：本题考查新定义，考查二项式定理的运用，解题的关键是确定22012被7除得的余数为4二、填空题（30分）（一）必做题（9-13题）9（5分）（2013梅州二模）函数的定义域是（0，4考点：对数的运算性质；函数的定义域及其求法分析：开偶次方，被开方数非负，再利用对数函数性质求解即可解答：解：要使函数有意义，必有+20，因为0a1时对数函数是减函数，所以+20可得，所以0x4故答案为：（0，4点评：本题考查对数的运算性质，函数的定义域及其求法，是基础题10（5分）（2013梅州二模）右面是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为8时，则其输出的结果是2考点：循环结构专题：图表型分析：x=80，不满足条件x0，则执行循环体，依此类推，当x=10，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可解答：解：x=80，执行循环体，x=x3=53=20，继续执行循环体，x=x3=23=10，满足条件，退出循环体，故输出y=0.51=（ ）1=2故答案为：2点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题11（5分）（2013梅州二模）已知x，y满足，且目标函数z=3x+y的最小值为5，则c的值为5考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由目标函数z=3x+y的最小值为5，我们可以画出满足条件 ，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数c的方程组，即可得到c的取值即可解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=xc与直线x=2的交点a使目标函数z=3x+y取得最小值，故 ，解得 a（2，1），代入y=2xc得c=5故答案为：5点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值12（5分）（2013梅州二模）不等式|x+3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（，14，+）考点：一元二次不等式的应用分析：先去绝对值符号确定|x+3|x1|的取值范围，然后让a23a大于它的最大值即可解答：解：令y=|x+3|x1|当x1时，y=x+3x+1=4当x3时，y=x3+x1=4当3x1时，y=x+3+x1=2x+2 所以4y4所以要使得不等式|x+3|x1|a23a对任意实数x恒成立只要a23a4即可a1或a4故答案为：（，14，+）点评：本题主要考查不等式恒成立问题大于一个函数式只需要大于它的最大值即可13（5分）（2013梅州二模）已知，设，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=e所围成的封闭图形的面积为考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题；导数的概念及应用分析：先确定积分区间，再确定被积函数，求出原函数，即可求得结论解答：解：由，可得x=1，所以图象的交点为（1，1），（1，1），根据对称性可得函数f（x）的图象与x轴、直线x=e所围成的封闭图形的面积为2+=+=+1=故答案为：点评：本题考查定积分知识的运用，考查学生的计算能力，确定积分区间与被积函数是关键14（5分）（2013梅州二模）在极坐标中，已知点p为方程（cos+sin）=1所表示的曲线上一动点，则|pq|的最小值为考点：简单曲线的极坐标方程；两点间距离公式的应用专题：计算题分析：先将原极坐标方程（cos+sin）=1和点化成直角坐标方程或直角坐标，再利用直角坐标方程进行求解即得解答：解：将原极坐标方程（cos+sin）=1，化为化成直角坐标方程为：x+y1=0，点，化成直角坐标为：q（1，），则|pq|的最小值即为点到直线的距离d=故填：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得15（2013梅州二模）如图，pa切o于点a，割线pbc经过圆心o，ob=pb=1，oa绕点o逆时针旋转60到od，则pd的长为考点：与圆有关的比例线段专题：综合题；压轴题；综合法分析：解法一：如图根据题设条件可求得角dop的大小，由于od=1，op=2，由余弦定理求长度即可解法二：由图形知，若能求得点d到线段oc的距离de与线段oe的长度，在直角三角形ped中用勾股定理求pd即可解答：解：法一：pa切o于点a，b为po中点，ab=ob=oa，aob=60，pod=120，在pod中由余弦定理，得：pd2=po2+do22podocospod=法二：过点d作depc垂足为e，pod=120，doc=60，可得，在rtped中，有点评：本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律三、解答题（80分）16（12分）（2013梅州二模）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在abc中，若f（c）=2，2sinb=cos（ac）cos（a+c），求tana的值考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数f（x）的最小正周期；（2）在abc中，利用f（c）=2，求出c的值，通过sinb=cos（ac）cos（a+c）利用两角和与差的三角函数化简，推出tana与c的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可解答：解：（1）函数=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，函数的最小正周期为：=（2）f（c）=2，2sin（2c+）+1=2，sin（2c+）=0c，c=；2sinb=cos（ac）cos（a+c）=2sinasinc，sin（a+c）=sinasinc，即：sinacosc+cosasinc=sinasinc，即：tana=点评：本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，求解函数f（x）的最小正周期以及三角函数值求解角的大小的方法；考查转化思想以及计算能力17（12分）（2013梅州二模）某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的卡片各两张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用x表示取出的3张卡片上的最大数字（1）求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量x的分布列及数学期望；（3）若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题分析：（1）记事件：“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件记为a”，利用古典概型的概率公式可得到结果（2）得到随机变量x有可能的取值，计算出各值对应的概率，列表写出分布列，代入公式得到数学期望（3）记事件“一次取卡片所得计分超过30分”的事件记为b，看出事件所包含的几种情况，根据上面的分布列求和即可解答：解：（1）“一次取出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为a则（3分）（2）变量x的可能取值为2，3，4，5（6分）所以分布列为x2345p从而e（x）=2+3+4+5=（8分）（3）“一次取卡片所得计分超过30分”的事件记为b（12分）孩子得到奖励的概率为 （13分）点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，以及等可能事件的概率，同时考查了运算求解的能力，属于中档题18（14分）（2013梅州二模）如图，侧棱垂直底面的三棱柱abca1b1c1中，abac，aa1+ab+ac=3，ab=ac=t（t0）（）当aa1=ab=ac时，求证：a1c平面abc1；（）若二面角abc1c的平面角的余弦值为，试求实数t的值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法专题：综合题；空间角；空间向量及应用分析：（）以ab，ac，aa1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积证明，从而可知a1c平面abc1；（）求出平面abc1的法向量=（0，2t3，t）、平面bcc1的法向量=（1，1，0），利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得结论解答：（）证明：aa1面abc，aa1ac，aa1ab又abac，分别以ab，ac，aa1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（1分）则a（0，0，0），c1（0，1，1），b（1，0，0），c（0，1，0），a1（0，0，1），（2分），（3分）又ac1ab=aa1c平面abc1（4分）（）解：分别以ab，ac，aa1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则a（0，0，0），c1（0，t，32t），b（t，0，0），c（0，t，0），a1（0，0，32t），（6分）设平面abc1的法向量=（x，y，z），则，令z=t，则=（0，2t3，t）（8分）同理可求平面bcc1的法向量=（1，1，0）（10分）设二面角abc1c的平面角为，则有|cos|=|=化简得5t216t+12=0，解得t=2（舍去）或t=所以当t=时，二面角abc1c的平面角的余弦值为（12分）点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识19（14分）（2013梅州二模）f（x）对任意xr都有（）求和的值；（）数列an满足：an=f（0）+，数列an是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较tn与sn的大小考点：数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和专题：综合题分析：（）直接代入x=求得的值，代入x=求得的值（）根据（）中=，利用倒序相加法进行求解（）求得，进而求得tn，利用放缩法得到tnsn解答：解：（）因为，所以令x=，得，即=（）an=f（0）+又an=f（1）+f（）+f（）+f（0）两式相加 2an=f（0）+f（1）+f（）+f（1）+f（0）=所以an=又故数列an是等差数列（）tn=b12+b22+bn2=所以tnsn点评：本题是数列与函数的综合题，考查了倒序相加法，放缩法等高中的数学基本方法，应该熟练掌握20（14分）（2013梅州二模）已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆c1的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆c1的方程；（2）设椭圆c1的左焦点为f1，右焦点为f2，直线l1过点f1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点p，线段pf2的垂直平分线交l2于点m，求点m的轨迹c2的方程；（3）设c2与x轴交于点q，不同的两点r，s在c2上，且满足，求的取值范围考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程专题：计算题；压轴题分析：（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆c1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆c1的方程；（2）把题中条件转化为动点m的轨迹是以l1：x=1为准线，f2为焦点的抛物线，即可求点m的轨迹c2的方程；（3）先设出点r，s的坐标，利用求出点r，s的坐标之间的关系，再用点r，s的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围解答：解：（1）由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得，椭圆c1的方程为：（4分）（2）由mp=mf2得动点m的轨迹是以l1：x=1为准线，f2为焦点的抛物线，点m的轨迹