向列相液晶中呼吸子的多种解法.doc

摘要本文主要介绍了光束在非局域非线性介质中传输时的情况，分别采用了变分法和泰勒展开法来求解向列相液晶中（1+1）维呼吸子解，并通过对数值模拟结果和理论解析结果的比较，最后证实了结论的正确性。关键词：向列相液晶；非局域程度；变分法；泰勒展开法；呼吸子AbstractThis paper mainly introduces the situation of the beam propagation in nonlocal nonlinear medium. Variational method and Taylor series expansion method are respectively used to solve a (1+1) dimensional breather solution in nematic liquid crystals. Then through the comparison of the results of numerical simulation and theoretical analysis results, finally the correctness of the conclusion is confirmed.Keywords: nematic liquid crystal; the degree of nonlocality; variational method; Taylor method; breathers目录摘要1Abstract1第一章绪论31.1空间光孤子以及呼吸子介绍31.2求解呼吸子解的方法51.2.1变分法51.2.2泰勒展开法61.3本论文的目的及研究主要内容6第二章 用变分发求呼吸子解72.1液晶的简介72.2变分法求呼吸子解8第三章 用泰勒展开法求呼吸子解143.1泰勒法解呼吸子解14第四章 总结与研究展望154.1本文总结154.1研究展望15参考文献16致谢17第一章 绪论1.1空间光孤子以及呼吸子介绍光孤子（Soliton，Solitons in optical fibres）是指经过长距离传输而保持形状不变的光脉冲。光脉冲在时域上的展宽式缘于介质的色散，在无色散介质中，脉冲的群速度等于相速度，传播过程中不会展宽。但对于空域中有限尺寸的一束光，即使在真空中传播，由于波动的固有特性衍射，随着传播距离的增加，光束会变得越来越宽，初始入射光束越窄，其在横向展宽的就越快，如图1-1中间一排所示。但改变介质的折射率分布可以补偿光束的这种横向扩展，光纤便是一例，中心的折射率高，四周的折射率低，在其中稳定传播的光就是这种波的线性导模。如果介质对光强的响应是非线性的，那么光场就会引起介质光学性质（如折射率、吸收等）的改变。如克尔（kerr）非线性响应介质，折射率的改变量正比于光强，当一束高斯光在其中传播时，光束中心的强度大，因此折射率增量就大，光束边缘强度小，折射率增量也小，这样，在介质中就形成了一个类似于光纤的中间折射率高边缘折射率低的自生导波。图1-1：光束横截面的空间形状（实线）和波前相位（虚线）示意图上排：自聚焦；中排：自然衍射；末排：孤子形成由于光束总是向着折射率高的地方偏离，因此，边缘的光会向光束中心汇聚，致使中心的光强增加，折射率进一步增加，进而边缘的光继续向光束中心会聚，这样便形成了一个恶性循环，光束中心的折射率越来越高，光强越来越大，直至介质被烧毁。这便是非线性克尔介质中的自聚焦效应。因此，衍射的抑制也可以通过介质的非线性效应局部改变折射率分布来实现。当光束通过非线性改变介质的折射率形成一个自生导波并且是这个自生导波的导模时即达到自洽，衍射发散效应和非线性自聚焦效应相互抵消，传播过程中，光束不再扩展，这种稳定的自限（Self-traping）光束被称为空间光孤子。图1-2 强非局域介质中高斯光束的传输，只有当功率与临界功率相等时，才会形成光孤子，否则束宽会做周期性“振荡”，即形成了呼吸子若非线性效应引起的光束的自聚焦与光的衍射效应不能相互抵消但又相差不大时，光束束宽就会作周期性的压缩或者展宽，这种束宽作周期性“振荡”的光束被称为呼吸子。1.2求解呼吸子解的方法1.2.1变分法变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。1.2.2泰勒展开法在数学中，泰勒级数（Taylor series）用无限项连加式级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林麦克劳林的名字命名。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间（或复平面开片）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。1.3本论文的目的及研究主要内容向列相液晶(NLCs)作为一种优质的非局域非线性材料，可以实现空间光孤子在其中稳定传输，利用传输时的相关性质可以制成全光控制器件。因此，对向列相液晶中空间光束的性质和行为进行研究是很有必要的，通过研究，一方面有助于对光孤子或者呼吸子这一特殊的物理现象加深理解，另一方面也是对将其付之实际应用的一个有益探索。在这篇文章中，我们主要是对（1+1）维呼吸子在向列向液晶中的传输进行研究。分别通过变分法和泰勒展开法对比着求解呼吸子解，结果发现两种方法最终得出的结果一致。并且通过将数值模拟与解析解的比较，在强非局域情况下，发现解析结果和数值模拟结果符合很好。第二章 用变分发求呼吸子解2.1液晶的简介液晶的最早发现要追溯到1883年，奥地利科学家莱尼茨尔1，他在实验时观察到胆固醇苯甲酸脂有两个熔点，把它的固态晶体加热到145C时，便熔成液体，只不过是浑浊的，但一切纯净物质熔化时却是透明的。继续加热到175C时，这种浑浊的液体再次熔化变成透明的液体。他发现在冷却过程中，一种蓝色短暂的出现在透明的液体变得浑浊时，而一种蓝紫色则出现在浑浊的液体晶化之前的瞬间。后来，莱尼泽反复确定他的发现后，向德国物理学家列曼请教。1989年，列曼把处于“中间地带”的浑浊液体称为液晶。在不同的温度和压强条件下物体有三种不同的状态:固态、液态和气态。这三种状态一般称为固相、液相和气相。给予适当外加条件处于某一相的物体可以变化到另一种不同的相，此种转变即为相变。液体具有很高的流动性，液体分子不具有长程有序，只具有短程有序，且液体分子各向同性。而固体具有固定的形状，构成固体的分子或原子规则排列，组成晶体点阵。晶体分子具有长程有序的特点，且固体分子各向异性。固相与液相最大的差别即表现在各向异性上。固体在各个方向的物理性质不相同。液晶是固、液态之间的一种中间状态，所以同时具有固体的各向异性和液体的短程有序性。液晶是一种有机化合物，在一定温度或浓度的溶液中，既具有液体的流动性、粘度、形变等机械性质，又具有晶体的热（热效应）、光（光学各向异性）、电（电光效应）、磁（磁光效应）等物理性质。在这些性质中，尤其是具有很强的光学非线性。人们以凝聚构造的不同，将液晶分为晶体颗粒粘土状的称为近晶相液晶（smectic）、类似细火柴棒的称为向列相液晶（nematic）、类似胆固醇状的称为胆甾相液晶（cholesteric）这三种。由于向列相液晶（Nematic Liquid Crystals）的长棒状分子传列结构能最好地说明液晶兼具有液体流动性和晶体各向异性的双重特性，自从莱尼茨尔发现以来，大多数科学家把研究重点放在了向列相液晶上，因此它是最为常见，也是应用最广泛的一种。Peccianti 等2、3在实验和理论上都证明了向列相液晶中的空间光孤子就是强非局域空间光孤子, 向列相液晶中的空间光孤子具有潜在的应用价值，因此成为许多科学家研究的对象。2.2变分法求呼吸子解本文中主要以预倾角4为任意角度的模型来描述NLC中（1+1）维空间光孤子的传输，液晶盒的构造和文献4中的一样。光场的包络A沿z轴传输，沿x轴偏振，用来控制液晶分子预倾角的低频电场加在x方向上。当输入的功率和临界功率不相等时，我们就可以得到呼吸子，且呼吸子的束宽在传输过程中是呈现周期性变化的。光束传输方程可以通过以下的非局域非线性薛定谔方程（NNLSE）表示4: （1）的调制方程是由于形变而使NLC的内能降低到最小之后得到的，满足以下方程5： （2）两个方程中所有的物理量都和文献6中的定义一样，根据傍轴近似理论，方程（2）中的已被忽略掉，并且（2）式中的特征长度的表达式如下： （3）通过运用和文献6相同的方法，得到非线性系数。当低频电场高于阈值电场时，。因此，可以很明显地知道和都是由（或偏压V）决定的。将方程(1)和(2)归一化，令，,，其中，是初始束宽，因此我们可以得到以下两个无量纲的方程： （4） （5） 是归一化响应函数，代表非局域程度，当越小非局域程度越强。通过傅里叶变换，因此可以表示为。那么方程（4）实际上可以表述成一个变分问题，其中的拉格朗日密度L可以写成7，8： （6）其中星号表示的是复共轭，根据一般的变分原理， （7）光束在向列相液晶中无损耗传输时有高斯型的近似解，在向列相液晶中，损耗因子一般很小，在不是非常大的传输距离之内，光束的传输依然有高斯型的试探解： （8）其中，与文献9中的定义一样，为输入功率，把以上的试探解代入方程（7）中，我们得到简化的变分问题： （9）其中 （10）根据变分法的一般步骤可以求出光束试探解的四个参数，但是由于向列相液晶的非局域响应函数R(x)在原点处并不可导，不能在原点处泰勒展开，因此难以得到拉格朗日的表达式。但是，在强非局域的条件下，非局域特征长度远大于光束的束宽，也就是说，在光束范围内比较小。因此，归一化响应函数可以近似为： （11）现在把方程（6）和（8）以及方程（11）代入方程（10），经过一些数学计算，我们得到L满足： （12）运用变分法的一般步骤，把方程（12）代入方程（9），我们得到光束的试探解a的各个参量所满足的欧拉方程： （13） （14） （15）化简以上三个式子，可以得到： （16） （17） （18）将方程（18）代入方程（17）中，得到 （19）在经典力学中，方程（19）类似于牛顿第二定律，质点的质量为1，等效于粒子受到的外力，F的前两项等效于衍射效应（使等效粒子加速），光束将被展宽或者有被展宽的趋势，主要是由初始速度或0来决定。相反地，F的第三项即非线性效应，会使光束压缩（使等效粒子减速）。当非线性效应等价于衍射效应时，F=0，粒子的速度将不会改变，即形成了所谓的孤子态，这时，所以我们就可以得到此时孤子传输的临界功率： (20)图2-1中所示的是临界功率与非局域特征长度的关系，从图中可以看出当时，数值模拟结果（圆圈）和解析结果（实线）能很好地吻合，其中数值模拟是从方程（4）出发的。当足够小时，方程（20）分母中的这一项可以舍掉，因此在强非局域情况下，临界功率近似正比于，在归一化情况下即近似正比于,此结论和文献10中的结论一样。图2-1 NLC中临界功率跟非局域特征长度的关系图接下来通过参考文献8中相应的计算，可以得到 （21）图2-2所示的是呼吸子在液晶中传输的束宽变化图，实线（）和虚线（）是根据方程（21）所画的曲线，方块和圆圈分别是数值模拟结果，且初始条件分别是(a) ,(b) ,(c) ，从图中我们可以很明显地看到当非局域程度越强时，解析结果和模拟结果吻合越好。在图2-2中，当时，伴随着的逐渐增大，束宽的峰值会在传输过程中发生较大的变化，主要原因是在这种情况下前面的做二阶近似有点不太严格，所以呼吸子解的形式不是严格的Gauss型函数，是介于Gauss和Sech之间的波形12。由此也说明了液晶的非局域程度并没有达到Snyder等人所指的那种强非局域程度9。 另外，从方程（21）中，我们还可以很明显地观察到束宽是呈现周期性振荡的，这个近似解的振荡周期为，其中,最大（小）束宽是，是平衡位置。在这种近似条件下，归一化束宽总是在和1之间振荡的。对于，只有当时，势函数；当时，存在两个解，其中一个是1，另一个是。当输入功率越接近临界功率时，就越接近于1，而此时我们所求得的抛物线势函数就能更好地替代原本的势函数。因此，方程（21）在临界功率附近适用，将此方程代入方程（16）和（18），就可以得到 （22） （23） 将所求得的代入方程（8），就是我们所要求的呼吸子解。图2-2（1+1）-D呼吸子在液晶中传输的束宽变化图第三章 用泰勒展开法求呼吸子解3.1泰勒法解呼吸子解其实，在强非局域情况下，也可以将做泰勒展开到二阶并将各项展开结果代入到方程（4）中，通过另外一种方法来求解呼吸子解的，这样我们就可以得到以下非局域非线性薛定谔方程： （24）方程（24）代表了NLC的重取向非线性并且是我们呼吸子解的简化模型，将此模型与Snyder-Mitchell模型进行比较，比他们的模型多了这一项，当时，近似正比于轴上光强，但是Snyder-Mitchell模型的这一项却是正比于功率，所以我们这里的模型不同于以前的工作。满足此模型的呼吸子解可以用高斯型函数(8)式来描述，将以上试探解代入方程（24）中，X的零次方以及平方项的实部和虚部分别为零，因此也得到了等同于变分法时的方程（16）、(17)和(18)。因为此方法即文献8中的方法，所以在此只是作简单介绍，通过文献11中的计算方法最终可以求出相同的呼吸子解，并且将其与数值模拟结果进行了相应的比较。第四章 总结与研究展望4.1本文总结本文以预倾角为任意角度的模型来描述NLC中（1+1）维空间光孤子的传输情况，基于液晶的一些基本理论方程，通过相应的傅里叶变换，利用了变分法和泰勒展开法分别求出了相同的呼吸子解，在使用泰勒展开法时得到了强非局域非线性薛定谔方程，并对此模型作了定性的解释。通过将数值模拟结果与解析结果进行比较，相互验证，分析出了两结果存在差异的实质原因。4.1研究展望由于空间光孤子在光开关、光逻辑、光子信息处理、全光网络等方面具有不可忽视的作用，以其巨大的应用潜力和发展前景令世人瞩目，尤其是EDFA技术的迅速发展使得几十至几百吉比特率，几千至几万公里的信息传输变得轻而易取。此项技术吸引了众多科技人员为之努力贡献。所以这些理论研究都可以为其提供了可行性的参考。参考文献1Lve M.Blinov.History and Properties of Liquid CrystalsJ.Springer.2010,83(2):1,4572 Peccianti M, Brzdakiewicz K A, Assanto G Opt. Lett. 27 1460.(2002)3Conti C, Peccianti M, Assanto G Phys. Rev. Lett. 92 113902. (2004).4M.Peccianti, C.Conti, G.Assanto. Interplay between nonlocality and nonlinearity in nematic liquid crystalsJ. Opt.Lett.2005，30(4):415-7.5M.Peccianti, C.Conti,G.Assanto,A.D.Luca,C.Umeton. Nonlocal optical propagation in nonlinear nematic liquid crystalsJ. J. Opt.Phys.Mat.2003，12(4): 525-538.6朱叶青、龙学文、胡巍等,非局域程度对向列相液晶中空间光孤子的影响J. 物理学报2008，57(4): 22602264.7Q. Guo, B.Luo, and S.Chi. Optical beams in sub-strongly non-loncal nonlinear media: A variational solutionJ. Opt.Commun.2006,259,336.8D.Anderson. High transmission rate communication systems using lossy optical solitonsJ. Opt.Commun.1983,48,107.9 Qi Guo, Boren Luo, Fahuai Yi et al. Large phase shift of nonlocal optical spatial solitonsJ. Phys. Rev. E.2004, 69(1): 016