中南大学数学院高等代数行列式word课件.doc

第二章 行列式 Determinants1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则2.1 引言1 用消元法解二元线性方程组原方程有唯一解 由方程组的四个系数确定若记,则当时该方程组的解为2在三元一次线性方程组求解时有类似结果方程组当时，有唯一解其中，。3自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组如n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？为此，本章依次解决如下问题：1）怎样定义n级行列式2）n级行列式的性质与计算？3）方程组()在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？一、排列二、逆序 逆序数三、奇排列 偶排列四、对换一、排列定义：由1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n级排列注：所有不同n级排列的总数是（n阶乘）如，所有的3级排列是123，132，213，231，312，321共6=3！个.二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数注： 排列称为标准排列，其逆序数为 排列的逆序数常记为 后面比小的数的个数 后面比小的数的个数 后面比小的数的个数或前面比大的数的个数 前面比大的数的个数前面比大的数的个数例1排列 31542 中，逆序有31，32，54，52，42例2求n级排列的逆序数解： 1 2 n-1 n-1 1三 、奇排列、偶排列定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列注：标准排列为偶排列练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性 (2) 答案: (1) 当n=4k,4k+1时为偶排列； 当n=4k+2,4k+3时为奇排列（2） 当n为偶数时为偶排列， 当n为奇数时为奇排列.四 、对换定义 个排列中某两把一个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理1对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列证明 1) 特殊情形：作相邻对换设排列为abba除ab外，其它元素所成逆序不改变.当ab时，经对换后a所成逆序不变 ，b的逆序减少1个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.2)一般情形设排列为ab现来对换a与bababbaabba所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论所有n级排列中，奇、偶排列各半，均为个.证明 设在全部n阶排列中，有s个奇排列，t个偶排列，下证s=t 将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同， 同理，将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，故定理2任意一个排列与标准排列都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同。证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0）, 因此知结论成立.作业题P96 1. 2. 3. 5. 第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则一、 行列式定义二、n 级行列式的等价定义行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。一、行列式的定义1. 二级行列式=2. 三级行列式= d= 沙路法= 4阶及4阶以上行列式不遵循此规则!对角线法3. n 级行列式n 级行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 (1)的代数和，这里为的排列.每一项（1）都按下列规则带有符号：当为奇排列时（1）带负号；当为偶排列时（1）带正号；即=这里表示对所有1、2、 、 n的n级排列求和注：1） 行列式常简记为或2） D=中的数称为行列式D处于第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标， j 称为列指标.3) n级行列式定义展开式中共有n！项例1计算行列式=1+18+12-9-4-6=12例2.=-6!=-720一般地,= 对角型行列式=上三角形行列式 下三角形行列式类似可得：= 上三角行列式= 下三角行列式例3.已知f(x)=,求的系数 解: 由n级行列式定义，f(x)是一个的多项式函数，且最高次幂为,显然含的项有两项:与即 与-2f(x)中的系数为-1.练习：计算行列式1) 2)答案： 1） （2）二、n 级行列式的等价定义=这里 表示对所有1、2、 、 n的n级排列和证明：按行列式定义有 d=记=对于d中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之，对于 中任意一项也总有且仅有d中的某一项与之对应并相等于是d与中的项可以一一对应并相等,从而d=类似地，有=作业题P96-97 6. 7. 9. 10. 第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则 一、行列式的性质二、应用举例转置行列式设d=行列式称为d的转置行列式，记作或一、行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变，即=d=证：记,其中 , 按行列式的定义= =另一方面，按行列式的等价定义d可表成d=性质2行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外即=或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零 性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即=+性质4如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为0（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）证：设行列式d=中第 i 行与第 k 行相同，即,j=1,2,n,于是d= =-=-=-d d=0性质5 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0.证：由性质2、性质4即得性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变. 证：由性质3、性质5即得性质7 对换行列式中两行（列）位置，行列式反号 证：=-例1. 计算行列式d=说明:计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值例2. 计算行列式解：=a+(n-1)b=a+(n-1)b =a+(n-1)b例3.若 n 级行列式满足 i,j=1,2,n证明：当 n 为奇数时，证：由有, i=1,2,n设 的每行提取-1，得 当 n 为奇数时，=-故=0练习： 计算行列式1） 2）答案： 1）160 2)作业题P97-98 12. 13.2)4) 14. 第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则一、矩阵二、矩阵的初等行变换三、行列式的计算四、矩阵的初等列变换一、矩阵定义 由sn个数排成 s 行 n 列的表称为一个 sn 矩阵, 简记为数称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标，j为列指标.若矩阵,i=1,2,s,j=1,2,n则说A为数域 P 上的矩阵特别地, 当 s=n 时， 称为n级方阵由 n 级方阵定义的 n 级行列式称为矩阵A的行列式，记作或detA 矩阵的相等设矩阵,如果,i=1,2,s j=1,2,n则称矩阵A与B相等，记作 A=B二、矩阵的初等行变换定义 数域P上的矩阵的初等行变换是指：1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，；3) 互换矩阵中两行的位置注意：矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地AB阶梯形矩阵 如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为阶梯形矩阵 命题任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵三、行列式的计算原理：任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成阶梯阵 J ，且 =k方法: 对行列式中的A作初等行变换，把它化为阶梯阵，从而算得行列式的值 例1 计算行列式 四、矩阵的初等列变换定义 数域P上的矩阵的初等列变换是指：1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列；2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列,；3) 互换矩阵中两列的位置 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换注意：计算行列式 时，也可对A作初等列变换，把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样可使行列式的计算更简便练习：计算行列式 1） 2）答案：1）726 2）22作业题P99 16.1)第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则一、余子式、代数余子式二、行列式按行(列)展开法则引言= = =可见，三级行列式可通过二级行列式来表示一、余子式、代数余子式定义 在 n 级行列式中将元素所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下个元素按原位置次序构成一个n-1 级的行列式，称之为元素的余子式,记作令称之为元素的代数余子式注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式 元素的余子式和代数余子式与的大小无关，只与该元素的在行列式中的位置有关二 、行列式按行(列)展开法则1.引理若n 级行列式 d = 的 中第 i 行所有元素除外都为 0，则 证： 先证的情形，即由行列式的定义，有d= =.结论成立。一般情形：=,结论成立。2.定理 行列式按行（列）展开法则行列式 d 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,i=1,2,n或,j=1,2,n证： =+= (i=1,2,n)例1.计算行列式 d= 解： = =40例2.证明范德蒙行列式 =证：用数学归纳法.1. 当n=2时，2. 假设对于n-1级范德蒙行列式结论成立即=下证对于 n 级范德蒙行列式结论也成立.把从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的倍，得= = = = = =注：范德蒙行列式中至少两个相等例3.计算行列式 3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证: 把行列式按帝j行展开，有= 第i行与第j行相同当时，同理可证,，综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：=例3.设 d=，求 和解：=4 =0例4.证明： =证明：对k用归纳法(按第一行展开).练习： 1. 计算行列式2. 设d=求答案： 1.=2. 0作业题P99-100 17.1)2)3) 18.1)2)第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理一、非齐次与齐次线性方程组的概念设线性方程组若常数项不全为零，则称（1）为非齐次线性方程组简记为,i=1,2,n若常数项 即则称（2）为齐次线性方程组 简记为, i=1,2,n二、克兰姆法则如果线性方程组（1）的系数矩阵 的行列式 ，则方程组()有唯一解其中(j=1,2,n) 是把行列式中第j列的元素用方程组（1）的常数项代换所得的一个 n 阶行列式，即= =证明. 1. 证明是方程组（1）的解，因而（1）有解，带入第i个方程左边得;=i=1,2,n可见，是方程组（1）的解2. 证明方程组（1）的解只能是，设()是方程组（1）的任意一个解，则有，=于是，=但上式左边=d，从而 证毕例1：解线性方程组解：方程组的系数行列式 d=1420 方程组有唯一解（1，2，3，1）.撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式必为零定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 ,则方程组（2）没有非零解，即只有零解注：对于齐次线性方程组,一定是它的解，称之为零解（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则 它的系数行列式 d 注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即有非零解例2：问取何值时，齐次线性方程组有非零解?解: 若方程组有非零解，则 当时，方程组有非零解作业题P101 19.1) 20.第二章 行列式1 引言 5 行列式的计算2 排列 6 行列式按行(列)展开 3 n 级行列式 7 Cramer法则4 n 级行列式的性质 8 Laplace定理 行列式乘法法则,一、k 级子式余子式代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理三、行列式乘法法则一、k 级子式与余子式、代数余子式定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级 行列式，称为 k 级子式 M 的余子式； 若 k 级子式 M 在 D 中所在