小学数学北师大2011课标版四年级向思维更深处慢溯——“优化”教学实践与反思.doc

向思维更深处漫溯 “优化”教学的实践与思考 西安市高陵区泾渭西营中心小学 郝高峰由于各种原因，原定于2016年4月份的区课改经验推广活动迟迟未能召开，我本准备在活动中执教字母表示数。5月15日，接到教研室徐小青老师电话，18号她们要来听课，为本月下旬的区小学数学观摩课做准备。当我翻开四年级教材时，才猛然意识到字母表示数孩子们应该已经学过了。于是，我当即决定重新选课。因教学进度的不可确定，加上本次教研的主题与“核心素养”相关，我便确定了北师大版四年级下册优化一课，用了2个晚上完成了该课教学设计的初稿。教材通过“沏茶”和“烙饼”两个具体活动，经历从优化的角度解决简单实际问题的过程，引导学生体会如何安排合理时间，初步感受运筹思想在解决问题中的应用。【教学实践】一、组织教学，导入新课师：孩子们，聪明的你们喜欢猜脑筋急转弯吗？生齐：喜欢！（大屏幕出示脑筋急转弯前半句）师：谁来读？生：8个人吃8份快餐需10分钟。师：声音洪亮，谁继续读？生：16个人吃16份快餐需几分钟？（学生已经跃跃欲试了）师：请你生：8个人吃8份快餐需10分钟，16个人吃16份快餐还需10分钟。（师放师：是这样吗？（生齐：是）此处应该有掌声，（生鼓掌）谁来解释一下。（教师故意放慢了语速，并示意学生举手发言）生：就是1人吃一份，他们8个人一起吃需要10分钟。那么16个人一起吃的时间也是10分钟。师：是啊，他们平均每人吃了1份，而他们又是同时吃的，所以，16个人吃16份快餐还需10分钟。看来，如果能同时安排一些事情，就可以节省时间。我看咱们同学状态好，发言积极，真好！可以上课了吗？生齐：可以。师：今天我们学的内容就跟合理安排时间有关，题目叫（教师板书课题：优化）齐读课题！预备生齐：优化。二、活动一：烙饼（一）明确信息，激活学生的思维师：鉴于大家的出色表现，就奖励大家“烙饼”吧！妈妈用平底锅烙饼（板书：烙饼，课件出示题目）谁来读？生读：每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分。师：声音洪亮，清楚。（对众生）听明白要求了吗？谁想到了什么数学问题？生1：2张饼每面需要几分钟？师：可以，可这个问题题目交代的很清楚。2张饼每面需3分钟。生2：2张饼两面需几分钟？师：也就是烙2张饼需要几分钟？生3：烙4张饼需要几分钟？师：是呀，为什么不能问呢？生4：烙3张饼需要几分钟？生5：烙10张饼需要几分钟？师：你真敢想！烙10张饼？数有点儿大了，是吧？（生点头）大了不好解决，咱可以往小了想。最少可以烙？（生试探性地嘀咕：1张）谁读问题？（课件出示）（二）适当分类，理顺学生的思维生读：烙1张饼至少需要几分钟？师：这个问题中有一个词特别重要。你发现了吗？生：1张饼师：还有一个词，那需要数学的眼睛才能发现。生：至少师：没错，齐读问题，谁有想法？生：烙1张饼至少需要6分钟。师：怎么烙？生：先烙这张饼的第一面，需要3分钟；再烙另一面，也需要3分钟。一共需要6分钟。师：同意吧？我们记录一下：先将这张饼正面朝上，烙3分钟；再将反面 朝上，又需3分钟。共计6分钟。（教师板书）烙完了1张饼，该烙生齐：2张饼。师：谁来读问题？生：烙2张饼至少需要几分钟？师：同样要注意那个词，（生齐：至少）请你来。生：26=12（分钟）。师：你有数学的思维方式。能说得具体一些吗？生：烙1张饼需要6分钟，所有烙2张饼要乘2。用26=12（分钟）。师：是呀，有道理。1张饼6分钟，2张不就12分钟嘛！生：我不同意她的观点。每次只能烙2张饼，就是一次可以烙2张饼，还是正加反等于6分钟。师：是吗？这是两张饼，（师拿出2张“饼”）谁烙烙看？（指一学生，学生拿“饼”上台）没有锅这个怎么样？（师拿了一个学生的本子，众生笑，并附和：可以）生：（边演示，边讲解）先把这两面一烙，再把两张饼都翻过来烙，用得就是1张饼的时间。师：也是6分钟。谢谢！（示意学生下，教师与学生共同板书烙饼过程）怎么会烙一张饼和烙2张饼都需要6分钟呢？生：因为是同时烙。师：没错，谁能说得更具体一些？生1：烙1张饼时，先正面向上，再反面向上，需6分钟；而烙2张饼时，也是先将2张饼的正面向上，再反面向上，也是6分钟。生2：烙2张饼时是同时烙，就相当于烙1张饼的时间。师：好一个“相当于”。也就是说烙2张饼的时候锅，而烙1张饼时锅？生：2张饼时锅是满的，而1张饼时锅还有“空位”。师：也就是说，烙2张饼时锅被充分利用；而烙1张饼为锅没有被充分利用。想明白了吗？生齐：明白了！师：孩子们，你有没有想过，还有烙几张饼的时候，锅也可以直接被充分利用？生：3张。师：怎么烙？生1：把2张饼放在下面，第3张放在上面。（师演示）生2：那样不行！（他显然有些急了）第3张饼出来了！（因为书小，教师摆第3张时，出了“锅”）生3：不对！题目中说一次只能烙2张，可现在烙了3张。（众生恍然大悟）师：是吗？（众生点头）看来3张还不太好烙。那几张特别好烙呢？生齐：4张。师：如何烙？生：先拿2张饼，正面向上烙3分钟，翻过来再烙3分钟；再拿2张饼，正面向上烙3分钟，再翻过来3分钟。一共烙了12分钟。师：可以吗？（生齐：可以）也就是先烙2张，再烙2张。2张2张地烙。（师趁机板书）先烙2张饼锅被充分利用，需6分钟；再烙2张饼还需6分钟锅还被充分利用一共需要12分钟。（师生共同小结）还有烙几张饼也非常好烙？生：6分钟。师：几张？生：6张。师：别激动！怎么烙？生：先烙2张，正、反面一烙需6分钟；再烙2张，需6分钟；最后烙2张，还需6分钟。一共是18分钟。（教师适时板书）师：这样锅一直被充分利用，最省时间。还有烙几张容易？生：双数！（他很自信，众生会意一笑）师：为什么？生：这样2张2张地烙，2是双数！师：听明白了吗？原来双数张饼烙起来都很简单。两张饼一组，锅始终能被充分利用，发挥它最大的作用。所谓“物尽其用，人尽其材”。（众生附和）而不好烙的恰恰是几张？众生：3张。（三）合作探究，发展学生的思维师：而我们的问题也正好是谁读题？生读：烙3张饼至少需要几分钟？师：请看合作要求，（课件出示）谁来读？ 生读：同桌两人合作，探究张饼怎样烙最省时； 用圆片、双手等代表饼，演示烙饼过程； 把烙饼过程及所需时间用你喜欢的方式记录下来，并准备交流。师：明白要求了吗？老师要强调的是省时。没错，开始研究！（学生同桌讨论，教师巡视，参与讨论）师：可以了吗？（众生点头）看来，3张饼在烙的时候，意见并不是那么统一。我们一起来交流一下。（稍顿片刻）先在黑板上造个锅吧！（教师在黑板上徒手画了一个圆当“锅”，众生愕然，发出啧啧赞叹声）好了，哪组先来汇报一下。注意：拿着你们的“饼”，同桌两人合作，一人口述，一人演示。明白？（众生点头）组1：我们先把2个饼放入锅中，3分钟后翻过来，再烙3分钟；然后把第3个饼放入锅中，烙3分钟后翻过来再烙3分钟。一共烙了12分钟。师：这是他们两人的思路。(生欲下，师示意稍等）掌声送同学！（学生在掌声中下台，嘴角露出一丝微笑）她们组烙3张饼用了12分钟。谁还想汇报你们的想法？可以一样，也可以不一样。 组2：我们组和他们一样（学生上讲台展示）。师：等等。为了便于表述，你们一会儿把前两张饼分贝别叫做1号饼和2号饼，第3张饼叫3号饼。可以吗？组2：先把1号饼和2号饼的正面向上，再反面向上，3+3=6分钟，再把3号饼也一烙，需要6分钟，共12分钟。师：谢谢您们！掌声！你们组来，带着你们的“饼”，这俩“饼”大！（学生拿的圆片比前面的大一些，师开玩笑说，众生相视一笑）组3：我们是先把1号饼和2号饼的正面朝上一烙，用了3分钟；然后再把2号饼拿掉，把1号饼的反面朝上，和3号饼一起烙，又用了3分钟；这样，一号饼熟了，把2号饼和3号饼放入锅中，反面朝上再烙3分钟，都熟了。一共用了3+3+3=9分钟。师：烙完了？熟了？（教师对全班同学，片刻之后，众生多数豁然，也有个别孩子还没想明白）掌声送同学！谁也9分钟烙熟了3张饼，上来给大家烙烙看！组4：（学生黑板上“烙饼”）就是先把1号饼和2号饼放在上面，等他们煎好之后把2号饼去掉，把3号饼放上去，和1号饼一起烙；1号饼烙好以后，再把2号饼放进去和3号饼一起烙。就是第一次用了3分钟，第二次还用了3分钟，第三次也是3分钟，等于9分钟。师：是吗？是9分钟吗？（对全班同学）有人不敢相信，请你也学他们的样子烙烙。（学生动手再次感受3张饼的“烙法”）师：烙熟了没？用9分钟烙熟的人请坐起来。（孩子们都坐了起来）为什么同样是烙3张饼，有人用了12分钟，有人却只用了9分钟呢？（教师故意拖慢了语气）生：3张饼可以同时烙。师；可以说得更具体一些，第一种情况生：用12分钟时，先将2张饼同时进行完，把正面和反面。师提示：此时锅被生：充分利用。然后呢，再把第3张饼放进去，把正面和反面煎完。师提示：此时锅生：没有被充分利用。而第二种情况：先把两张饼都放上去，将正面煎好后，把一张饼拿下来，将第三张饼放进去，将那张饼的反面一烙；那张饼烙熟后，这张饼也就被烙掉了一面，再和刚刚那张饼的反面一烙。这样锅一直被充分利用。（教师配合演示）师：原来，当锅被充分利用时，时间就会最少。看来3张饼时，锅也可以被充分利用。咱们来记录一下。（学生口述，教师黑板记录）（四）感受“递推”，优化学生的思维完成了3张饼，咱们就可以想5张饼了。想想，要达到最省时，在烙的时候需要什么条件呢？生：锅要被充分利用。（学生虽然说出了策略，但显然还没有具体方案）师：同桌商量商量。（学生同桌讨论，教师参与讨论）师：可以了吗？5张，怎么烙锅才能不闲着，被充分利用？请你们组来，带着你们的饼。（学生带“饼”上讲台）为了一会儿便于交流，我们将这5张“饼”先标上序号。组5：先把1号饼和2号饼放上去煎，正面熟了之后把2号饼拿下去；把3号饼放上去和1号饼的反面煎，然后1号饼熟了，再把3号饼和2号饼的反面一起煎。师：对不起，稍等，（对全班）这样共烙了几张饼？（生齐：3张饼）用了几分钟？（生齐：9分钟）请继续组5：再把剩下2张饼的正面和反面分别一烙，然后3+3=6。师：稍等，（对全班）又烙了（生齐：2张饼）耗时（生齐：6分钟）组5：然后9+6=15分钟。师：可以吗？（生齐：可以）在这个过程中锅有没有被充分利用？（生齐：有）两位同学在烙5张饼的时候，选择了先烙生：3张饼，再烙2张饼。（师趁机板书）师：有不同烙法吗？生：先烙2张饼，耗时6分钟，再烙3张饼，耗时9分钟。一共用了15分钟。师：（向全班）这个过程中，锅可以保证被充分利用？（生齐：可以）原来，烙5张饼和烙（生齐：3张饼），烙（生齐：2张饼）关系密切。那么，要是烙7张饼呢？生：先烙3张饼，再烙4张饼。师：先烙3张饼，耗时（生：9分钟），再烙4张饼，耗时（生：12分钟），这个过程中，锅（生：被充分利用）。所以一共耗时（生：21分钟）。你可同意？（生齐：同意）看来，烙单数张饼也并不难呀！你只要先分个几张出来？生齐：3张（师：单数，再分个），4张（师：双数）师：如果要烙11张饼？生：先烙5张，再烙6张。师：烙5张，在锅被充分利用的情况下，至少耗时（生：15分钟），烙6张耗时（生：18分钟）合计（生齐：33分钟）可以吗？（生齐：可以）师：你也可以先烙（生：7张）耗时（生：21分钟）再烙（生：4张）耗时（生：12分钟）共计（生齐：33分钟）师：你还可以先烙（由于黑板上只罗列了烙17张饼的时间，孩子一时陷入“僵局”。片刻安宁之后）生：1张饼。（显然不对，但教师继续引导）师：耗时（生：6分钟）此时锅（生：没有被充分利用）（众生哗然，孩子也意识到了问题）看来，烙1张饼比较特殊。（教师在1张饼处做了记号）那可以先烙生：3张师：耗时（生：9分钟）再烙（生：8张）耗时（因为黑板上没有8张的时间，孩子们在递推是遇到困难，但很快问题迎刃而解。生：24分钟）一共用了（生：33分钟）一样吗？（教师指着前2次的结果）（生齐：一样）师：当然得一样了！看来，在烙较大的单数张饼时，我们可以先拆成一个较小的单数张和一个双数张。（五）总结模型，深化学生的思维师：孩子们，你们看着这组数据。除了烙1张饼没有充分利用锅之外，烙2张饼耗时（生齐：6分钟）3张饼耗时（生齐：9分钟）4张饼（生齐：12分钟）5张饼（生齐：15分钟）你有什么发现？（师又有意放慢了速度）生；我发现每次都增加了分钟。师：除了烙张饼之外，每增加张饼，烙饼时间增加分钟。你还有没有其他发现？生：时间是饼数的倍。师：有吗？（生点头：有）假如我们要烙11张饼,多长时间（生齐：33分钟）跟刚才算的结果一样吗？（生齐：一样）我们要烙100张饼，需要（生齐：300分钟）假如要烙n张饼呢？ 生：3n分师：这个n却不能等于（生齐：1）n是一个不为1的非零自然数。我想此时，你一定也想问问生：为什么？师：是啊！为什么会这样呢？我们一起来思考一下：（教师板书适时板书）1张饼有2个面，n张饼就有2n个面；而我们的锅里最多可以放2张饼，也就相当于2个面。这样2n2就烙了n次。烙1次3分钟，一共就需要3n分钟了。是这样吗？（有学生点头，也有学生不能理解）师：原来，表面现象的背后，都有它的道理。凡事都要多想个为什么。三、活动二：沏茶师：好了，烙完饼了，咱们沏杯茶喝喝。（课件出示题目）谁有主意？（学生思考后交流）生1：先洗水壶用1分钟，再接水用1分钟，然后烧水8分钟，找茶叶1分钟，洗茶杯2分钟，泡茶1分钟，一共14分钟。（教师根据学生口述板书）师：好！有比这个省时间的吗？生2：先洗水壶花1分钟，再接水用1分钟，再烧水的同时洗茶杯、找茶叶用8分钟，最后泡茶1分钟。一共用了11分钟。师：可以吗？（生齐：可以）还有比这个省时的吗？生3：在洗水壶的同时洗水杯。师：洗水壶的同时（师左手演示）洗水杯（师右手演示）？（生笑）有些勉强？（生点头同意）看来，这两件事还得分开做。所以，这个问题最省时的方案还是（师手指板书）第二种方法，耗时11分钟。四、课堂小结，交流收获师：看来，同时干一件事情确实可以（生齐：节省时间）那么，通过这节课的学习你有什么收获?生：除1张饼外，烙n张饼就需要3n分钟。师：在这个前提下（师指着本节课的问题情境），就有这样的规律。如果时间变了，规律（生齐：也就变了）生：我知道了怎么节省时间？师：具体说说。生：就是把个事情同时做。五、拓展延伸，文化浸润师：是的，把能同时完成的事情，就同时做，合理安排时间。那么提到“合理安排时间”，这个人大家必须认识。（课件出示华罗庚及优选法的资料，学生迅速浏览）师：这个人就是我国著名数学家（生齐：华罗庚）他提出了一个方法叫（生齐：优选法）还衍生出了一门学科是（生齐：运筹学）提到“运筹学”，我想到了一个成语叫“运筹帷幄”，（师板书）就是打仗时，将军在帐篷里就能决定帐篷外的战役。所谓“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”。是吗？（生会意）师：孩子们，其实数学课不只是学“知识”，数学家陈省身先生给青少年题过四个字（课件出示陈省身照片及题字“数学好玩”），一起读！生齐：数学好玩！师：你觉得好玩吗？生齐：好玩！师：至少还行吧！带着你对数学的感觉下课！【课后反思】这节课备得很匆忙，上得也很匆忙。我试图将我们在“单线条大问题”策略关照下的数学课堂展示在大家面前。当我看到孩子离开教室时眼神中流露出的一丝不舍，以及隐约能感受到的那份“欣喜”，还有几个孩子故意凑过来冲我笑了笑：“老师！再见！”时，我知道至少绝大多数孩子是喜欢这样的数学课堂的。于是，我就再次反思我的课堂，自己与“自己”对话，试图也能形成我的“经验”。 1、思维训练是数学课堂要守住的“根”。我窃以为：数学课堂区别与其它课堂的一个显著特点就是，数学课堂在培养学生的思维能力方面所发挥出来的其它学科无法比拟的作用。“数学是思维的体操”，而思维是无形的，是意识层面的东西，看不见，摸不着。数学的抽象性、严密性和应用的广泛性就决定了数学课堂是思维训练的“梦工厂”。本节课，我注意训练学生思维的有序性、逻辑性，以及思维的深度。在“烙饼”时由简单到复杂，由1张饼的烙制到n张饼的烙制，由双数张饼的烙制到单数张饼的烙制，这样循序渐进、螺旋上升，引导学生有序的思考问题；在3张饼的烙制时，也存在一个逻辑顺序的问题。另外，在问题的深度上也做了一些尝试，不断地引导学生思考“为什么”：为什么烙1张饼和烙2张饼都用了6分钟？为什么同样烙3张饼，有人有了12分钟，有人却用了9分钟？为什么烙n（n为不为1的非零自然数）张饼就需要3n分钟一个个“为什么”就是一把把打开思维的金钥匙