高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文 新人教A版.ppt

3 2导数与函数的单调性 极值 最值 2 知识梳理 双基自测 2 3 1 自测点评 1 函数的单调性与导数的关系 1 已知函数f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内是 2 可导函数f x 在 a b 上单调递增 则有在 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在 a b 上单调递减 则有在 a b 上恒成立 4 若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上 单调递增 单调递减 常数函数 f x 0 f x 0 不变号 3 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续且f x0 0 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 确定函数的定义域 并求f x 求方程的根 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 检查方程的根是否在定义域内 若在 则看根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 极大值 极小值 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b f a f b 极值 f a f b 2 6 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 则一定有f x 0 2 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 3 导数为零的点不一定是极值点 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 函数y f x 的导函数f x 的图象如图所示 则下面判断正确的是 a 在区间 2 1 上f x 是增函数b 在区间 1 3 上f x 是减函数c 在区间 4 5 上f x 是增函数d 在区间 2 3 上f x 不是单调函数 答案 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 2016四川 文6 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 答案 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 2016山西朔州模拟 已知函数f x x3 ax2 3x在定义域上是增函数 则实数a的取值范围为 答案 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5 教材习题改编p32t4 如图是f x 的导函数f x 的图象 则f x 的极小值点的个数为 答案 解析 11 知识梳理 双基自测 自测点评 1 若函数f x 在区间 a b 上递增 则f x 0 f x 0在 a b 上恒成立 是 f x 在 a b 上单调递增 的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是 函数f x 在x x0处有极值 的必要不充分条件 如函数y x3在x 0处导数为零 但x 0不是函数y x3的极值点 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时 需要分类讨论 不可想当然认为极值就是最值 4 函数最值是 整体 概念 而函数极值是 局部 概念 极大值与极小值之间没有必然的大小关系 12 考点1 考点2 考点3 考向一讨论函数的单调性或求单调区间 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间 13 考点1 考点2 考点3 14 考点1 考点2 考点3 令g x 0 解得x 0 x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 15 考点1 考点2 考点3 考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f x x3 ax 1 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在r上为增函数 求实数a的取值范围 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么 16 考点1 考点2 考点3 17 考点1 考点2 考点3 2 因为f x 在 上是增函数 所以f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 即实数a的取值范围为 0 18 考点1 考点2 考点3 解题心得1 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 2 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 19 考点1 考点2 考点3 3 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 4 已知函数单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题 即 若函数f x 单调递增 则f x 0 若函数f x 单调递减 则f x 0 来求解 20 考点1 考点2 考点3 对点训练1 1 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 求a b的值 求f x 的单调区间 若a 1 求函数f x 的单调区间 若函数f x 在区间 1 2 上为单调函数 求a的取值范围 21 考点1 考点2 考点3 1 解 因为f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 由 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 22 考点1 考点2 考点3 23 考点1 考点2 考点3 24 考点1 考点2 考点3 例3已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系 25 考点1 考点2 考点3 26 考点1 考点2 考点3 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 27 考点1 考点2 考点3 解题心得1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 则函数y f x 在 a b 内不是单调函数 即若函数y f x 在某区间上是单调函数 则函数y f x 在此区间上一定没有极值 3 利用导数研究函数极值的一般流程 28 考点1 考点2 考点3 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 29 考点1 考点2 考点3 令f x 0 解得x 1或x 5 由x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 由此可知函数f x 在x 5时取得极小值f 5 ln5 函数f x 没有极大值 30 考点1 考点2 考点3 1 讨论f x 的单调区间 2 设g x f x 2alnx 且g x 有两个极值点为x1 x2 其中x1 0 e 求g x1 g x2 的最小值 思考求函数的最值可划分为哪几步 31 考点1 考点2 考点3 令f x 0得x2 ax 1 0 当 2 a 2时 a2 4 0 此时 f x 0 且f x 在 0 上的任意子区间内都不恒等于0 所以f x 在定义域 0 内单调递增 当a0时 但x2 ax 1 0的两根x1 x2均为负数 此时 f x 0在 0 上恒成立 所以f x 在定义域 0 上单调递增 32 考点1 考点2 考点3 33 考点1 考点2 考点3 34 考点1 考点2 考点3 35 考点1 考点2 考点3 解题心得求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 36 考点1 考点2 考点3 对点训练3 2016河南焦作二模 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 解 1 由题意知函数f x ex ax 2的定义域是r f x ex a 若a 0 则f x ex a 0 故函数f x ex ax 2在 上单调递增 若a 0 则当x lna 时 f x ex a0 因此 f x 在 lna 内单调递减 在 lna 内单调递增 37 考点1 考点2 考点3 2 因为a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 由 1 知 当a 1时 函数f x ex x 2在 0 上单调递增 而f 1 0 所以f x ex x 2在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 38 考点1 考点2 考点3 设此零点为 则有 1 2 当x 0 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得e 2 故g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为2 39 考点1 考点2 考点3 1 函数y f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 上的任意子区间内都不恒等于零 则f x 0 f x 在 a b 上为增函数 f x 0 f x 在 a b 上为减函数 2 求可导函数极值的步骤 1 求定义域及f x 2 求f x 0的根 3 判定定义域内的根两侧导数的符号 4 下结论 3 求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 首先求出各极值及区间端点处的函数值 然后比较其大小 得结论 最大的就是最大值 最小的就是最小值 40 考点1 考点2 考点3 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 一个函数在其定义域内最值是唯一的 可以在区间的端点处取得 3 解题时 要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题 处理好当f x 0时的情况 正确区分极值点和导数为0的点 41 42 43 44 a 1 b 1 c 0 d 0 答案d解析若至少存在一个x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 即f x g x 0在x 1