江苏省南通市启东市长江中学九年级数学上学期第一次月考试题（含解析） 新人教版.doc

江苏省南通市启东市长江中学2015届九年级数学上学期第一次月考试题一、选择题（每小题3分，共30分）1下面的图形中，是中心对称图形的是( )abcd2平面直角坐标系内一点p（2，3）关于原点对称的点的坐标是( )a（3，2）b（2，3）c（2，3）d（2，3）3下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是( )ay=x2+1by=x21cy=（x+1）2dy=（x1）24已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是( )ay=2x2+x+2by=x2+3x+2cy=x22x+3dy=x23x+25抛物线y=x22x+3与坐标轴交点为( )a二个交点b一个交点c无交点d三个交点6抛物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是( )abcd7运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=x2+x+，则该运动员的成绩是( )a6mb12mc8md10m8若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2mx( )a有最大值b有最大值c有最小值d有最小值9在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=mx2+2x+2（m是常数，且m0）的图象可能是( )abcd10已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：a+b+c0；ab+c1；abc0；4a2b+c0；ca1，其中所有正确结论的序号是( )abcd二、填空题：（每小题3分，共24分）11将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a（xh）2+k的形式是_12已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是_13二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点是（1，3），则b=_，c=_14如图，cod是aob绕点o顺时针方向旋转40后所得的图形，点c恰好在ab上，aod=90，则d的度数是_15如图，四边形abcd中，bad=c=90，ab=ad，aebc于e，若线段ae=5，则s四边形abcd=_16如图，在64方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是_17某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来18已知二次函数y=（m1）x2+2mx+3m2，则当m=_时，其最大值为0三、解答题：（共96分）19如图，请画出abc关于点o点为对称中心的对称图形20已知抛物线的顶点坐标是（2，1）且过点（1，2），求抛物线的解析式21如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，abc的顶点均在格点上，点c的坐标为（4，1）把abc向上平移5个单位后得到对应的a1b1c1，画出a1b1c1，并写出c1的坐标；以原点o为对称中心，再画出与a1b1c1关于原点o对称的a2b2c2，并写出点c2的坐标22已知开口向上的抛物线y=ax22x+|a|4经过点（0，3）（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值23已知二次函数的图象经过点（0，3），（3，0），（2，5），且与x轴交于a、b两点（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点p（2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出pab的面积；如果不在，试说明理由24已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）（1）写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围25如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于a、b两点，（a在b左侧），交y轴于点c，（1）求抛物线的对称轴及点a的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点p，与a、b、c三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点p的坐标；若不存在，请说明理由26某服装公司试销一种成本为每件50元的t恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数y=10x+1000，设公司获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为p元（1）求p与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若总利润为5250元时，销售单价是多少？（3）根据题意判断：当x取何值时，p的值最大？最大值是多少？27已知抛物线y=ax2+bx+c经过a（1，0）、b（3，0）、c（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点p是直线l上的一个动点，当pac的周长最小时，求点p的坐标；（3）在直线l上是否存在点m，使mac为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由28在abc中，ab=bc=2，abc=120，将abc绕点b顺时针旋转角（090）得a1bc1，a1b交ac于点e，a1c1分别交ac、bc于d、f两点（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段ea1与fc有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当=30时，试判断四边形bc1da的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ed的长2014-2015学年江苏省南通市启东市长江中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1下面的图形中，是中心对称图形的是( )abcd【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：a、不是中心对称图形，故本选项错误；b、是中心对称图形，故本选项正确；c、不是中心对称图形，故本选项错误；d、不是中心对称图形，故本选项错误；故选b【点评】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2平面直角坐标系内一点p（2，3）关于原点对称的点的坐标是( )a（3，2）b（2，3）c（2，3）d（2，3）【考点】关于原点对称的点的坐标【专题】常规题型【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答【解答】解：点p（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）故选：d【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键3下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是( )ay=x2+1by=x21cy=（x+1）2dy=（x1）2【考点】二次函数的性质【分析】先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1）；抛物线y=x21的顶点坐标为（0，1）；抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（1，0）；抛物线y=（x1）2的顶点坐标为（1，0）故选a【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值4acb24a，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值4acb24a，即顶点是抛物线的最高点4已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是( )ay=2x2+x+2by=x2+3x+2cy=x22x+3dy=x23x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；所以该函数的解析式是y=x23x+2故本题选d【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式5抛物线y=x22x+3与坐标轴交点为( )a二个交点b一个交点c无交点d三个交点【考点】抛物线与x轴的交点【分析】由题意先分别判断抛物线与x轴和y轴的交点个数，令y=0，看方程是否有解，然后再令x=0，求出与y轴的交点，从而求解【解答】解：令y=0得方程，x22x+3=0，=（2）24130，方程无解，抛物线y=x22x+3与x轴交点为0个，又当x=0时，y=3，抛物线交y轴于点（0，3），抛物线y=x22x+3与坐标轴交点为一个；故选b【点评】此题主要考查抛物线的性质及图象，把抛物线同方程联系起来命题，是常见的题型6抛物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是( )abcd【考点】二次函数图象与几何变换【专题】探究型【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线向左平移8个单位得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，把抛物线向下平移9个单位得到抛物线9故选a【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键7运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=x2+x+，则该运动员的成绩是( )a6mb12mc8md10m【考点】二次函数的应用【专题】应用题【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即x2+x+=0，解方程即可在实际问题中，注意负值舍去【解答】解：由题意可知，把y=0代入解析式得：x2+x+=0，解方程得x1=10，x2=2（舍去），即该运动员的成绩是10米故选d【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题8若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2mx( )a有最大值b有最大值c有最小值d有最小值【考点】二次函数的最值；一次函数的图象【专题】压轴题【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法【解答】解：一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，m+10，m0，即1m0，函数y=mx2mx=m（x）2有最大值，最大值为故选b【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法9在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=mx2+2x+2（m是常数，且m0）的图象可能是( )abcd【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【专题】代数综合题【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）【解答】解：解法一：逐项分析a、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故a选项错误；b、由函数y=mx+m的图象可知m0，对称轴为x=0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故b选项错误；c、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故c选项错误；d、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故d选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，m0，m0，一次函数图象过一、二、三象限当二次函数开口向上时，m0，m0，对称轴x=0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限故选：d【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题10已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：a+b+c0；ab+c1；abc0；4a2b+c0；ca1，其中所有正确结论的序号是( )abcd【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x=1、x=1和x=2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：当x=1时，y=a+b+c0，故正确；当x=1时，y=ab+c1，故正确；由抛物线的开口向下知a0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c0，对称轴为x=1，得2a=b，a、b同号，即b0，abc0，故正确；对称轴为x=1，点（0，1）的对称点为（2，1），当x=2时，y=4a2b+c=1，故错误；x=1时，ab+c1，又=1，即b=2a，ca1，故正确故选：【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式二、填空题：（每小题3分，共24分）11将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a（xh）2+k的形式是y=2（x+）2【考点】二次函数的三种形式【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：y=2x2+6x+3=2（x2+3x+）+3=y=2（x+）2，即y=2（x+）2故答案为y=2（x+）2【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）12已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是x=3【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是5，所以对称轴方程是x=（2+4）2=3【点评】本题考查抛物线的对称性，题目比较灵活，也比较容易13二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点是（1，3），则b=2，c=4【考点】二次函数的最值【分析】根据二次函数y=x2+bx+c的二次项系数1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点是（1，3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值【解答】解：二次函数y=x2+bx+c的二次项系数10，该函数的图象的开口方向向下，二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点坐标（1，3）就是该函数的顶点坐标，1=，即b=2；3=，即b2+4c+12=0；由解得，b=2，c=4故答案为：2，4【点评】本题考查了二次函数的最值解答此题时，弄清楚“二次函数y=x2+bx+c的图象的最高点坐标（1，3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键14如图，cod是aob绕点o顺时针方向旋转40后所得的图形，点c恰好在ab上，aod=90，则d的度数是60【考点】旋转的性质【分析】由旋转角aoc=40，aod=90，可推出cod的度数，再根据点c恰好在ab上，oa=oc，aoc=40，计算a，利用内角和定理求b，根据对应关系可知d=b【解答】解：由旋转的性质可知，aoc=40，而aod=90，cod=90aoc=50又点c恰好在ab上，oa=oc，aoc=40，a=70，由旋转的性质可知，ocd=a=70在ocd中，d=180ocdcod=60【点评】本题考查了旋转性质的运用，等腰三角形的性质运用，角的和差关系问题15如图，四边形abcd中，bad=c=90，ab=ad，aebc于e，若线段ae=5，则s四边形abcd=25【考点】全等三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】过a点作afcd交cd的延长线于f点，由aebc，afcf，c=90可得四边形aecf为矩形，则2+3=90，而bad=90，根据等角的余角相等得1=2，加上aeb=afd=90和ab=ad，根据全等三角形的判定可得abeadf，由全等三角形的性质有ae=af=5，sabe=sadf，则s四边形abcd=s正方形aecf，然后根据正方形的面积公式计算即可【解答】解：过a点作afcd交cd的延长线于f点，如图，aebc，afcf，aec=cfa=90，而c=90，四边形aecf为矩形，2+3=90，又bad=90，1=2，在abe和adf中abeadf，ae=af=5，sabe=sadf，四边形aecf是边长为5的正方形，s四边形abcd=s正方形aecf=52=25故答案为25【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等也考查了矩形的性质16如图，在64方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点n【考点】旋转的性质【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心【解答】解：如图，连接n和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点n的距离相等，因此格点n就是所求的旋转中心；故答案为点n【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在17某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来【考点】二次函数的应用【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值【解答】解：a=1.50，函数有最大值y最大值=600，即飞机着陆后滑行600米才能停止故答案为：600【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键18已知二次函数y=（m1）x2+2mx+3m2，则当m=时，其最大值为0【考点】二次函数的最值【专题】计算题【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a0），当a0，x=时，y有最大值得到m10，且=0，化简得2m25m+2=0，然后解方程得m1=，m2=2，最后确定满足条件的m的值【解答】解：a=m1，b=2m，c=3m2，二次函数有最大值为0，a0即m10，且=0，即=0，化简得2m25m+2=0，m1=，m2=2，m1，m=故答案为：【点评】本题考查了二次函数的最值问题：二次函数y=ax2+bx+c（a0），当a0，x=时，y有最小值；当a0，x=时，y有最大值；也考查了一元二次方程的解法三、解答题：（共96分）19如图，请画出abc关于点o点为对称中心的对称图形【考点】作图-旋转变换【专题】作图题【分析】连接ao并延长至a，使ao=ao，连接bo并延长至b，使bo=bo，连接co并延长至c，使co=co，然后顺次连接即可【解答】解：如图所示【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握旋转的性质并确定出对应点的位置是解题的关键20已知抛物线的顶点坐标是（2，1）且过点（1，2），求抛物线的解析式【考点】待定系数法求二次函数解析式【专题】探究型【分析】先根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再把点（1，2）代入所设抛物线的解析式求出a的值即可【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+1，把点（1，2）代入得，2=a（1+2）2+1，解得a=，故抛物线的解析式为：y=（x+2）2+1故答案为：y=（x+2）2+1【点评】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意设出抛物线的顶点式是解答此题的关键21如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，abc的顶点均在格点上，点c的坐标为（4，1）把abc向上平移5个单位后得到对应的a1b1c1，画出a1b1c1，并写出c1的坐标；以原点o为对称中心，再画出与a1b1c1关于原点o对称的a2b2c2，并写出点c2的坐标【考点】作图-旋转变换；利用平移设计图案【分析】a、b、c三点的坐标纵坐标加5，横坐标不变即可得到对应点，再顺次连接即可；分别找出a1、b1、c1关于原点对称点的坐标，再顺次连接即可【解答】解：如图所示：c1的坐标（4，4）如图所示：点c2的坐标（4，4）【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，以及旋转，关键是正确找出对应点22已知开口向上的抛物线y=ax22x+|a|4经过点（0，3）（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值【分析】（1）因为开口向上，所以a0；把点（0，3）代入抛物线y=ax22x+|a|4中，得|a|4=3，再根据a0求a，从而确定抛物线解析式；（2）根据二次函数的顶点坐标，求解即可【解答】解：（1）由抛物线过（0，3），得：3=|a|4，|a|=1，即a=1抛物线开口向上，a=1，故抛物线的解析式为y=x22x3；（2）y=x22x3=（x1）24，当x=1时，y有最小值4【点评】此题考查了二次函数的开口方向，顶点坐标，还考查了点与函数的关系23已知二次函数的图象经过点（0，3），（3，0），（2，5），且与x轴交于a、b两点（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点p（2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出pab的面积；如果不在，试说明理由【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）已知了二次函数图象上的三点坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）将p点坐标代入二次函数的解析式中进行验证，即可得到p点是否在此函数图象上的结论；令抛物线解析式的y=0，即可求得抛物线与x轴交点a、b的坐标，也就得到了ab的长；以ab为底，p点纵坐标的绝对值为高即可求得pab的面积【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；二次函数的图象经过点（0，3），（3，0），（2，5），则有：，解得；y=x22x+3（2）（2）22（2）+3=4+4+3=3，点p（2，3）在这个二次函数的图象上，x22x+3=0，x1=3，x2=1；与x轴的交点为：（3，0），（1，0），spab=43=6【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定及图形面积的求法24已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）（1）写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）【分析】（1）把（1，0）和（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用图象找出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x+3；（2）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，则抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（3，0），所以当1x3时，y0【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数与不等式（组）25如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于a、b两点，（a在b左侧），交y轴于点c，（1）求抛物线的对称轴及点a的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点p，与a、b、c三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，求得抛物线的对称轴，因为函数与x轴的交点是y=0，列方程即可求得；（2）分别以ac，ab为对角线各可求得一点，再以ac，ab为边求得一点【解答】解：（1）对称轴x=2；当y=0时，有x2+4x+3=0，解得x1=1，x2=3，故点a的坐标为（3，0）（2）如图所示，满足条件的点p有3个，分别为（2，3），（2，3），（4，3）【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题26某服装公司试销一种成本为每件50元的t恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数y=10x+1000，设公司获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为p元（1）求p与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若总利润为5250元时，销售单价是多少？（3）根据题意判断：当x取何值时，p的值最大？最大值是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】（1）根据总利润=总销售额总成本就可以表示出p与x之间的函数关系式；（2）把p=5250代入（1）的解析式就可以求出结论；（3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论；【解答】解：（1）由题意，得p=y（x50）=（10x+1000）（x50），p=10x2+1500x50000（50x70）；答：p与x之间的函数关系式为p=10x2+1500x50000，自变量x的取值范围为：50x70；（2）当p=5250时，5250=10x2+1500x50000，解得：x1=65，x2=85，50x70，x=65答：销售单价为65元；（3）p=10x2+1500x50000，p=10（x75）2+6250x=75时，y最大=625050x70，在对称轴的左侧p随x的增大而增大，x=70时，p最大=6000元答：当x=70时，p的值最大，最大值是6000元【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的图象性质的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的关系式是关键27已知抛物线y=ax2+bx+c经过a（1，0）、b（3，0）、c（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点p是直线l上的一个动点，当pac的周长最小时，求点p的坐标；（3）在直线l上是否存在点m，使mac为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）直接将a、b、c三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可（2）由图知：a、b点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接bc，那么bc与直线l的交点即为符合条件的p点（3）由于mac的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：ma=ac、ma=mc、ac=mc；可先设出m点的坐标，然后用m点纵坐标表示mac的三边长，再按上面的三种情况列式求解【解答】解：（1）将a（1，0）、b（3，0）、c（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：抛物线的解析式：y=x2+2x+3（2）连接bc，直线bc与直线l的交点为p；点